回歸教材基礎(chǔ)，彰顯創(chuàng)新應(yīng)用

盧闖

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，三角函數(shù)中的三角恒等變換模塊成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)基本點(diǎn)，圍繞三角函數(shù)中的公式以及應(yīng)用，成為高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．基于簡(jiǎn)單的三角恒等變換，特別是和差化積公式與積化和差公式，是三角恒等變換的深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)新應(yīng)用，對(duì)于全面考查學(xué)生的“四基”以及數(shù)學(xué)能力等具有較好的作用，著力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與創(chuàng)新應(yīng)用，成為高考數(shù)學(xué)命題中既充分體現(xiàn)知識(shí)基礎(chǔ)，又體現(xiàn)選拔功能的一類(lèi)創(chuàng)新考點(diǎn)．

1．回歸教材，公式展示

簡(jiǎn)單的三角恒等變換中的和差化積公式，以例題與練習(xí)題的綜合形式在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材（2019版人教A版教材必修第一冊(cè)）中出現(xiàn)．

練習(xí) （人教A版必修第一冊(cè)P226練習(xí)5）求證：

教材中以例題與練習(xí)的方式給出和差化積公式，這給深度學(xué)習(xí)與應(yīng)用提供更加廣闊的空間，也是深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)其他場(chǎng)景．

2．彰顯能力，創(chuàng)新應(yīng)用

在進(jìn)行三角恒等變換與應(yīng)用時(shí)，特別是利用和差化積公式解決問(wèn)題時(shí)，由于和、積互化時(shí)，角度要進(jìn)行重新組合，因此可能產(chǎn)生一些特殊角或已知角等，對(duì)于三角關(guān)系式的消項(xiàng)或互約因式等起到很好的變形與轉(zhuǎn)化作用，有利用進(jìn)行三角關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值等，成為三角恒等變形中的一種基本手段，也是深度學(xué)習(xí)中彰顯能力與創(chuàng)新應(yīng)用的重要場(chǎng)景．

（1）求值問(wèn)題

分析：根據(jù)題設(shè)條件，所求的三角關(guān)系式中出現(xiàn)了平方關(guān)系式，首先三角關(guān)系式進(jìn)行降冪處理，由二次式轉(zhuǎn)化為一次式，之后再利用和差化積公式、積化和差公式等進(jìn)行三角函數(shù)關(guān)系式的化簡(jiǎn)與變形，得以轉(zhuǎn)化與求值．也可以結(jié)合填空題中所求結(jié)論的確定性，利用特殊值法，選取特殊角來(lái)特殊分析與處理．

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單的三角恒等變換中，積化和差公式與和差化積公式是一對(duì)“孿生兄弟”，在實(shí)際解題過(guò)程中，經(jīng)常離不開(kāi)兩組公式之間的交替使用．要注意的是，在應(yīng)用和差化積公式時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可以施行；若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次三角函數(shù)，必須用降冪公式降為一次式．

（2）證明問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三角關(guān)系式中兩角正弦值之和（或差）、兩角余弦值之和（或差）的對(duì)稱(chēng)或輪換關(guān)系時(shí)，可以直接借助簡(jiǎn)單的三角恒等變換中的和差化積公式，通過(guò)公式變形與轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)到化簡(jiǎn)、變形與求值等方面的應(yīng)用．注意和差化積公式的熟練掌握，在具體應(yīng)用中要結(jié)合應(yīng)用場(chǎng)景加以恒等變形與巧妙應(yīng)用．

（3）判斷問(wèn)題

分析：根據(jù)題設(shè)條件，抓住題中給出的三角函數(shù)關(guān)系式的兩邊比較工整，且均是兩角正弦值（或余弦值）的和式，可以直接利用三角函數(shù)的和差化積公式加以轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形，并利用角的取值范圍來(lái)分析與討論，進(jìn)而來(lái)分析并判斷結(jié)論的成立．而利用輔助角公式來(lái)處理，也是比較常用的一種技巧方法．

點(diǎn)評(píng)：該三角函數(shù)式問(wèn)題的判斷與應(yīng)用中，解題方法技巧多樣，通過(guò)以上兩種方法的分析，相對(duì)于解法2來(lái)說(shuō)，解法1直接利用和差化積公式來(lái)處理，更加簡(jiǎn)單粗暴；而解法2通過(guò)輔助角公式來(lái)處理，作為解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法，也不失美感．在實(shí)際解題過(guò)程中，選擇適合自己的技巧方法才是最重要，也是最契合的．

總之，簡(jiǎn)單的三角恒等變換中的和差化積公式，可以用來(lái)處理三角函數(shù)中的一些求值、證明或判斷等相關(guān)問(wèn)題，可以使得三角函數(shù)問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷有效．而在具體應(yīng)用和差化積公式時(shí)，要注意應(yīng)用公式之后能否出現(xiàn)特殊角；應(yīng)用公式之后能否進(jìn)行提取公因式，能否約分，能否合并或消去同類(lèi)項(xiàng)等；應(yīng)用公式之后能否使三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，各種關(guān)系更加明顯，從而為下一步選用公式進(jìn)行變換與轉(zhuǎn)化創(chuàng)造條件，是基于深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)新應(yīng)用的基本要求．