這兩個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？

張錦川

1 問(wèn)題提出

在一次教學(xué)活動(dòng)中，有8位老師采用同課異構(gòu)的形式講對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，超過(guò)一半的老師為了強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義而在課堂上給學(xué)生選講了以下兩類題目：

例1 函數(shù)f（x）=2log4x是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？

例2 已知函數(shù)g（x）=a2－a+1loga+1x是對(duì)數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

針對(duì)這兩道題目，老師們普遍給出的解答是：

由于對(duì)數(shù)函數(shù)是形如f（x）=logaxa>0，且a≠1的函數(shù)，這類函數(shù)須滿足以下三點(diǎn)：①logax的系數(shù)是1；②底數(shù)a大于0且不等于1；③對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

然而，這兩道題的解答都是錯(cuò)的！

2 問(wèn)題糾正

文［1］中，羅增儒老師指出，根據(jù)函數(shù)的定義，當(dāng)定義域A、值域B、對(duì)應(yīng)關(guān)系f都明確之后，對(duì)應(yīng)關(guān)系f就唯一確定一個(gè)函數(shù).不能是用列表法表示時(shí)為一個(gè)函數(shù)，用圖象法表示時(shí)又為另一個(gè)函數(shù)，再用不同的解析式表示時(shí)又得出更多的函數(shù).因此，他認(rèn)為函數(shù)f（x）=2－x是指數(shù)函數(shù).

類似地，對(duì)于例1而言，由于f（x）=2log4x=log4x=log2x，所以它是對(duì)數(shù)函數(shù).

對(duì)于例2而言，當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=log2x是對(duì)數(shù)函數(shù)；當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=3log3x=log313x也是對(duì)數(shù)函數(shù)；當(dāng)a=3時(shí)，g（x）=7log4x=log417x還是對(duì)數(shù)函數(shù).

因此，當(dāng)且僅當(dāng)a∈－1，0∪0，+∞時(shí)，函數(shù)g（x）=a2－a+1loga+1x是對(duì)數(shù)函數(shù).

參考文獻(xiàn)

［1］羅增儒．f（x）=2－x是指數(shù)函數(shù)嗎［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011，1．