全稱量詞與存在量詞有關的嵌套問題

李何東

新教材對于全稱量詞命題和存在量詞命題有了新的命名，將老教材里的“特稱量詞命題”改成了“存在量詞命題”，關于任意性與存在性嵌套的命題再次推上熱議．隨意改變“存在”與“任意”的順序往往會使命題不等價，特別是與“或”、“且”等邏輯關聯(lián)詞相結合時，如何等價轉化、簡化命題是學生的難點，也是學生的易錯點．本文將研究這一類問題的轉化方法．

1.全稱量詞與存在量詞有關的“分配律”

題1 （2018寧波模擬）設二次函數f（x）=x2

在上述解法中，我們可以得到如下：

定理1.1和定理1.2說明了存在量詞命題對“或”滿足“分配律”，全稱量詞命題對“且”滿足“分配律”.但是反過來則會出現問題，具體應用如下：

正解：用值域或者數形結合的辦法易得正確答案t≥1．

我們改變問題，把f（x）變成一個連續(xù)函數：

2.全稱量詞與存在量詞有關的“交換律”

通過定理可以發(fā)現，全稱量詞和全稱量詞順序可交換，存在量詞和存在量詞順序可交換，但是全稱量詞和存在量詞順序不能交換．定理2.1及定理2.2顯然易證，下面通過反例說明定理2.3是不可逆的．

題5 已知函數f（x）=aex－1－lnx+lna，f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

參考文獻

1．邱春來．“恒成立問題”與“有解問題”的區(qū)分及解題策略［J］．福建中學數學．2011，10.

2．石小麗．變式中層進，層進中拓展——高三專題課“函數中的恒成立問題、有解問題”的教學思考［J］．求知導刊．2019，11.