三角形的外接中點弧三角形的若干性質

周瑾

如果一個三角形的元素可以通過另一個三角形的元素表示出來，則稱這個三角形是另一個三角形的生成三角形.本文把三角形內角平分線與其外接圓交點所構成的三角形稱為三角形的外接中點弧三角形.此三角形就是由原三角形通過內心的生成三角形.筆者通過對兩個三角形之間關系的探究，得到了兩者之間關于面積、周長、內切圓半徑等幾何元素的若干性質.

下面給出△ABC及其生成三角形△A1B1C1相關元素的若干性質.

性質1 S1≥S.

性質2 L1≥L.

注2：上述△ABC關于內心的生成三角形△A1B1C1是：

（1）一個面積不斷增加的三角形的序列，即S1≥S；

（2）一個周長不斷增加的三角形的序列，即L1≥L；

（3）一個內角不斷趨于正三角形的序列.

性質3 r1≥r.

性質4 a1b1c1≥abc.

性質5 a1b1+b1c1+c1a1≥ab+bc+ca.

性質9 a21+b21+c21≥a2+b2+c2.