對一道橢圓題的研究

朱云燕

在教學中，筆者最近講了下面的一道橢圓題：

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：直線CD的斜率為定值．

第（2）問求得直線CD的斜率為定值kCD=2，發現AB//CD．

作為教師，我們不能僅僅停留在思考如何解決這個問題的層次，還要繼續前進，研究問題是如何提出來的，學會命題．研究問題的背景、本質，研究問題的一般情形，達到更高境界．為啟發學生、幫助學生，做好充分的準備工作．

1．題1的背景探究

對于此題，通過逐步提問的方式，探索問題的背景、弄清問題的由來、揭示問題的本質．

為敘述方便，引入幾個定義．

定義1 連接橢圓上任意兩點的線段叫做弦．

定義2 經過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑．

定義3 平行于橢圓一條直徑的弦的中點的軌跡和該直徑叫做橢圓的一對共軛直徑．

至此，我們明白了點P落在橢圓直徑AB的共軛直徑EF上．

2．第（2）問的一般情形

將題1的第（2）問進行一般化得到：

P是線段EF上異于E，F的一點，直線AP，BP與橢圓的另一交點分別為C，D．則AB//CD．

再一般化推廣，于是便得到橢圓內接四邊形對邊平行的一個充要條件．

3．橢圓內接四邊形對邊平行的一個充要條件

由于一般是對特殊的概括，特殊是一般的具體表現，一般深刻，特殊鮮活、生動．從一般的命題2可以演繹出大量的特殊、生動的問題．

4．命題2的特殊情形

以上證明直線平行，并沒有證明直線的斜率相等，而是設出線段的比值，利用線段成比例證明平行．

除了運用命題2的結論來命制題目外，我們還可以用解決命題2的方法命制題目．

5．用解決命題2的方法來命制題目

以上先把一道具體的題目推廣到一般情形，從特殊到一般，揭示問題的本質．再利用一般結論，從一般到特殊，命制新的題目．最后再利用解決問題的方法命制新題，不但重視結論的應用，而且重視解決問題方法的應用．數學學習不但要重視結果的學習，還要重視過程的學習，要全面掌握解決問題的方法，形成解決問題的結構性、系統性方法，更全面地分析問題解決問題．例如，刻畫點共線，不但可用斜率、直線方程，也可以用向量共線等，證明直線平行，不但可以證明直線的斜率相等，也可以用線段成比例來證明，簡潔解決問題．解析幾何中的大多題目都有著一般背景，我們要深入研究這些背景，把題目系列化、系統化，切實減輕學生的作業，實現提質增效．深入研究圓錐曲線的性質，充分揭示題目的背景，得出簡潔、和諧、深刻的結論，發現它們之間奇妙的關聯，給我們以美的享受，讓我們更愛數學，更愛數學教育．