例談同構法在指對混合式問題中的應用

黃梅娟

在解決不等式恒成立或能成立問題時，我們常常根據不等式的特征將其左側和右側變成結構一致，再通過構造函數，利用所構造函數的單調性，簡化運算和降低難度，此方法稱為同構法. 本文通過實例分析，利用同構法處理等式問題或不等式恒成立問題.

例1 （2020年全國Ⅰ卷理12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（）.

A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a>b2

析解：本題是選擇題壓軸題，試題涉及指數函數、對數函數、不等式.對學生的要求較高，但學生如果能對等式兩側的結構特點加以分析，再利用函數的性質，能得到正確答案.構造函數f（x）=2x+logx2，顯然y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增.又2a+loga2=4b+2logb4=22b+logb2<22b+log2b2，所以f（a）

例2 （2021年湖北孝感期末）若x0為函數f（x）=e2lnx+x－2+lnx－2的一個零點，則e2－x0+lnx0的值為.

析解：由于x0為函數y=f（x）的一個零點，因此e2lnx0+x0－2=2－lnx0.這是一個超越方程，直接求x0是求不出來的，但分析等式兩邊的結構特征，通過整體代換的思想，也能解決此問題. 顯然有2－lnx0>0，因此等式可以化為2lnx0+x0－2=ln（2－lnx0），進一步可以化為lnx0+x0=ln（2－lnx0）+（2－lnx0）. 很顯然，等號左右兩側具有相同的結構，構造函數g（x）=lnx+x，因此有g（x0）=g（2－lnx0），又因為y=g（x）在（0，+∞）單調遞增，所以x0=2－lnx0，因此e2－x0+lnx0=x0+2－x0=2.

評注：一般地，對于aea≥blnb型指對共存，其同構方式有三種形式：

例5 （2020年新高考全國I卷）若aex－1－lnx+lna≥1對x>0恒成立，求實數a的取值范圍.

析解：本題是利用導數研究不等式恒成立問題，一般方法是將參數看著常數直接構造函數，常用分類討論思想，利用導數研究函數的單調性、最值，從而得出參數的取值范圍.

對學生的數學核心素養較高，有一定的難度.但如果能將不等式結構看清楚，運用同構的思想，能很快解決此問題. 由于aex－1=elna+x－1，因此對x>0，aex－1－lnx+lna≥1恒成立等價于ex+lna－1+x+lna－1≥lnx+x，可得ex+lna－1+（x+lna－1）≥lnx+elnx. 構造函數g（x）=ex+x，很顯然y=g（x）單調增加，且g（lna+x－1）≥g（lnx），因此lna+x－1≥lnx，分離參數lna≥lnx－x+1，再次構造函數φ（x）=lnx－x+1，很容易求得φ（x）的最大值為0，因此實數a的取值范圍為［1，+∞）.

評注：一般地，對于ea+a≥b+lnb型指對共存，同構方式有兩種形式：

（1）左同構，構造函數f（x）=ex+x；

（2）右同構ea+lnea≥b+lnb，構造函數f（x）=lnx+x.

A. a=bB. abD.a，b的大小關系不能確定

析解：本題利用導數研究函數最值問題，如將

通過以上實例可見，適當的放縮能減少很多計算量，指對共存的函數關系中如果用同構思想和切線不等聯合能起到很好的效果，解決此類問題首先需要運用兩個恒等式a=lnea和a=elna局部變形，然后利用ex≥x+1和ln（x+1）

參考文獻

［1］ 孫 平.例談指對數混合式問題的同構解法［J］，中學數學研究（華南師大）， 2022，11，27-28.

［2］ 李軍民.同構法——數學結構分析的視角［J］，中學數學教學研究，2022，05，56-57.