一維周期基礎的帶隙解析解及其優(yōu)化設計研究

吳巧云 項復佳 黃映紅 荊國強 許峙峰 吳應雄

摘要： 周期結構的帶隙特征為土木工程隔震領域提供了新思路，其中一維周期基礎結構因其構造簡單且經濟適用而倍受關注。本文通過研究一維周期基礎結構的振動特性，推導了用于計算一維橡膠?混凝土周期基礎帶隙的近似解析解，并在此基礎上提出了基于上部結構共振區(qū)的一維橡膠?混凝土周期基礎優(yōu)化設計方法。頻域和時域數值算例表明，由該優(yōu)化方法所設計的周期基礎可保證其上部結構在一個寬且連續(xù)的頻段內均有較好的減震效果。

關鍵詞： 周期基礎； 帶隙； 近似解； 減震； 優(yōu)化設計

中圖分類號： TU352.1??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2024）05-0780-09

DOI： 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.006

引 言

與傳統(tǒng)的被動地震控制系統(tǒng)相比，周期基礎具有制造簡單、能同時減輕水平和垂直地震反應等優(yōu)點［1?5］。Shi等［6］提出了使用周期基礎作為隔離器來抵抗地震動的想法。此后，不同形式的周期基礎得到了迅速發(fā)展，從一維到二維和三維，從簡單的單胞到多材料復雜單胞［7?12］。Xiang等［7］通過數值模擬和實驗測試相結合的方式驗證了帶隙的減震效果。文獻［8?9］通過有限元分析證明了一維和二維周期基礎的地震衰減效應。文獻［10?11］對二維和三維周期基礎進行了實驗研究，其結果表明在優(yōu)化設計下周期基礎可具有顯著的減震性能。文獻［13?14］提出了一種由混凝土層及橡膠層構成的層狀周期基礎，并用有限元方法分析了該基礎對一個六層框架的減震作用。然而，一維周期基礎隔震的理論研究在如下方面還有待完善：（1）周期基礎的帶隙計算方法有待完善。Sackman等［15］提出了一維周期基礎第一個帶隙的下界和上界的近似解，但該方法存在下界計算精度不準的問題。之后，Shi等［16］修改了Sackman近似解，但該修正只是一個曲線擬合結果，對于超出其數值研究范圍的帶隙預測結果的準確性有待提高。（2）周期基礎帶隙的覆蓋范圍不夠全面。當前周期基礎的隔震思路是通過擴大第一帶隙的范圍使第一帶隙盡可能多地覆蓋全部頻率，這導致隔震效果不夠理想。

本文通過研究一維周期基礎結構的振動特性，推導了局部化因子、衰減系數、頻率響應、平均頻率響應等帶隙有關重要參數的近似解析解，并在此基礎上提出了基于上部結構頻率響應的一維橡膠?混凝土周期基礎優(yōu)化設計方法。由該方法所設計的周期基礎可保證上部結構在一個寬而連續(xù)的頻段內均具有較好的減震效果。

1 一維橡膠?混凝土周期基礎的帶隙近似解析解

一維橡膠?混凝土周期基礎是一種由橡膠層和混凝土層組成的一維周期基礎。相比其他類型的周期基礎，一維橡膠?混凝土周期基礎因其具有成本低、制造方便、隔震效果理想等多種優(yōu)勢而受到廣泛關注。但工程上仍缺乏計算一維橡膠?混凝土周期基礎帶隙等關鍵參數的有效方法。為此，本文提出并驗證了計算一維橡膠?混凝土周期基礎的結構帶隙、局部化因子、衰減系數和頻率響應的近似解析式。基于該帶隙解析解，提出了一種基于上部結構共振區(qū)的一維橡膠?混凝土周期基礎優(yōu)化設計方法，并通過數值算例證實了該優(yōu)化設計方法的減震效果。

1.1 一維周期基礎基于傳遞矩陣的帶隙近似解析解

彈性波在第j個單胞中通過第k層傳播的控制方程可由以下波動方程［17］描述：

性模量。

諧波激勵下的特解滿足以下可分離變量的形式：

（2）

（3）

式中為波數；i為虛數單位；為頻率；和為常數。

根據胡克定律，應力分量為：

其中：

（5）

針對諧波，通過使用傳遞矩陣法［18］，式（3）和（5）可重寫為以下矩陣乘法形式：

（6）

將和代入式（6）中可得：

（8）

其中，第k層的傳遞矩陣為：

（9）

利用連續(xù)性條件，第j個單胞的頂部和底部之間的轉換關系可通過如下遞歸表達式解得：

（10）

基于Floquet?Bloch理論，單胞的兩個狀態(tài)向量具有以下關系：

（11）

式中 為該單胞的波數；和分別為單胞的輸出和輸入狀態(tài)向量，均處于特征模式。

將式（11）代入式（10）中，得到以下特征形式：

（12）

式中 I為單位矩陣。

由式（12）所解得的兩個特征向量分別為和，對應的兩個特征值分別為和，其滿足：

（13）

式（13）的解為：

式中 。

由式（13）可進一步推出以下條件有效：

（15）

（16）

上述狀態(tài)向量的行為可分為以下兩種情況討論：

情況1為無衰減情況。此時，和形成一對共軛復數，即，。和兩個實數滿足。在這種情況下，狀態(tài)向量將僅保持橢圓旋轉，波可在沒有任何能量損失的情況下通過。

情況2為衰減情況。此時，則是兩個實數，是兩個復數，，。根據特征值冪法可知，對于任意，最終會被變換至與平行的方向上，且n每增加1就會放大至原來的倍。此種情況下的所有入射波的頻率組成了對應的帶隙。若從底部到頂部跟蹤波的傳播，則入射波每通過一個單胞，其波幅就會衰減常數倍，該常數被稱作衰減系數，即：

（17）

式中為局部化因子。

1.2 一維橡膠?混凝土周期基礎基于傳遞矩陣的帶隙近似解析解

在本節(jié)推導中，定義第1層為橡膠層，第2層為混凝土層。對于一維橡膠?混凝土周期基礎，方程（15）可改寫為：

此外，式（18）對于上標的對稱性表明兩層的順序無關帶隙的計算。

式（19）的解為帶隙下界和上界的近似值，其可進一步表示為：

式中， p為一個非負整數。

式標記了帶隙上界，即：

值得注意的是，與Sackman的近似值一致［28］。

該近似解析解以第1層為橡膠層、第2層為混凝土層的一維橡膠?混凝土周期基礎為例推導，式（24）

2 帶隙近似解析解算例驗證

為了驗證本節(jié)所提出的帶隙計算近似解，圖2和表1分別給出并比較了由式（18）計算的基準單胞帶隙的精確解和使用式（21）～（24）計算的相應近似解，其中頻率值以工程頻率f表示。在此處規(guī)定以下關于角頻率和工程頻率之間的對應關系為ω=2πf。

圖2展示了前數個帶隙的精確值與近似值的比較結果。表1表示的是前五個帶隙的上、下界，第1列頻率一共取了五個帶隙，分別是每個帶隙的起始和終點頻率；第2～6列是S波下，用不同公式計算的帶隙起始和終點位置；第7～11列是P波下，用不同公式計算的帶隙起始和終點位置。

從圖2和表1中可以看出，除了使用式（24）對第一帶隙上界的估計有一定偏差外，其余近似解都具有足夠的精度。由此證明上述關于一維橡膠?混凝土帶隙的近似解析公式的準確性。

3 一維橡膠?混凝土周期基礎的優(yōu)化設計

3.1 優(yōu)化設計理念的提出

給定要設計的一維橡膠?混凝土周期基礎和具

帶隙和P波的第s個帶隙分別表示為和。

通過定義關于h1和h2的優(yōu)化目標函數來衡量設計的優(yōu)劣。經過優(yōu)化設計的一維橡膠?混凝土周期基礎，應確保上層結構的頻率響應在地震動頻段內的任何頻率下都得到有效控制，這要求每個上部結構共振區(qū)都被相應的帶隙覆蓋。根據上述優(yōu)化問題，本小節(jié)介紹了一種優(yōu)化設計方法。該方法的核心思想為，在滿足設計帶隙包含全部上部共振區(qū)的情況下，找到的最優(yōu)組成形式。優(yōu)化設計方法的流程如圖3所示。

3.2 算例設計

為了證明上文所提出的優(yōu)化設計方法的實用性，將所提方法應用于表2中描述的四層鋼框架結構的一維橡膠?混凝土周期基礎設計中。四層鋼框架結構長4.0 m，寬4.0 m，高4.0 m，梁柱截面為0.1 m×0.1 m，使用材料為鋼材。基礎設計為4.0 m×4.0 m方形基礎，深度為4.0～5.0 m，使用材料為橡膠和混凝土，如表3所示。圖4（a）和（b）分別顯示了框架和基礎的配置。

在設計中，輸入波頻段取為0.0～30.0 Hz，涵蓋了大多數地震動的頻段。設計目標是最小化上部結構在S波和P波組合下的頻率響應。此時，每層的平均最大絕對頻率響應定義為：

式中 ?|FR2?b|， |FR3?b|， 。FRi為第i層相對于基礎底面的頻率響應，即FRi?b=ui/ub，其中，ui為第i層最大位移（i=0時，u0為基礎頂面最大位移），ub為基礎底面最大位移。

最后，選定OF為：

（26）

式中 下標“S”和“P”分別代表S波和P波的對應值；WP為P波的權重，考慮到上部結構更容易受到S波的影響，在以下分析中將WP設置為0.5。

首先，通過穩(wěn)態(tài)動力學分析，計算表3描述的上部四層鋼框架的頻率響應函數（FRF）：其中，FRFi?t=20lg（FRi?t），FRFmax?t=max，，|FRF3?t|，，S波和P波的頻率響應函數分別通過在x和y方向4個底部節(jié)點指定單位位移后，測量相應節(jié)點的輸出位移獲得。然后通過檢查地震動頻段中的頻率響應是否大于相應的閾值來確定和，其中S波和P波的閾值分別設置為0.0和3.0（注：20lg（1.0）=0.0，20lg（1.414）≈3.0）。P波的閾值大于S波的原因是水平地震動通常更具破壞力。最終確定：=，（5.06，5.16），（6.44，7.37），和=，。圖5（a）和（b）分別顯示了S波和P波對應的四層鋼框架上部結構的頻率響應和共振區(qū)。

在MATLAB中編寫了實現第3.1節(jié)中提出的優(yōu)化設計方法的程序，并應用于基礎的設計。表4為OFtrial的結果，得到（h1?trail，h2?trail，n）的最優(yōu)組合為（0.7719，1.6243，2），最后經過實踐考慮，確定（h1?opt，h2?opt，n）為（0.75，1.65，2），其中H和OF對應的值分別為4.8 m和-0.7657。圖6（a）和（b）給出了相應的帶隙和共振區(qū)，從圖6中可以看出，所有共振區(qū)都分布在相應的帶隙中。

3.3 算例頻域分析和時域分析

為了更進一步驗證所提出的設計方法在設計全頻段的最優(yōu)性，對周期基礎的性能進行了有限元分析，包括頻域分析和時域分析。構建并分析了三種上部結構?基礎耦合系統(tǒng)（如圖7所示），其中上部結構均為表3所述的四層鋼框架，基礎分別為由第3.2節(jié)中得到的優(yōu)化設計基礎、由12個基準單元組成的基準周期基礎以及混凝土基礎。基準單元參數見表1，三種基礎的單元尺寸均為0.2 m×0.2 m×0.05 m，詳細配置如表5所示，分析中的所有材料都是各向同性彈性的。

在頻域分析中，將不同頻率的單位諧波位移統(tǒng)一分配到底面，其中沿x軸或y軸的諧波位移分別代表S波或P波。采用“穩(wěn)態(tài)直接分析步”計算框架的頻響函數，其中S波和P波的頻率范圍為0.02～30.0 Hz，頻率增量為0.02 Hz。三種基礎的頻響函數模擬結果如圖8（a）～（f）所示。可以看出，最優(yōu)地基對S波和P波的減震性能非常出色，以至于地震動頻段中幾乎所有的頻響都小于0，并且大多數S波甚至低于-40（20lg（1/100）=-40），大多數P波低于-20（20lg（1/10）=-20），而基準基礎對頻率在共振區(qū)內而在帶隙外的入射波沒有起到衰減作用。可見，無論在橫波輸入還是縱波輸入的情況下，最優(yōu)地基優(yōu)于混凝土地基和基準地基，證明確保上部結構的共振區(qū)完全被相應的帶隙覆蓋是一種良好的一維橡膠?混凝土周期基礎設計策略，能夠保證良好的減震效果。

在時域分析中，將El Centro地震記錄的加速度分配到地基底部，其中N?S方向、垂直方向和E?W方向的相應加速度分別被分配到地基底部x方向、y方向和z方向。本次分析選擇“隱式動態(tài)分析步”，總時長為35 s，采用0.0005 s的固定時間增量。得到El Centro波下上部結構?基礎耦合系統(tǒng)的加速度時程，如圖9所示。其中，優(yōu)化設計基礎的頂部加速度峰值為2.7 m/s2，基準基礎結構的頂部加速度峰值為4.18 m/s2，混凝土基礎頂部加速度峰值為12.91 m/s2，基準基礎結構的頂部加速度峰值為混凝土基礎頂部加速度峰值的32.4%，優(yōu)化設計基礎的頂部加速度峰值為基準基礎頂部加速度峰值的64.6%。一方面，通過比較圖9（a），（d），（g），（j），（m）和圖9（b），（e），（h），（k），（n）可以看出，與混凝土基礎相比，優(yōu)化設計基礎可以在有效降低上部結構水平加速度響應的同時濾除高頻響應，而基準基礎也可以濾除高頻水平響應，但水平加速度衰減效果不明顯。另一方面，通過比較圖9（c），（f），（i），（l），（o）可以觀察到，優(yōu)化設計基礎可以在不顯著增加相應幅度的情況下過濾高頻豎向響應，而基準基礎將增大豎向響應。可以看出周期基礎在隔離地震加速度方面的有效性，同時證實了本文所提周期基礎優(yōu)化設計方法的實用性。

4 結 論

本文推導了用于計算一維橡膠?混凝土周期基礎帶隙的近似解析解，并在此基礎上提出了其局部化因子、衰減系數、頻率響應、平均頻率響應等參數的近似解析解，通過算例證實了該近似解析解計算帶隙的精確性；提出了一種基于上部結構共振區(qū)的一維橡膠?混凝土周期基礎優(yōu)化設計方法，時域和頻域數值算例表明，由該方法所設計的周期基礎可保證其上部結構在一個寬且連續(xù)的頻段內均有較好的減震效果。

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Analytical solution of one-dimensional periodic base band gap and its optimal design

Abstract： The band gap characteristics of periodic structures provide a new idea for the field of seismic isolation in civil engineering， among which the one-dimensional periodic foundation structure has garnered significant attention due to its simple structure and economical applicability. In this paper， by studying the vibration characteristics of the one-dimensional periodic base structure， an approximate analytical solution for calculating the one-dimensional rubber-concrete periodic base band gap is derived， and on this basis， a one-dimensional rubber-concrete periodic foundation optimization design method based on the resonance zone of the superstructure is proposed. Numerical examples in the frequency domain and time domain show that the periodic foundation designed by this optimization method can ensure a good damping effect of its superstructure in a wide and continuous frequency range.

Key words： periodic foundation； band gap； approximate solution； vibration reduction； optimal design