立足函數本源特征 借勢巧解高考試題

李波 張曉斌 涂瑜

摘? 要：函數是高考數學考查的熱點、難點，承擔著試卷區分度使命. 函數解答題采取分步設問、逐漸遞進的方式命制，彰顯試題的難易層次，以區分不同能力水平的學生. 要求學生對導函數的概念與幾何屬性、各類基本初等函數的圖象與性質有深刻的理解，對函數的結構特征有精準的把握.

關鍵詞：切線；對稱性；極值

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0052-04

引用格式：李波，張曉斌，涂瑜. 立足函數本源特征? 借勢巧解高考試題：以2023年高考數學全國乙卷理科第21題為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：52-55.

高考函數解答題主要考查導數的定義、復合函數求導、運算法則、極值、單調區間、幾何意義、零點、極值點偏移等知識. 高考數學命題把考查學生的邏輯推理能力作為首要任務，以數學知識為載體，加強對學生理性思維的考查. 因此，對高考經典題型進行研究，對高三數學教學有著重要的指導作用.

一、問題呈現

二、解題分析

三、備考建議

函數解答題的考查形式是不斷變化的，難度也在增加. 在高考復習中，我們應該引導學生充分挖掘導數的定義、幾何意義及函數單調性的題目特點，層層遞進，步步深入. 綜觀近幾年的高考函數綜合試題，以數形結合、分類與整合、函數與方程為觀點統一組織材料，以推理論證、運算求解和創新意識為立意. 側重以[ex，lnx]，四次函數、三次函數、二次函數、反比例函數等復合的整式和分式函數為背景，以待定系數法求函數解析式，試題入口淺、深入難. 運用導數的幾何意義求切線的方程，以導數為工具研究函數的單調性、極值、最值、求參數的范圍和證明不等式. 通過分析求解條件、確定求解程序、調整思維進程，全面考查學生分析問題和解決問題的能力，體現了考查發散思維和聚合思維的和諧統一.

函數、導數、函數零點與不等式知識結合，考查函數零點的概念、導數公式和導數運算法則，考查學生靈活運用導數工具分析和解決問題的能力，綜合考查學生的推理論證能力、運算求解能力、創新意識，以及分類討論和轉化與化歸的思想. 此題三道小題的設置由淺入深，背景豐富，對計算難度、思維深度的要求逐步提高. 考查層次分明，區分度較高，使學生理性思維的廣度和深度得到了充分展示，較好地考查了學生進一步學習的潛能，突出了試題的選拔功能.

在函數與導數相關內容的復習教學中，建議弄清以下基本問題：判斷函數的單調性、求函數的極值（或最值）、證明不等式、求變量的變化范圍、函數零點的討論、函數圖象等. 在此基礎上，通過典型例題的訓練加以鞏固，做到討論不遺漏、分析要全面、計算要精確. 對于高等數學的知識點：一階線性偏微分方程、凹凸性判斷、洛必達法則、拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、泰勒公式等內容，可以根據具體解題需要適當提及. 在未來高考中，函數與導數試題將繼續立足課程標準，注重考查教材中所蘊含的高等數學思想，恰當地在中學數學與高等數學知識的交會處設計試題. 考查學生綜合運用數學思想與方法分析問題、解決問題的能力，以及邏輯推理能力. 通過方法的選擇、解題時間的長短，可以甄別出學生能力的差異，從而達到精確區分學生思維層次的目的.

參考文獻：

［1］李波，張曉斌. 高考導函數題型模式探究［J］. 數學教學通訊（下旬刊），2018（3）：70-72.

［2］曾宏建，許洪斌，李波. 微專題二十四導數的綜合應用［J］. 中學數學教學參考（上旬），2018（3）：31-35.

［3］李波，張曉斌，陳艷艷. 曲徑通幽撥云見日：對一道導函數含參題解法的探究［J］. 中學數學月刊，2019（2）：55-58.