大概念視角下“分數指數冪”的教學與思考

摘? 要：數學大概念教學是實現從知識教學向素養培養轉變的有效途徑. 對于大概念視角下的“分數指數冪”教學，首先，分析教學要素提取大概念，即分數指數冪是整數指數冪的拓展，也是一種運算；其次，由大概念引領確定教學目標，理解冪指數范圍拓展的目的，認識數學的統一性追求；再次，以大概念為主線，重新構建知識框架；最后，圍繞大概念設計教學流程，使課堂教學更有利于發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：大概念；分數指數冪；教學與思考；核心素養

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0037-04

引用格式：孫磊. 大概念視角下“分數指數冪”的教學與思考［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：37-40.

一、問題提出

數學知識的連續性和結構性與課堂教學的片斷性和分散性，是傳統教學中的一對常見矛盾. 學生如果對學科知識缺乏高層次的理解，知識碎片化、記憶短期化、思維淺層化的弊端則不可避免，進而導致數學核心素養的提升困難重重.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中指出：重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實. 大概念教學是彌補傳統教學短板的有效方法.

大概念是指反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它集中反映學科的本質，是對學科知識與技能的抽象與提煉，其意義在于作為數學知識的網點，能整合零碎的學科知識，使得課堂教學內容更具整體性，避免碎片化教學問題. 大概念教學是指以大概念為核心組織教學的一種方式，旨在啟發學生用聯系的觀點看待數學問題，認識數學的整體性.

分數指數冪是一類重要的運算符號表征，在學習和生活中都有著廣泛的應用. 冪指數從整數拓展到有理數，保持了指數冪的運算規律. 以往知識點教學常見的弊端是重計算、輕理解，而以大概念為核心組織教學，對于幫助學生整體構建知識框架、認識指數冪拓展的真正意義具有一定的指導作用.

二、大概念教學實踐

為了實現由知識教學向素養培育的跨越，我們嘗試通過大概念教學將學科大概念滲透到教學內部. 具體教學設計分為分析教學要素、確定教學目標、構建知識框架、設計教學流程四個環節，如圖1所示.

1. 分析教學要素，提取大概念

大概念具有內隱性，不容易被發現和理解，提取大概念的途徑也有很多，往往要綜合考慮課程標準、學習難點、知識與技能目標等要素.《標準》指出：學生通過對有理數指數冪含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質. 其具體內容包含：根式的含義、根式的性質、分數指數冪的含義、分數指數冪的運算法則、分數指數冪的應用. 從知識與技能目標來看，指數冪的拓展是為了滿足運算的需要. 同時，為了研究指數函數的需要，必須把指數的范圍拓展到全體實數. 在拓展過程中要遵循一個原則：關于[an]的運算，保持正整數指數冪的運算性質. 完成拓展后，[an]就是一個運算對象. 指數函數刻畫了現實世界中一類特殊的變化規律，其性質是指變化中的不變性、規律性，這種不變性、規律性可以從代數運算的角度去研究，而代數運算就是關于指數冪的運算. 因此，指數冪的運算性質就是指數函數的主要性質.

分數指數冪作為數學概念和運算工具，其教學過程能夠實現用代數運算的方式揭示函數的性質，從而培養學生的運算能力和數學抽象能力.

綜上所述，貫穿本節課內容的課時大概念浮出水面，即“分數指數冪既是整數指數冪的拓展，也是一種運算”，它既是運算結果也是運算指令.

在這個大概念的引領下，一些教學難點迎刃而解. 例如，為什么要在學習分數指數冪前先學習根式？要知道，根式是對分數指數冪意義的詮釋，其運算又是乘方運算的逆運算，它的出現正是基于運算體系中的關聯性和互逆性的需求. 再如，分數指數冪是由整數指數冪拓展而來，為什么它們的意義又截然不同？舉例來說，[33]表示[3]個[3]相乘，而[313]卻不是[13]個[3]相乘？這涉及運算發展中的一個重要數學思想：擴張與因襲. 這里的擴張是指數的范圍，因襲是冪的運算性質，其意義自然是截然不同的.

2. 確定教學目標，聚焦大概念

教學目標是教學設計的核心，教學目標定位得準確與否直接決定了課堂教學的成效. 威金斯提出的“逆向”教學設計三步驟指出：教學設計要先明確預期結果，我們的課堂應該圍繞預期要達到的結果展開，而不是我們所擅長的教法和活動.

“分數指數冪”一課的教學分為兩個模塊：一個是概念教學模塊，其核心是理解分數指數冪的概念；另一個是運算技能模塊，其核心是能夠準確、熟練地使用根式和分數指數冪兩種運算表征進行計算和化簡. 在“分數指數冪是一種運算”這個大概念的引領下，可以這樣來制定教學目標：（1）從運算對象拓展的角度讓學生體會引入分數指數冪的必要性；（2）引導學生理解分數指數冪的含義，初步掌握分數指數冪的運算；（3）在探究分數指數冪的過程中，體會數與運算發展的擴張與因襲特點，為后續研究冪指數進一步拓展到無理數及復數的學習打下基礎，同時培養了學生的推理能力和運算能力.

顯然，聚焦大概念的教學目標指向性明確，操作性強，避免了過多形式化運算帶來的無意義糾纏，在提升學生運算能力的同時注重其對數學的理解.

3. 構建知識框架，內化大概念

由于大概念是抽象的存在，往往不能直接“教”給學生，且內化于關聯的知識模塊中，故需要將大概分解成具體的小概念，形成層次分明的概念群，并以此為框架對課時教學內容進行梳理，將知識有序地安放在大概念的結構框架中. 大概念本身具有的結構分明、聯系性強的特點，使得重組后的數學知識形成了聯系緊密的結構化整體.

在獲取“分數指數冪是一種運算”這個大概念以后，再來審視“分數指數冪”的教學，會發現所有內容都是以運算的背景、運算的發展、運算的應用等小概念為節點展開，從而形成了“分數指數冪”模塊的結構化知識體系，如圖2所示.

4. 設計教學流程，落實大概念

對于“分數指數冪”這一教學內容，人教A版《普通高中教科書·數學》的編排是由實際問題引出分數指數冪的產生需求，先學習根式，再研究分數指數冪. 其中，分數指數冪的概念是由具體實例（如[2105=22=2105]）歸納得出，分數指數冪的運算性質則是沿襲、保持整數指數冪的運算性質. 如果忽視分數指數冪意義的構建，帶來的弊端是每個知識點都沒有可靠的數學思想作為背景支撐，學生對于概念的形成缺乏認知基礎，會給理解根式與分數指數冪的意義帶來困難，容易使學習過程變成運算的形式化訓練.

從[n]次方根到分數指數冪，將問題情境調整為以運算與數的發展為統一的大背景，從數學擴張與因襲的角度感知指數域擴充的必要性，并在滿足運算性質不變的背景下深刻理解分數指數冪的意義，能更好地發揮這一內容對培養學生推理能力的作用和意義. 因此，教學內容應聚焦在“分數指數冪的運算”，對應的教學流程可以設計為：反思經驗、發現根式—個例演算、歸納性質—立足性質、擴張指數—聯系實際、技能訓練. 基于大概念的教學設計，需要教師將大概念落實到特定情境和具體問題中去，引導學生從知識、技能的學習走向方法的遷移和思想的創新.

（1）以運算互逆性為背景，基于經驗的探索.

問題1：回顧過去學習運算和數的歷程，加法的逆運算是減法，負數的引入實現了加、減法的統一；乘法的逆運算是除法，分數的引入實現了乘、除法的統一. 乘方的逆運算是開方，引入怎樣一種運算，才能把開方也表示成乘方，實現乘方與開方的統一？

問題1是本節課的初始問題，也是核心問題.

問題2：如何定義乘方的逆運算？從下面的問題入手，嘗試歸納猜想.

如果[x2=a，] 那么[x]叫作[a]的平方根（即[2]次方根）. 例如，[±22=4]，[±2]就叫作[4]的[2]次方根；如果[x3=a，] 那么[x]叫作[a]的立方根（即[3]次方根）. 例如，[23=8]，[2]就叫作[8]的[3]次方根. 以此類推，[±24=16]，[±2]就叫作[16]的? ? ? ? ；[-25=-32]，[-2]就叫作[-32]的? ? ? ? .

師生活動：對問題進行探究，并推廣到一般，得出結論，即如果[xn=a，] 那么[x]叫作[a]的[n]次方根，其中[n>1]，且[n∈N?].

問題3：已知[xn=a][n∈N?，n>1]，求[x].

師生活動：學生以小組為單位制訂研究策略，教師給予建議與指導. 最終確定先分別探討當[n]為奇數和偶數時，對于正數、負數、[0]的[n]次方根的值，再歸納整合研究策略.

問題4：[n]為奇數時，[xn=a]，求[x].

師生活動：學生例舉不同實數的奇次方根，計算結果，并在教師的指導下通過歸納獲得初步結論，即① 正數的奇次方根是一個正數，② 負數的奇次方根是一個負數，③[0]的奇次方根是[0].

問題5：[n]為偶數時，[xn=a]，求[x].

師生活動：類比前面的研究方法，學生例舉不同實數的偶次方根，計算結果，歸納結論，教師進行總結評述.

在此基礎上，師生用符號語言描述出問題3中方程的解[xn=ax=an，n為奇數，x=±an，n為偶數，且a≥0.]

教學思考：導入情境的設計主要服務于知識點的引入，從知識的關聯性來看，[n]次方根是分數指數冪的另一種表達方式，體現了同一運算在側重點不同時的多樣化表征；從知識架構來看，[n]次方根是本節課教學的一個過渡概念，它指明了知識發展的規律和方向. 本節課以“分數指數冪是一種運算”為主線尋找知識發生的源頭，開方是乘方運算的逆運算，也就是相同因數累乘的逆向過程：[an]表示[n]個相同因數[a]相乘的結果，[an]則表示一個數，以這個數作為因數能將[a]平均分成[n]個因數的乘積. 這樣設計導入情境在使學生更自然地接受問題的同時，也為后續研究指明了方向：根式運算的性質有哪些？運算的表征如何簡化？等等. 伴隨后續新知的學習，學生能夠同步實現以運算為核心的數學體系的構建. 因此，創設合適的導入情境應該建立在對知識的全面理解與掌握之上.

（2）以個例演算為載體，基于實例的歸納.

問題6：[n]次方根有哪些性質？

師生活動：教師組織學生運用所學知識求具體根式的值，并解釋含義，進而基于解答過程總結規律，歸納出根式的一般性質. ①[ann=][a]；②[ann=a，n為奇數，a，n為偶數.]

教學思考：美國著名教育心理學家奧蘇貝爾認為，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么. 要深刻理解抽象的數學概念需要依托具體的載體，這些載體應該是學生已經熟悉并且牢固掌握的知識. 同時，考慮到學生對于數學的思考往往來自于個別范例和具體活動，故將根式性質的講解放到根式求值的練習之后，這樣更加符合學生的學習心理. 一方面，體現出性質可以簡化運算，也來源于運算的理念；另一方面，是對以往教學中重計算、輕理解的一種矯正. 美國著名教師德·鮑拉認為，教重要的在于聽，學重要的在于說. 在學生解決運算問題后，教師應該鼓勵學生發現規律、總結性質. 這個過程也是學生鞏固所學、理解新知，提高自我效能感，形成嚴謹、求真、求實的思維品質和精神的過程.

（3）以運算性質為工具，基于矛盾的釋疑.

問題7：正整數冪有哪些運算性質？指數取值范圍有何要求？

問題8：初中階段我們是如何引入負整數指數冪和[0]指數冪的？指數域由正整數擴充到整數會帶來哪些好處？

知識回顧：正整數指數冪的運算性質.

（1）[am ? an=am+n m，n∈Z]；

（2）[am÷an=am-n a≠0，m，n∈Z，m>n]；

（3）[amn=amn m，n∈Z]；

（4）[abn=anbn n∈Z]；

（5）[abn=anbn n∈Z].

如果去掉[am÷an=am-n a≠0，m，n∈Z，m>n]中[m>n]的約束條件，運算會產生矛盾：取[m≤n]，等式左邊有意義，等式右邊卻不能用正整數冪來表示，負整數指數冪和[0]指數冪的引入恰好化解了這個矛盾. 取[m=n]，可得[a0=am÷am=1]；取[m=0，n=1]，可得[a-1=a0÷a1=1a].

問題9：進一步取消整數指數冪運算性質中關于指數的限制，當指數取分數時該如何賦予其意義？

師生活動：揭示矛盾，在公式[amn=amn]中，取[m=12，n=2]，等式的右端有意義，但是等式的左端不能用整數冪來表示；認識分數指數冪中規定底數[a>0]的必要性；賦予分數指數冪[amn a>0，m，n∈Z]的意義；類比負整數指數冪的意義，得到負分數指數冪的意義；了解整數指數冪的運算性質對分數指數冪同樣適用.

教學思考：分數指數冪是指數冪拓展過程中的一個節點，初中階段學生經歷過指數冪由正整數向整數拓展的學習過程，負整數指數冪和零指數冪的意義來自冪的運算性質中指數取值范圍的拓展. 高中階段指數冪由整數拓展到有理數的學習過程完全可以延續學生初中階段的探究方式，讓學生體會指數數域拓展的歷程始終離不開冪運算性質的框架. 這樣的設計不僅將分數指數冪的意義建立在了學生熟悉的整數冪的運算性質上，更為后續將指數域拓展到無理數的學習提供了方法支持. 本節課教學最大的難點是分數指數冪的運算，學生面對稍微復雜一些的指數冪運算很容易出錯.“難”的根本原因在于以往教學中對分數指數冪的形成過程不夠關注，過分強調分數指數冪的形式化運算訓練，學生往往強行記憶結論而缺乏應變能力. 因此，為了充分發揮這一內容的育人價值，通過溯源分數指數冪的“出身”，揭示數學知識產生和發展的脈絡，帶領學生感受數學文化的歷史價值是非常有必要的.

（4）以多場景應用為抓手，基于技能的訓練.

問題10：分數指數冪在實際生活、運算化簡中有哪些應用？

師生活動：結合具體生活案例和根式化簡過程感受分數指數冪在生活和數學中的應用價值.

教學思考：數學運算素養的培養過程包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果. 數學運算素養的培養是一個長期的過程，需要教師做好整體規劃，并落實到每節課的教學中. 就“分數指數冪”這節新授課的教學而言，對分數指數冪意義的理解是重中之重，筆者在教學設計中花了大量時間對運算的發展過程進行梳理. 為了讓學生加深對分數指數冪意義的理解，并能夠通過多種運算場景體會分數指數冪的性質，本節課的例題選擇雖然在數量上有所精簡，但是類型多樣，更有助于學生對運算的全面認識.

三、結語

《標準》指出： 數學課程的構建應“突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法”. 大概念作為貫穿整個數學教學過程的核心，不僅要體現數學的本質特點，更要為學生后續更高層次的學習提供必要的基礎. 為了在教學中精準抓住大概念，需要教師深入數學知識內部，準確把握數學知識的本質，捋順數學知識之間的邏輯關系，突出數學知識中蘊含的思想方法. 本節課的教學以“分數指數冪是一種運算”這一大概念為主線進行設計，切實發展了學生的數學核心素養.

參考文獻：

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