馬可·波羅學過什么數學

陳巍，理學博士，現為中國科學院自然科學史研究所副研究員。主要研究科技知識在古代世界的傳播并把世界連為一體的歷程。喜愛“上窮碧落下黃泉”，品鑒各個文明在應對相似問題時展現出的智慧。

古代絲綢之路上最著名的旅行者當屬馬可·波羅（1254—1324），2024年正值他逝世700 周年。這位來自威尼斯的商人，與他的父親和叔叔一道，發揚無與倫比的探險精神、好奇心和適應能力，成為東西方文化交流的使者。正是他留下的口述記錄，為歐洲人提供了對遙遠東方的美好向往，激勵一代又一代人跨越漫長艱險的旅途。發現美洲的哥倫布就是繼承馬可·波羅壯志的最偉大人物之一。

在紀念馬可·波羅時，不應忘記他首先是一名成功的商人。他的游記里有很多各地特產商品的價格信息、對旅途所需時間的預估，以及對中國貨幣、食鹽生產和稅收的描述，都反映了他接受的良好商人技能訓練。在當時的意大利，商業實踐顯著影響著數學知識的發展和普及。雖然馬可·波羅本人沒有留下數學著作，我們依然可以通過同時期的商業數學教材一探馬可·波羅可能擁有哪些數學知識。

從斐波那契出發

早在9 世紀，意大利的海上城邦開始興起。這些城邦雖彼此爭斗，但都奉行重視航海貿易的政策。以商業立國誘使它們不管在和平還是戰爭時期，都或多或少與東方的伊斯蘭世界保持聯系。這讓它們不僅成為東方和歐洲之間各種貨物交換的中介，還是科技、藝術等交匯融合的口岸。

直到12 世紀，意大利商人還使用羅馬數字記數，那是一種非位值制數字體系，只能結合從羅馬時代流傳下來的算盤進行運算，對于日常商業計算來說十分繁瑣。這一困境直到斐波那契（約1170—約1240 或1250）引入阿拉伯數字才得到解決。斐波那契來自比薩，因此又名比薩的萊昂納多。他的父親掌管北非港口布吉亞的貿易站，斐波那契自幼跟隨父親在北非游歷。那時的北非地區與意大利城邦雖信仰不同，在經濟上的聯系卻已經十分緊密。斐波那契在北非的算術學校很快發現一種與意大利完全不同，但在書寫大數字和計算乘除法方面都更加便捷的數字，它由原創于印度的1—9，以及阿拉伯人增加的0 組成。

這種數字在這之前幾十年已經在翻譯成拉丁語的阿拉伯數學著作里出現過，不過傳播范圍很小。1202 年，斐波那契在《算術之書》中向歐洲人系統介紹了印度- 阿拉伯數字，包括整數和分數的表示方法。這部書包括許多純粹的數學知識，例如廣為人知的斐波那契數列。然而，斐波那契把面向商業的應用型知識放在艱深的數學問題之前，反映了他心目中學習知識的優先次序。這些實用知識包括貨幣和計量單位的換算，以及利潤、利息的計算等。從實際應用起步，再過渡到數學難題，循序漸進的編排也是《算術之書》獲得成功的一個原因。

1227 年，斐波那契把《算術之書》加以修訂，獻給與他同為神圣羅馬帝國宮廷服務的另一名蘇格蘭科學家邁克爾·斯科特，這個版本在后世影響更大。盡管如此，阿拉伯數字在歐洲并沒有迅速取代羅馬數字，而是直到印刷術廣泛使用后才獲得壓倒性優勢。

意大利的算術學校

斐波那契還著有另一部專門面向商業計算的著作，可惜此書已經佚失。有學者指出，這部商業數學著作可能對隨后2 個世紀的商人教育產生更直接影響。這類教育主要是在13 世紀意大利各城邦開辦的算術學校里推行的。

嚴格來說馬可·波羅年輕時不一定接觸過阿拉伯數字，因為斐波那契的著作最先擴散到位于意大利西北部的比薩周邊，而威尼斯的算術學校可能是在14 世紀早期才建立的。馬可·波羅接觸阿拉伯數字要么是在東方旅行的途中，要么是1295 年他返回威尼斯之后。

目前現存最早的算術學校課本來自佛羅倫薩，成書于約1290 年。到14 世紀初，這類教材的內容在不同城市已經大同小異，主要包括對印度- 阿拉伯數字的介紹、用手指計算、整數和分數計算、比例計算、雙假設法、商業涉及的數學問題、實用幾何學、趣味數學、代數學等內容。每個城市的教材在數學上都明顯受到斐波那契的影響，同時會根據當地和貿易往來地區的貨幣、度量衡、稅收等情況傳授知識。這些學校的學員不僅包括商人，還有會不時參與買賣的船員、工匠等。隨著識字率的提升，數學問題集又通過傳抄而在社會上廣泛流傳。

按今天的話說，商人們學習的數學知識的重點、難點主要集中在3 個“單元”，分別是“三的法則”“雙假設法”和“解方程”。

“三的法則”是中世紀商人最常用、最熟練的計算技巧。其實質就是根據比例中的3 個已知量求出第4 個未知量。中世紀商人通常設法把已知量排列到比例算式的前3 位，把未知量排到最后，用現代方式表示相當于計算d=bc/a ，因此這類題目的表述方式是很重要的。例如課本里會出現這樣的問題：“如果400 磅胡椒價值49 又1/2 金幣，那么315 磅胡椒的價值是多少？”類似地還可以解決關于貨幣兌換、度量衡換算等問題。

“雙假設法”最早起源于中國的“盈不足術”，它的特點是對于求解類似ax+b=c 的線性方程問題，可以先提出2組不正確的答案，再利用公式得出最終最接近于正確的答案。同樣是前面的胡椒問題，可以先部分運用“三的法則”，得到400x =99/2×315，接下來畫出一個大× 符號，在× 的左上角和右上角分別寫2 次假設的x 值（例如圖中分別設x =10 和x =20），左下角和右下角分別寫2 次假設后與等式右側相差的數量（如圖中分別寫出2 次假設相差的11592 又1/2 和7592 又1/2），然后讓× 上的4個數字交叉相乘，再將2 個積相減，得到被除數（圖中結果是155925），再讓× 下方兩個數字相減，得到除數（圖中結果為4000），最后作除法計算，得出結果為38 又3925/4000（實際上還要換算成各級貨幣單位）。顯然對于比例求解來說，雙假設法顯得過于繁瑣，這一例題更多用來展示這種算法的步驟，同時也是告誡學生數學問題往往可以用不同方法得出答案。

在西方數學傳統中，方程一般被歸為阿拉伯數學家花拉子米的發明。在教材中會列出系數、未知數和常數擺放在不同位置的各類方程，除了一次和二次方程外，還有許多三次乃至四次的高階方程的解法，不過這些解法并不總是正確的。前面的胡椒問題也可以用方程解決，這時就不用再拘泥于“三的法則”里對數字順序的要求了，題目可以修改成“如果未知的數字給我315 磅胡椒，49 又1/2 金幣將給我400 磅胡椒”，當時還沒有未知數的表達符號，我們暫且用x 表示未知數，因此原題要計算的就是x/315=（99/2）400。兩邊都乘以315，再用右邊99/2 和315 的積除以400，就可以得到要求的未知數。

主要面向商人的算術學校在意大利持續繁榮到17 世紀，之后就隨著意大利城邦的衰落而逐漸減少。從以上問題中我們可以看出，當時商業數學教育主要沿循斐波那契傳統，力爭在滿足實際需要的基礎上訓練不同解題方法，為熱愛數學的人也留下了空間。不同城邦根據自身情況改編的算術教材，則從內容上豐富了原本的數學著作。可以說，數學家的數學和商人數學在當時是同源又平行發展的兩條脈絡。

回顧中國數學史，我們也可以發現元代以后，民間商業數學的聲勢逐漸浩大，與之相應的是算盤取代算籌作為運算工具，但從數學角度講，這以后的中國本土數學水平卻一路走低，直到明末西方數學傳入才漸有起色。為什么意大利的兩條線索能夠并行發展、共同繁榮，而中國卻在商業數學始終傳承不輟的同時逐漸丟失原有數學優勢，是值得深思的問題。