基于模型預測控制的雙輪平衡輪椅軌跡跟蹤

常宏 王賾

摘要：為實現雙輪平衡輪椅的自主循跡出行，根據歐拉-拉格朗日方程建立雙輪平衡輪椅的動力學模型，通過差動幾何模型建立運動關系，采用Pure Pursuit算法規劃系統的目標運動狀態，分別采用模型預測控制（model predictive control，MPC）及線性二次型最優控制（linear quadratic regulator，LQR）對雙輪平衡輪椅進行平衡控制及運動狀態追蹤。通過軟件Simulink搭建雙輪平衡輪椅控制仿真系統，驗證雙輪平衡輪椅系統分別采用LQR和MPC控制器時的軌跡跟蹤效果及跟蹤平穩性。仿真結果表明：MPC控制器的動態響應速度較LQR控制器快，MPC控制器作用下車體能快速恢復穩定狀態；軌跡跟蹤時，MPC控制器在啟動轉向及終點位置對車體傾角及速度的穩定控制優于LQR控制器。

關鍵詞：雙輪平衡輪椅；LQR控制器；MPC控制器；軌跡追蹤

中圖分類號：U489;TP242.6文獻標志碼：A文章編號：1672-0032（2024）02-0001-09

引用格式：常宏，王賾.基于模型預測控制的雙輪平衡輪椅軌跡跟蹤［J］.山東交通學院學報，2024，32（2）：1-9.

CHANG Hong，WANG Ze. Trajectory tracking of two-wheel balanced wheelchair based on model predictive control［J］.Journal of Shandong Jiaotong University，2024，32（2）：1-9.

0?引言

輪椅是出行不便人員的輔助行動工具之一，一般通過人工協助、手柄遙控等方式完成輪椅的行動動作。隨輪椅使用者的自主性出行需求和出行質量要求的提高，使輪椅適應更復雜的道路環境，提高輪椅的安全性及乘坐舒適性變得至關重要。

常宏等[1]采用雙輪平衡輪椅系統結合圓弧齒架設計能自助上下樓的輪椅，但未進行完整路徑追蹤控制。雙輪平衡輪椅系統有高度非線性特征，受力復雜，茅力非[2]采用拉格朗日運動方程建立座椅自平衡雙輪機器人在平坦路面和顛簸路面的動力學模型；Yang等[3]引入邊界函數，建立雙機械臂非線性復雜內力系統的動力學模型。為實現平衡系統的控制與狀態跟蹤，劉學明等[4]基于后退方法，采用運動學跟蹤控制器和動力學跟蹤控制器，實現雙輪平衡車在不確定運動下的參數自動調節；黃用華等[5]采用線性二次型最優控制（linear quadratic regulator，LQR）設計雙輪自行車系統點對點運動的軌跡控制器。針對平衡系統模型與控制的結合及參數調優等問題，黃鶴等[6]采用拉格朗日方程構建雙輪平衡機器人系統動力學方程，采用改進的食肉植物算法（improved carnivorous plant algorithm，ICPA）優化LQR權重系數，對雙輪平衡機器人進行高精度軌跡跟蹤；高志偉等[7]采用拉格朗日方程構建雙輪自平衡小車系統的動力學方程，通過LQR優化比例積分微分（proportional integral derivative，PID）控制，提高小車的軌跡跟蹤性能，降低能量消耗；Murcia等[8]、Yue等[9]基于PID控制器控制雙輪倒立擺機器人的運動軌跡；寧一高[10]考慮避障運動問題，采用LQR控制器對雙輪平衡車進行路徑規劃。模型預測控制（model predictive control，MPC）不僅適用于線性系統，在非線性系統中也有較好的適應性，已在自動駕駛領域得到廣泛應用，梁棟[11]、龔大為[12]基于阿克曼車輛動力學模型，將MPC控制器應用于車輛控制及軌跡追蹤；Yuan等[13]通過將LQR控制器與MPC控制器結合實現對車輛不確定狀態的適應性控制。PID控制器通常不需對系統建模，通過調節PID參數即可實現期望動作，但易出現超調、控制量過大等問題；LQR控制器基于線性化后的動力學模型，在平衡點附近實現車體的控制響應，但僅結合當前的狀態反饋進行控制，易使被控對象陷入當前最優狀態；MPC控制器基于被控對象當前狀態及未來時間的預測結果實施控制，控制效果較好。

雙輪平衡輪椅為典型的非線性、欠驅動模型[14-16]，僅依靠運動幾何關系，在期望狀態附近線性化構建控制律難以實現對車體的平衡控制和規劃軌跡的穩定跟蹤。為改善車體平衡控制及軌跡追蹤效果，本文采用MPC控制器改進雙輪平衡輪椅的控制系統，使雙輪平衡輪椅實現自主路徑追蹤，通過軟件Simulink搭建雙輪平衡輪椅控制仿真系統，驗證系統的軌跡跟蹤效果。

1?動力學建模

Ow—車輪旋轉中心；v—車速；α—車體偏航角；

θ—車體傾角；R—車輪半徑；lb—Ow與O的距離；

lc—輪椅質心到O的距離；ψl、ψr—左、右輪的轉速。

為避免分析雙輪平衡輪椅系統內部運動副約束，采用拉格朗日方程求解系統的動力學問題[2，17-18]。建立雙輪平衡輪椅系統的動力學模型，如圖1所示，以輪椅2個車輪旋轉中心連線的中點為坐標原點O，車體處于平衡位置時，以垂直于車軸和車體組成的平面，水平向前為xG軸，以垂直于大地豎直向上為zG軸，以垂直于xG和zG組成的平面，由右輪指向左輪為yG軸，建立大地笛卡爾坐標系OxGyGzG，固定在輪椅起始位置，不隨車體移動；以垂直車軸和車體所構成的平面，指向車體前進方向為xb軸，以垂直于xb軸，由右輪指向左輪方向為yb軸，以垂直于xb軸和yb軸構成的平面，向上方向為zb軸，建立車體笛卡爾坐標系Oxbybzb，其隨車體移動而移動。雙輪平衡輪椅的結構參數如表1所示。

注：mw、mb分別為車輪、車體的質量，Iwa為車輪轉動慣量，Iwd為車輪繞直徑方向的轉動慣量，Ixx、Iyy、Izz分別為車體對xb、yb、zb軸的轉動慣量，fb為車身運動粘滯阻力的耗散能系數，fw為地面粘滯阻力的耗散能系數。

雙輪平衡輪椅車體轉動動能

TRb=IbGω2/2，

式中：IbG為車體相對大地笛卡爾坐標系的慣性矩，ω為車體轉動角速度。

雙輪平衡輪椅車體平動動能

TTb=mbvbG2/2，

式中vbG為車體平動速度。

選取雙輪平衡輪椅車軸所在平面為零勢能面，車體勢能

Vb=mbglccos θ，

式中g為重力加速度。

雙輪平衡輪椅車輪轉動動能

TRw=Iwaψr·2+Iwaψl·2+2Iwdθ·2/2，

式中：ψl·、ψr·分別為左、右輪的轉動角速度，θ·為車體傾斜角速度。

雙輪平衡輪椅車輪平動動能

TTw=mwR2（ψr·2+ψl·2）/2。

阻力會造成能量損失，雙輪平衡輪椅系統運轉的能量損失

D=fw（ψr·2+ψl·2）+fbθ·2/2。

拉格朗日方程從能量角度求解動力學模型，計算雙輪平衡輪椅系統的機械能

L=TRb+TTb+TRw+TTw－Vb。

選取初始狀態變量q=x?y?θ?α?ψrψlT，建立雙輪平衡輪椅系統的拉格朗日方程為：

ddt-L-q·－-L-q+-D-q·=Eqτ+AT（q）λ，

式中：τ為車輪轉矩輸入矩陣，τ=τrτlT，其中τl、τr分別為左、右轉軸的轉矩；A（q）為系統的非完整約束矩陣；λ為拉格朗日乘子；Eq為簡化后轉矩矩陣的系數矩陣，表達式為：

E（q）=000000－110－101T。

考慮車輪處于純滾動狀態，滿足A（q）q·=0，則：

A（q）=－sin αcos αcos αsin αcos αsin α00b0－b000－R00－R。

A（q）的零空間矩陣S（q）使A（q）S（q）=0，則：

S（q）=00cos αsin α00010010001/R1/Rb/R－b/RT。

q·與Sq間滿足

q·=Sqυ，

式中：υ為車體運動狀態向量，υ=θ·?v?α·T，其中α·為車體偏航角速度。

根據歐拉-拉格朗日法建立雙輪平衡輪椅的動力學方程為：

Mqq··+Vq，q·=Eqτ+AT（q）λ，（1）

式中：Mq為狀態變量二階項系數矩陣，Vq，q·為狀態變量及狀態變量一階項描述矩陣，q··為狀態變量的二階導數。

式（1）兩邊同乘ST（q）得：

［ST（q）M（q）S（q）］υ·+ST（q）［M（q）S·（q）υ+V（q，q·）］=ST（q）E（q）τ，

式中S·（q）為S（q）對q的一階導數。

ψr、ψl可通過θ·、v表達，初始狀態變量修正為q=（xyθα）T，為實現系統的平衡及速度控制，選取狀態變量為x=（θαθ·vα·）T，控制量u=（τrτl）T，建立系統狀態方程為：

x·=g（x）u+f（x），（2）

式中：g（x）為系統輸入矩陣，g（x）=02×2ST（q）M（q）S（q）－1ST（q）E（q）；f（x）系統狀態矩陣，f（x）=θ·α·－ST（q）M（q）S（q）－1ST（q）［M（q）S·（q）υ+V（q，q·）］。

2?模型預測控制

MPC依據系統模型狀態預測未來時間狀態，通過優化系統狀態與目標狀態的誤差求解控制量。軌跡跟蹤中已知目標路徑，MPC可結合更多的狀態因素優化控制量。

由式（2）可知：雙輪平衡輪椅動力學系統為非線性系統，正常工作時狀態基本穩定在平衡點，即θ=0，θ·=0，對該系統在平衡點處進行麥克勞林展開，忽略高次項，得狀態偏差的一階導數

x·=Ax+Bu，

式中：x為狀態偏差，x=x－xd，其中xd為期望目標狀態；u為輸入偏差，u=u－ud，其中ud為預期輸入狀態；A、B為線性系數矩陣，A=00100

00001

a310a33a340

a410a43a440

a510000a55，

B=00b31b41b5100b32b42b52，A、B中各元素的表達式分別為：

a31=［2（2mwIxx+mbIxx－mbIzz－2mwIzz）R2α·2－4mwmbR2glc+4Iwambl2cα·2－4Iwamblcg+4mwmbR2l2cα·2+

4（Ixx－Izz）Iwaα·2－2m2bR2glc］/K1，K1=－4IyymwR2－4mbmwl2cR2－4IyyIwa－4mbl2cIwa－2IyymbR2，a41=

［（Iyy－Ixx+Izz）mbR2lcα·2+m2bR2l2cg+m2bR2l3cα·2］/K2，K2=－IyymbR2－2IyyIwa－2IyymwR2－2mbl2cIwa－

2mbmwl2cR2，a51=mblcR2vα·/K3，K3=IzzR2+2IwdR2+2Iwdb2+2mwb2R2，a33=［－4Iwafb－（4mw+

2mb）R2 fb］/K1，a34=mbR2lcfb/K2，a43=4mblcfw/K1，a44=（－2fwmbl2c－2fwIyy）/K2，a55=2fwb2/K3，b31=b32=（mbR2+2Iwa+2mwR2+mblcR）/K1，b41=b42=－R（mblcR+Iyy+mbl2c）/K2，b51=－b52=bR/K3。

通過前向歐拉法將連續系統轉換為離散系統，采樣周期為T，k+1時刻的狀態誤差

xk+1=A—xk+B—uk，

式中：xk為k時刻的狀態誤差；uk為k時刻的輸入變化量；A—、B—為系統離散化后線性系數矩陣，A—=I+AT，I為單位矩陣，B—=BT。

取預測區間長度為N，x（k+i|k）、u（k+i|k）為系統在k時刻對k+i（i=1，2，…，N）時刻的預測狀態，系統的預測誤差為e=x－xr，預期目標xr=0，則e=x。為保證系統在預測區間內運行的狀態誤差、終末誤差及控制量之和最小，構造系統的代價函數

J（x，u）=∑N－1i=0［x（k+i|k）TQx（k+i|k）+u（k+1|k）TRu（k+1|k）］+x（k+N|k）TFx（k+N|k），（3）

式中：Q為衡量系統狀態誤差的增益矩陣，R為系統輸入變化量的增益矩陣，F為終態增益矩陣。

通過建立的離散系統方程可解得預測區間內系統狀態預測為：

x（k|k）=xkx（k+1|k）=A—xk+B—u（k|k）x（k+2|k）=A—2xk+A—B—u（k|k）+B—u（k+1|k）?x（k+N|k）=A—Nxk+A—N－1B—u（k|k）+…+B—u（k+N－1|k）。（4）

由式（4）得系統在k時刻的預測區間狀態方程為：

Xk=Mxk+CUk，（5）

式中：Xk為預測N步的狀態誤差矩陣，M為k時刻狀態誤差的系數矩陣，Uk為預測N步的輸入變化量，C為預測N步輸入變化量的系數矩陣，表達式分別為：

Xk=x（kk）x（k+1|k）x（k+N|k），M=I5×5A—A—2A—N，Uk=u（kk）u（k+1|k）u（k+N－1|k），C=05×205×2…05×2

B—05×2…05×2

A—B—B—…05×2

A—N－1B—

A—N－2B—

…B—。

將式（5）代入式（3）得：

J（x，u）=XkTQ—Xk+UkTR—Uk=Mxk+CUkTQ—Mxk+CUk+UkTR—Uk=

xkTMTQ—Mxk+2xkTMTQ—CUk+UkT（CTQ—C+R—）Uk，（6）

式中：Q—為由狀態增益矩陣與終態增益矩陣組成的對角陣，Q—=Q0…0

0Q…0

00…F；R—為輸入變化量增益矩陣組成的對角陣，R—=R…00…R。

式（6）中xkTMTQ—Mxk為初始狀態，不影響代價函數，可忽略，即將問題轉化為求解令J（x，u）最小的預測N步的輸入變化量Uk，可通過二次規劃求解，最終可得系統在k時刻的控制量為Uk（1）。

圖2?雙輪平衡輪椅差動幾何運動模型

構建雙輪平衡輪椅差動幾何運動模型如圖2所示。用車體差動幾何模型中心速度描述車體的行進速度

v=vl+vr/2，

式中vl、vr分別為左、右車輪的速度。

車體的偏航角速度α·可看作右輪相對左輪旋轉的角速度，即

α·=vr－vl/l，

式中l為輪距。

采用Pure Pursuit算法[19]規劃雙輪平衡輪椅的目標軌跡，估計車體當前位置與目標點的距離偏差、角度偏差，得到車體轉動角速度，即規劃系統的α、α·及v，將運動規劃結果作為動力學模型的期望結果，使雙輪平衡輪椅系統依據自身的約束特性跟蹤運動狀態，實現雙輪平衡輪椅對預期位置的軌跡跟蹤，并保證響應速度與跟蹤平穩性。

3?仿真與分析

3.1?仿真系統搭建

采用軟件Simulink搭建雙輪平衡輪椅控制仿真系統，包括雙輪平衡輪椅動力學模型、LQR和MPC控制器、運動規劃模塊及顯示模塊，如圖3所示。將既定行進軌跡輸入運動規劃模塊得到雙輪平衡輪椅的期望狀態，通過LQR和MPC控制器進行期望狀態跟蹤。分析雙輪平衡輪椅系統分別采用LQR、MPC控制器時的軌跡跟蹤效果及跟蹤平穩性。

圖3?雙輪平衡輪椅控制仿真系統

為使雙輪平衡輪椅系統在控制器作用下穩定運行，設定LQR控制器的系統狀態增益矩陣QLQR及系統輸入增益矩陣RLQR分別為：

QLQR=1 000?0?0?0??0

0100?0?0??0

0?0100?0??0

0?0?0100??0

0?0?0?01 000，RLQR=0.01?00??0.01。

設定MPC控制器的系統狀態增益矩陣QMPC及系統輸入增益矩陣RMPC分別為：

QMPC=100000

050000

001000

0001000

00001 000，RMPC=0.05?00??0.05。

通過MATLAB中的lqr函數求解LQR控制器的反饋增益K，得到LQR控制律為u=－Kx。

借助MATLAB二次規劃函數quadprog求解式（6），可得預測區間內的Uk，則當前時刻MPC控制律為u=Uk（1）。

3.2?系統動態響應

設定雙輪平衡輪椅系統初始狀態x=0.090010T，即初始時刻θ=009 rad，v=1 m/s，車體期望狀態為平衡位置即自平衡狀態（θ=0，v=0），驗證雙輪平衡輪椅系統分別在LQR和MPC控制器作用下的穩定性，仿真結果如圖4所示。

a）LQR控制器????????????????????????b）MPC控制器

圖4?LQR和MPC控制器對雙輪平衡輪椅系統的穩定性控制

由圖4可知：LQR和MPC控制器均可使車體從初始狀態恢復至平衡穩定狀態，MPC控制器作用下車體可較快達到穩定狀態。

設定雙輪平衡輪椅系統初始狀態為平衡位置，車體目標狀態為xd=00010T，即以v=1 m/s穩定前進，驗證LQR和MPC控制器對雙輪平衡輪椅系統速度的控制情況，仿真結果如圖5所示。由圖5可知：LQR和MPC控制器均可實現對雙輪平衡輪椅系統速度的跟蹤控制，在MPC控制器作用下車體較快響應至目標速度附近。

a）LQR控制器b）MPC控制器

圖5?LQR和MPC控制器對雙輪平衡輪椅系統的速度控制

雙輪平衡輪椅系統的動態響應指標如表2所示。由表2可知：MPC控制器的動態響應速度較LQR控制器快，二者在速度跟蹤中均因系統線性化引入的模型偏差而無法準確追蹤速度，但MPC控制器的速度跟蹤穩態誤差較LQR控制器小。

3.3?系統軌跡追蹤

設定目標軌跡為半徑0.4 m的圓形，循跡速度為0.2 m/s，雙輪平衡輪椅系統初始狀態為x=（0－1.5000）T，初始位置坐標為（0.4 m，0），輪椅初始正方向與x軸夾角為－90°。分別采用Pure Pursuit算法、LQR控制器和MPC控制器跟蹤目標軌跡，仿真結果如圖6所示。由圖6可知：Pure Pursuit算法僅通過運動幾何關系跟蹤目標軌跡，初始階段需較大的轉彎半徑，LQR和MPC控制器的轉彎半徑明顯減小。

a）Pure Pursuit算法?????????????b）LQR控制器??????????????c）MPC控制器

LQR和MPC控制器跟蹤目標軌跡時對雙輪平衡輪椅系統的狀態控制如圖7所示。由圖7可知：LQR和MPC控制器均對雙輪平衡輪椅系統狀態有較好的控制，車體速度逐步達到并穩定在目標速度附近，傾角始終穩定在0°附近，由于要保持一定行進速度，車體略向前傾，即θ>0°；當輪椅抵達終點位置時，速度急劇減小，由于慣性車體短時間內前傾角較大，但二者均可較好的控制車體平衡，恢復至平衡狀態。MPC控制器可較快完成規劃路徑的循跡，用時225 s，LQR控制器用時250 s，前者提前25 s達到指定速度，響應速度較快；LQR控制器在經過200 s（輪椅行進至270°附近）時車體傾角狀態出現抖動（圖7虛線框選位置），MPC控制器在整個循跡周期內傾角和速度狀態較平穩，控制效果較好。

a）LQR控制器????????????????????????b）MPC控制器

在終點位置，雙輪平衡輪椅系統因自身慣性無法形成Pure Pursuit算法的瞬間停止機制，LQR與MPC控制器的動力學控制更接近實際運行情況。LQR與MPC控制器對雙輪平衡輪椅系統的終點控制如圖8所示。

a）LQR控制器??????????????????????b）MPC控制器

圖8?LQR與MPC控制器對雙輪平衡輪椅系統的終點控制

由圖8可知：當輪椅到達終點位置（0.4 m，0）時，車速沒有瞬間為0而是保持當前的運動狀態，在控制器的作用下逐步修正車體狀態后停止。從終點處的實際追蹤軌跡來看，輪椅在LQR控制器作用下，越過終點位置后，未能及時到達目標狀態，徘徊于目標位置附近；MPC控制器相較于LQR控制器可較快到達目標狀態，原因是MPC控制器在控制過程中引入未來一段時間的信息，獲得與目標路徑更適配的控制量。

LQR和MPC控制器完成目標路徑跟蹤的平均誤差分別為0.047、0.046 m，跟蹤精度相似。MPC控制器引入未來時間的狀態信息進行跟蹤優化，在跟蹤穩定性及終點位置的控制表現較好。

4?結束語

通過歐拉-拉格朗日方程建立雙輪平衡輪椅系統非線性動力學模型，對其進行線性化及離散化，建立預測區間內狀態誤差、輸入誤差及終點誤差的代價函數，采用二次規劃求解當前時刻的最優控制輸入。通過與幾何模型追蹤控制和LQR控制器追蹤控制對比，MPC控制器對雙輪平衡輪椅系統控制有較快的動態響應，在軌跡跟蹤過程引入系統內部約束及未來狀態信息，在追蹤啟動、終點處有效控制系統，優化跟蹤路徑。本文僅針對平坦水平路面進行動力學建模分析，可繼續研究在斜面及顛簸路面的軌跡跟蹤。

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Trajectory tracking of two-wheel balanced wheelchair based on

model predictive control

CHANG Hong，WANG Ze

School of Mechanical Engineering， Inner Mongolia University of Technology， Hohhot 010051， China

Abstract：In order to achieve the autonomous tracking travel of the two-wheel balanced wheelchair， a dynamic model of the two-wheel balanced wheelchair is established based on the Euler-Lagrange equation， and the motion relationship is established through the differential geometric model. The Pure Pursuit algorithm is used to plan the target motion state of the system， and model predictive control（MPC） and linear quadratic optimal control（LQR）are used to balance and track the motion state of the two-wheel balanced wheelchair. The simulation system for the control of the two-wheel balanced wheelchair is built through software Simulink to verify the trajectory tracking effect and tracking stability of the two-wheel balanced wheelchair system when LQR and MPC controllers are used. The simulation results show that the dynamic response speed of the MPC controller is faster than that of the LQR controller， and the MPC controller can quickly restore the stable state of the vehicle body when acting on the vehicle body; when tracking the trajectory， the MPC controller has better stable control of the vehicle body inclination angle and speed at the starting and ending positions than the LQR controller.

Keywords： two-wheel balanced wheelchair; LQR controller; MPC controller; trajectory tracking

（責任編輯：趙玉真）

收稿日期：2023-04-28

基金項目：內蒙古自治區關鍵技術攻關計劃項目（2021GG0258）

第一作者簡介：常宏（1992—），男，呼和浩特人，工學碩士，主要研究方向為機器人控制，E-mail：changhong@imut.edu.cn。

*通信作者簡介：王賾（1974—），男，呼和浩特人，主要研究方向為飛行器制造，E-mail：wangze@imut.edu.cn。

DOI：10.3969/j.issn.1672-0032.2024.02.001