單擺及旋輪線模型等時性特征的對比研究

摘? ?要：單擺模型在整個下落過程中不具有嚴格的等時性，其振動周期與擺角有關；而豎直面內的旋輪線模型則具有嚴密的等時性。分析發現，單擺只有在小角度條件下才能近似看成等時擺，從而與旋輪線模型等效。

關鍵詞：單擺；旋輪線；等時性；數學推理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）5-0069-4

單擺，又名圓周擺，其往復擺動過程中具有“等時性”特征。但其前提條件往往容易被學生忽略；亦或學生雖知道小角度擺動條件下單擺可以近似看作簡諧運動，具有等時性的特點，但學生對該知識點的理解往往僅停留在表面，對其沒有深入研究。造成此類現象的原因可能是一線教師在進行單擺具有“等時性”（僅與擺長和當地重力加速度有關，與振幅無關）特點的內容教學時，部分學生數學知識相對薄弱，故沒有深度剖析小角度問題；或是在進行深入研究時，苦于高等數學知識的遺忘，造成自身對其理解并不充分等。鑒于此，本文將從單擺模型出發，借助高等數學工具進行深入研究，剖析單擺及旋輪線模型“等時性”問題。希望能給一線教師帶來一些啟示與參考。

1? ? 單擺等時性的歷史淵源

伽利略在教堂里觀察到掛燈的擺動，他通過自己的脈搏發現其每做一次完整的擺動所需時間是一樣的。之后他得出這樣的結論：掛燈每做一次全擺動所需時間是一定的，即擺的等時性原理。1629年出生于荷蘭的物理學家惠更斯，在伽利略的基礎上對擺進行了進一步研究，發現單擺具有等時性的特點只是近似的，真正的等時擺動軌跡并不是圓弧，而是擺弧［1］。根據這一發現，惠更斯于1657年制作出世界上第一臺擺鐘，并在1673年發表《擺鐘論》一書，詳細介紹了擺鐘的結構及相關的數理問題，并在1675年嘗試在擺鐘上采用擺輪游絲裝置等。這些發明都極大地促進了精確計時技術的發展［2］。

2? ? 單擺等時性的數學證明

如圖1所示，懸線系著一質量為m的小球靜止在A處，此時懸線與豎直方向的夾角為φA。現釋放小球，其向下擺動過程中與豎直方向的夾角為θ，不計一切阻力，求小球從A運動到最低點B所用時間tAB。

證明? 建立圖1所示的直角坐標系，并設經過A與B之間的某點C時小球的速度為v，則由動能定理可知

可見，從A到B運動的時間跟k有關（k=sin），即與振幅擺角φA有關，隨φA的增大而增大。而單擺的周期T=4tAB，可見其與振幅呈正相關，不具有嚴格的等時性。

那什么條件下單擺可以近似看成等時擺呢？我們對（6）式進行分析。其中，k∈（0，1），k2n?0，此時級數是收斂的，在φA→0時，k→0，所以可以略去后面的高階無窮小量。此時T=2π，即實際應用中，在擺角足夠小的情況下，可用該單擺周期公式進行計算。

對擺角足夠小的認識：T'保留（6）式中的一、二項，T保留第一項，進行誤差計算

η==k=sin2

表1為φA取不同值時單擺的周期誤差。

從表1中數據可以看出，當最大擺角為15°時，誤差在0.5%以內；當最大擺角為5°時，誤差在0.05%以內。由于實驗還涉及繩長的測量及計時誤差等，因此中學階段單擺實驗的最大擺角應控制在5°內較為適宜。

3? ? 旋輪線等時性的數學證明

在如圖2所示的直角坐標系中，一個半徑為R的圓沿著x軸正向滾動，圓邊界上一定點O形成的軌跡如曲線OPB所示，該曲線數學上稱為圓滾線、旋輪線或擺線。假設旋圓滾動的夾角為θ時旋圓上定點O運動到圖中P點，此時線段OQ的長度等于弧長，等于Rθ，所以P點的坐標為

所以，小球沿著旋輪線從任意位置下滑到最低點的時間均相等，即在理想條件下小球沿旋輪線自由運動具有等時性，與其初始位置（振幅）無關。小球運動的周期為

T=4π

其中，R為旋圓半徑。

4? ? 惠更斯的擺線擺模型

單擺雖具有簡潔性，但不能嚴格地用于計時，為了解決這個問題，惠更斯根據擺線（旋輪線）的等時性特征，制造了一種新型的擺叫作擺線擺，如圖4所示。用木板制作一個凸型板（圖中陰影部分），每一塊都做成擺線的半個拱形弧形狀，在O點處相接。其中，擺線的旋圓半徑為R，擺線長為L，在繩的自由端系上一個質量大、體積很小的鋼球（看成質點）。

小球初始時，細線緊貼著凸型板的弧邊，小球運動時形成的弧線為一條擺線［7］。若小球做小擺角運動，擺角小于5°，則凸型板的影響幾乎沒有，即與普通單擺類似，其周期也可用普通單擺周期公式進行計算。

惠更斯設計的擺線擺模型，巧妙地融合了單擺及擺線（旋輪線）的特點，具有嚴格的等時性。他根據這一原理設計了世界上第一臺擺鐘。

5? ? 結論及反思

綜上，小球在任意位置沿著豎直面內的旋輪線下滑到最低點，所用時間均相等；而單擺僅在小角度內擺動時對不同振幅所用時間才近似相等，二者才能等效。本文通過梳理單擺及旋輪線“等時性”部分的內容，主要有兩點考慮：其一，加深對單擺周期公式的理解，并在教學相長、教研相長的過程中不斷提升教師的學科素養；其二，在課堂教學中，滲透惠更斯這樣一段艱辛的探索歷程，激發他們對科學家的崇敬之情。

參考文獻：

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［6］王寶富，鈕海.大學數學基礎教程（二）多元函數微積分［M］.北京：高等教育出版社，2004：122-123.

［7］張家瑞，李興春.擺線族［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2015：42-47，182.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-03-30

作者簡介：謝祿橋（1993-），男，主要從事中學物理教學工作。