以畫助數 激活思維

楊慧儀

畫圖是一種解決數學問題的有效策略。由于小學生的思維認知水平較低，在教學中常常會借助畫圖讓抽象的數學問題變得具象簡單，從而幫助學生分析問題、解決問題，所以培養學生的畫圖意識有利于學生解題能力的提升。但在實際教學中普遍存在學生不善畫圖解題的現象，本文針對小學數學畫圖教學的意義展開論述，并結合畫圖教學現狀，對如何培養學生畫圖意識、提高解題能力提出了幾點方法。

一、用“畫”開展教學的積極意義

（一）抽象關系直觀化

數學這門學科不同于其他學科，它的概念性是比較強的，在小學數學的概念教學中，學生所學的內容非常抽象，如果教師不能建立起學生思想與數學概念之間的聯系，那么學生就會在學習中遇到各種各樣的問題。為了能讓抽象性的概念更加直觀化，教師可以借助畫圖的教學方式，把數和形結合起來，利用豐富的感性材料為建構數學概念奠定良好的基礎，這樣學生對所學的數學概念就容易理解并掌握了。比如在學習中學生經常會遇到這種類型的問題：“求一個數的幾倍是多少？”學生最不容易理解的就是“倍數”的概念，如何將這一數學概念簡單明了地傳授給學生，是教師需要思考的問題。比如可以利用多媒體動畫模式在課件上排列出三根紅色的小木棒，再在第二行排列出三根一組的藍色小木棒，一共排四組，通過動畫模型的演示，讓學生觀察第一排紅色木棒與第二排藍色木棒之間的數量關系，通過教師的引導和啟發，再加上學生進行的小組討論和交流，他們能夠更加清晰地認識到可以將紅色小木棒的三根作為一組，那么藍色小木棒就是四組，轉化成數學的邏輯語言就是紅色小木棒是一倍，藍色小木棒的數量就是紅色木棒的4倍。這樣通過圖形的演變過程，學生能夠清晰地感知個數和份數、倍數之間的關系，從而明白這個概念的本質。

（二）復雜關系明朗化

由于學生的數學邏輯思維能力不強，再加上題目的抽象程度較高，使學生對一道題考查的內容難以理解和掌握，想要更好地解決這個問題，畫圖是一種很好的助力手段。比如很多數學問題都會涉及“單位1”的內容，而難點就在于“單位1”的變化，只要搞清楚這個變化量，弄清題意，這道題就變得簡便多了，這時就可以利用數圖結合，其中數就是題目當中的數量變化，而圖則可以利用線段圖，比如在這道題目當中，利用畫線段圖的方式，就能夠將復雜的題目變得更加簡單：一袋蘋果第一次拿走這袋蘋果的一半，第二次又拿走剩下蘋果的一半，最后袋子里還剩下四個蘋果，你知道原來這個袋子里有幾個蘋果嗎？學生在起初接觸這道題目時，會被題目當中繞口的語言將思路弄混亂，教師就可以引導學生將題目轉換成線段圖，一段線段代表一袋蘋果，將每次拿走的數量分別進行標點，從線段圖中學生能夠清晰地看出所拿走的部分以及剩下的部分，根據線段圖最后我們能夠得到一個列式為4×2×2=16。這種畫線段圖的解題思路，將抽象的思維變成了有“形”這個橋梁作為依托，學生思考起題目既省時，又省力。

（三）隱性思維顯性化

通過對學生的解題過程進行觀察我們可以發現，大部分學生在課堂上依據教師的思路或在教師的帶領下進行簡單題目或例題的解答都是輕而易舉的，然而當需要運用到綜合知識或完全依靠自己的能力進行解題時常常無從下手，找不到解題突破口。這個時候通過畫圖能夠使學生將數學知識與圖形進行有機的聯系，將隱形的問題顯性化，把復雜的知識點變得更加簡單，這種教學方式能夠有效地提高學生的學習積極性，發散學生思維能力的同時，培養學生綜合運用數學的意識。小學數學絕大多數應用題都是圍繞著數量關系對數學語言進行了深層次加工，這使得學生在看到題目之后無從下手，類似于這種問題，其實都可以借助線段圖來幫助學生理解題目中的數量關系，放在明面上的內容總會比潛在的內容更好理解，畫圖就是利用這個顯性和隱性的關系來幫助學生弄清楚題目當中潛在的數量關系，只有學生將核心問題弄清楚，那么這道數學題也就迎刃而解了，而在學生畫圖形的過程中，他們的思維水平也能夠得到提升與訓練，這對提升學生實際的數學能力也會有積極的推動作用。

二、以“畫”落實教學的培養困境

（一）忽視畫圖的多樣運用

小學生的思維模式和思維體系都是比較簡單的，他們以直觀形象思維為主，對于抽象性的數學問題會感到復雜甚至會出現排斥的反應。而數圖結合就是將學生的抽象思維和形象思維進行溝通的橋梁，它能夠促進學生抽象思維和形象思維的協調發展，從而轉變學生的思維模式。但是很多教師在進行教學時都忽略了對于圖形的多樣運用，大部分的教師都會偏向在數與代數的板塊當中進行數圖結合的教學，但其實數圖結合思想也可以熟練地運用在圖形與幾何、統計與概率等知識領域中。在教學數與代數時，尤其是數字相加，減相乘除的計算過程時，會有一些離學生生活經驗較遠的知識需要教師傳授給學生，但這些內容對于小學生來說都是非常抽象的，所以教師會更愿意運用大量的幾何直觀以形助教，幫助學生理解相乘的意義以及計算方式，這時所利用的數圖結合教學思想是教師根據題目內容所進行的新圖形的創設，而這個新圖形的創設能夠幫助學生更好地理解題目的內涵。但是在圖形與幾何或統計與概率這些知識板塊當中，教師則是會利用題目當中所涉及到的圖形對知識點進行講解，題目當中固有的圖形會將學生的思維概念固化，如果教師不能夠利用新的圖形引導學生的思維方式，那么對于圖形的思考也無法引起學生的注意，同時也起不到擴展學生思維能力的作用。

（二）缺乏畫圖的集中教授

在現階段教師所利用的數圖結合思想基本上是以題目為基礎，當遇到這種類型題時，教師會引導學生利用這種思想進行解題，但是一旦遇不到可以用數學思想解決的題目，教師就會完全忽略掉運用數圖結合擴展學生思維能力的方法。另外就是所進行的最多的畫圖教授就是在教學具體知識板塊時所運用到的數形結合的方式，這種教學方式也是圍繞著具體題目所進行的，沒有特定的針對畫圖的教學時間，學生的畫圖思維也是在具體的題目當中培養出來的，在這種情況下形成的數形結合思維，會讓學生的想法跟著題目不停地產生變化，最后很有可能導致學生只會一種類型題的畫圖思維，而不是具體的解題思維。基于此種情況，教師可以利用一節課的時間專注講解如何判斷題目是否能夠運用到數圖結合的解題方式，讓學生擁有的是解題能力，而非固定的解題模式。

三、借“畫”助力教學的策略探尋

（一）明晰畫圖斷層，搭建生長框架

小學階段要想提高學生的數學邏輯能力，其中最重要的一點就是教會學生畫圖，“畫”在其中扮演著非常重要的角色。首先，教師需要采用循序漸進的方式，讓學生從知識結構圖開始學起，逐漸推進為對概念導圖等進行構思。在低年級的數學教學階段，教師可以利用畫知識樹的方式羅列學生所學的知識點，一棵知識樹分為樹干和葉子，在分析題目時，教師帶領學生將題目當中所涉及的的知識點圈出，其中最重要的知識點畫在大葉子上，不重要的小知識點掛在小葉子上，而本道題所需要用到的公式或定理則寫在樹干上。這種畫知識樹的教學方式能讓學生更好、更快速地提煉題目當中所涉及到的重要知識點，但教師需要明確的是畫知識樹的方式只能存在于學生的低年級學習階段，當學生通過練習以及教師的指導，擁有了快速辨析知識點的能力后，教師就需要利用單元導學課與復習課教會學生畫概念圖和思維導圖。一般來說，復習課當中所涉及到的數學題是偏向綜合性的，在一道題目當中所考察的知識點也會更加復雜，教師需要帶領學生一同羅列出這道題目當中涉及的知識點并排出知識的先后順序，發現這些知識之間有哪些聯系，進而推進知識導圖的產生。由于學生長時間受到教師畫知識樹的思維引領，在復習階段他們已經具有了能夠發現知識并找出知識重點先后順序的能力，也就是說此階段的學生已經具有了一定的邏輯思維能力，教師可以運用具體的教學題目，將學生的邏輯思維帶領到另一個高度上。從畫知識樹到鼓勵學生自己畫知識導圖，整個過程都是學生邏輯思維的提升過程，數學的學習不是一蹴而就的，各個知識點之間的相連性往往會給學生帶來更大的學習壓力和負擔，運用畫圖的教學方式逐漸為學生搭建好學習數學的框架，能夠有效地提高學生的邏輯思維能力以及對數學知識的綜合運用能力。

（二）凸顯多元價值，增強畫圖意識

“畫圖”在解決具體數學問題時更多的是一種分析問題和解決問題的方法，“圖”能夠將復雜的語言轉變成更直觀的表達形式，有助于學生及時發現問題當中的關系和結構，因此，培養學生的畫圖意識能夠使學生養成善于思考的好習慣，并且有助于提高學生解決問題的能力。例如這道二年級的題：有兩排木棒，第一排15根，第二排有9根，從第一排拿走幾根以后，兩排木棒數量同樣多？如果只靠文字進行想象，那么這道題對于二年級的學生來說是比較抽象的，只有通過畫圖才能夠使學生更好地理解第一排和第二排木棒之間的數量關系，教師可以利用兩條長短不同的線段，幫助學生理解第一排比第二排多了六根木棒，只能拿走六根當中的一半兩排木棒數量才能同樣多。由于這道題目當中所涉及到的減法比較復雜，且題干非常抽象，而利用畫圖的方式能讓學生對于題干內容進行更好的理解，此時教師更是要引導學生善于運用畫圖，當學生發現畫圖策略的優點之后，會在其余的題目當中首先考慮是否能夠用畫圖將復雜的題干簡單化，這樣學生的畫圖意識就會逐漸增強。

（三）厘清思維路徑，夯實畫圖技能

除了培養學生的畫圖意識之外，夯實畫圖技能也是教學當中比較重要的環節之一，如果一道題目學生知道需要用畫圖策略解決更為簡便，但是卻找不到何為定量，何為變量，無法畫出正確的圖形，這樣不僅不能解決問題，反而使畫圖成為解決問題的障礙。一般來說，畫圖策略運用最多的圖形便是畫線段，畫線段圖就需要學生找出一個基礎量作為一條不變的線段，另一條線段要根據這個基礎量的變化情況選擇是畫長，還是畫短。教師需要培養學生發現基礎量的能力，只有準確地找到基礎量，學生才能更快更準確地畫出線段圖，在解決問題時才能夠更加快速。

（四）提煉數學模型，探究操作要點

提煉數學模型的做法可以運用在學生學乘法或除法時，例如在教學六年級上冊分數乘法與分數除法這兩節課時，就可以利用提煉數學模型的數形結合教學方式，讓學生更好地理解分數之間的乘除含義和分數的性質。教師可以將分數之間的相除變成相乘，在畫出一個長方形，根據題目當中具體的數字將長方形畫成不同的等份，這樣學生在學習分數乘除法時就會更加直觀，分數乘除法相比于整數乘除法來說會更為復雜，學生在計算過程中很容易出現差錯，利用數形結合提煉數學模型，能夠使學生明晰分數的含義，在計算過程中也能盡量減少錯誤。

總而言之，數與圖結合的教學方式能夠有效提高學生的邏輯思維能力，通過培養學生畫圖意識以及畫圖技能，轉變學生的思維方法，使復雜的數學問題在學生眼中能夠變得更加簡單和明朗。由于學生的年齡較小，他們的邏輯思維還不夠成熟，教師應該根據學生的年齡特征和認知水平將數與圖結合的思想運用到教學中，使學生將無形的解題思路轉變成有形的具體內容，也使數學的抽象性思維變得更加形象化、具體化，做到以畫助教，以圖解數，不斷地運用幾何直觀來提高學生的解題能力。