基于MATLAB的兩級NW型風電齒輪箱傳動系統參數多目標優化

畢亞東

摘要：針對由兩級NW型行星輪系串聯構成的一種新型兆瓦級風電齒輪箱傳動系統，建立體積最小和效率最高的多目標優化數學模型。設定兩級行星輪數量，并形成5種方案。借助MATLAB工具成功求解并對比5種方案結果，得出結論：當兩級行星輪數量為3時，該方案達到最優狀態，符合常見的行星輪數量要求。

關鍵詞：多目標優化；NW型行星輪系；風電齒輪箱；MATLAB

中圖分類號：TH122????????? 文獻標識碼：A ??????????文章編號：1672-4437（2024）02-0063-04

0 引言

風電機組大容量化發展，不能只將原有齒輪箱放大尺寸制造，需要創新設計齒輪箱的傳動系統。本文基于MATLAB工具，對一種由兩級NW型行星輪系串聯構成的新型兆瓦級風電齒輪箱傳動系統參數進行優化設計。

1 構建齒輪箱優化數學模型

用設計變量、目標函數和設計約束三個基本要素，通過數學描述[1]，構建反映齒輪箱各主要因素內在聯系的優化設計數學模型[2]。

1.1 確定設計變量

構成齒輪箱傳動系統的兩級行星輪系，重要幾何參數是各齒輪的模數、齒數和齒寬，這些參數決定齒輪傳動系統效率和體積，也影響齒輪嚙合特性參數和效率損失系數選用[3]。選擇參數為低速級齒寬、模數、中心太陽輪（a1）齒數、內齒圈（b1）齒數、雙聯行星輪兩輪齒數 和高速級齒寬、模數、中心太陽輪齒數、內齒圈齒數、雙聯行星輪兩輪齒數 共12個參數作為優化設計變量，并用向量表示。對高低速設計變量順序進行有益調整后，可用下式表示：

1.2 設計目標函數

兩級NW型行星輪系構成的風電齒輪箱傳動系統，設計參數多、齒輪采用斜齒，傳統設計比較困難，且無法計算出最優設計參數。對于風電齒輪箱來說，在保證設計壽命和運行安全的前提下，體積最小和效率最高是衡量它的重要指標。本文以齒輪箱體積最小和效率最高為目標函數對齒輪箱參數進行優化[4]。

1.2.1 體積計算建模

對齒輪傳動系統參數進行優化研究，箱體、軸和軸承不計入體積，只計入齒輪。低速級齒輪體積 ，高速級齒輪體積 ，則總體體積V可表示為：

1.2.2 機械效率計算建模

齒輪傳動機構是由兩級NW型行星輪系串聯而成，根據機械串聯計算效率原理可知，總機械傳動效率 為兩級齒輪傳動效率的乘積。

總機械效率計算公式：

式中： 為低速級傳動損失系數； 為高速級傳動損失系數。

1.2.3 確定目標函數

目標函數是設計中預期要達到的目標，用各設計變量的函數式表達[5]： 。為了求解的便利，通常目標函數為求極小值問題，機械效率的極限值趨向于1，用1減去機械效率，構成機械效率目標函數，該函數便為求極小值問題，再將設計變量按對應關系代入體積和效率計算公式。確定各目標函數如下：

體積目標函數：

機械效率目標函數：

1.3 設計約束條件

齒輪箱傳動系統受行星輪系設計條件和齒輪強度校核兩方面制約，只有給定合理、完全約束條件，才能計算出正確設計參數。

1.3.1 傳動比條件

齒輪箱實際傳動比和理論要求 不一定完全相等，為了保證傳動精度，用兩者的比值 來約束，當兩者接近時，其比值趨于1，其比值與1的差的絕對值趨于零。為了在一定范圍內尋求更優設計參數，按照工程設計要求，其接近程度小于4%即可。得到表達式如下：

將設計變量代入，得出第一個約束條件：

1.3.2 鄰接條件

單級NW型行星輪系鄰接條件如下式：

要使整個齒輪箱機構滿足鄰接條件，需兩級輪系都符合該條件，分別將設計變量代入上式，可得到如下約束條件。

低速級鄰接條件：

高速級鄰接條件：

1.3.3 接觸強度條件

根據行星輪系特點可知，在輪系中最大強度的齒面接觸在太陽輪外嚙合面上，只要該齒面嚙合通過接觸強度校核，那么其它齒面也一定符合。輪系對兩級太陽輪外嚙合進行齒面強度限制。為了簡化問題，在接觸強度計算時，忽略一些實際嚙合系數對齒面接觸應力的影響，以齒面接觸強度計算值代替 。當計算接觸強度 小于許用接觸強度 時，滿足接觸強度極限 。

根據接觸強度公式得到接觸強度限制條件：

將設計變量分別代入兩級強度限制條件式，可得：

低速級接觸強度條件：

高速級接觸強度條件：

1.3.4 彎曲強度條件

在NW型行星齒輪嚙合中，外嚙合受力遠大于內嚙合，只要保證外嚙合彎曲強度條件即可。當輪齒彎曲應力小于許用彎曲強度時，滿足彎曲強度限制。

根據彎曲強度公式得到彎曲強度限制條件：

將設計變量分別代入兩級彎曲限制條件式，可得：

低速級彎曲強度條件：

高速級彎曲強度條件：

1.3.5 外徑尺寸條件

單級行星齒輪體積優化設計問題，只需要對各齒輪的齒數和齒寬等參數優化。而對于兩級行星齒輪機構的優化設計，需要考慮減小齒輪箱整體徑向尺寸，以便于制造和安裝，在NW型行星輪系中最大直徑出現在行星輪與太陽輪嚙合的圓周上，為了保證兩級外徑尺寸接近，用兩級外徑比值 約束。

式中，通常取 。

將設計變量代入，并對式子進行必要變形可得外徑限制條件：

1.3.6 同心條件

風電齒輪箱齒輪機構高、低級均滿足同心條件，才能正確安裝。NW型行星輪系的同心條件如下式：

將設計變量代入式子，分別對高、低兩級同心條件限制：

2 創建優化數學模型

對前面得到的目標函數和約束條件進行整理，得到風電齒輪箱體積最小和效率最大為優化目標的多目標數學模型。多目標函數表示為：

按照等式和不等式，將約束條件表示如下：

不等式約束：

等式約束：

3 基于MATLAB的多目標模型求解

在MATLAB中，多目標問題常選用fgoalattain函數求解[6-7]，其數學模型為：

s.t.

；

；

；

；

。

3.1 求解并對結果圓整

以傳統設計計算結果作為優化程序的初始條件，在 MATLAB命令窗口調用優化程序：

x0=[303，136，20，9，12，54，28，14，12，54，28，14];

goal=[1.0e+019，0];

weight=abs（goal）;

options=optimset（'maxfunevals'，2000）;

lb=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]；

ub=[1000，1000，50，50，100，100，100，100，100，100，100，100]；

[x，fval，attainfactor，exitflag]=fgoalattain（@myfun，x0，goal，weight，[]，[]，[]，[]，lb，ub，@mycon）。

優化計算結束后，在MATLAB中查看x和 fval優化的計算值，再將其經過圓整后，得到方案1的優化結果。為了尋找更優的結果，試著改變兩級行星輪系行星輪個數，使n1、n2分別從3到5變化，得到n1、n2五種組合，計算圓整后得出方案2、方案3、方案4、方案5的優化結果（見表1）。

3.2 分析優化結果

表1顯示，行星輪個數增加，齒輪模數相應減小，影響齒輪傳動機構的體積和效率。五種方案中，方案1效率遠高于方案2、方案3和方案4，方案1效率為方案5的99.9%，體積僅為方案5的76.9%，從體積和效率多目標優化的角度考慮，方案1比較理想。方案1中兩級行星輪個數3與常用行星輪系相同，設計方法、制造工藝和安裝技術都比較成熟，生產制造技術難度小、成本低。相較傳統設計方案，優化設計后體積縮減了17.1%，效率提高了7.1%，表明優化設計十分必要。

4 結語

本研究對于新型風電齒輪箱傳動系統，提出體積最小、效率最高的雙重優化目標，充分考慮兩級行星齒輪傳動機構各參數之間相互制約關系，得到完全約束條件，建立輪系的多目標非線性優化數學模型。給定優化初始值，以MATLAB優化工具箱為優化工具，按照高、低兩級行星輪個數不同，設定5種方案進行優化計算，經比較，第1種組合方案最優，為該機構下一步的生產制造提供設計數據。

參考文獻：

[1]王福成，陳春雨，陳鑫，等.網架結構高度優化設計研究 [J].科學技術與工程，2011（3）：651-653.

[2]芮井中.具有最小應力集中的缺口形狀優化方法研究[D].揚州：揚州大學，2009.

[3]胡青春，閔銳，段福海.兩級行星齒輪傳動系統多目標優化設計研究[J].現代制造工程，2008（3）：98-101.

[4]羅萬興.風力機概念設計階段多學科可靠性優化設計方法研究[D].杭州：浙江工業大學，2012.

[5]周春平.基于結構拓撲優化的高速動力車轉向架構架輕量化研究[D].成都：西南交通大學，2008.

[6] MATLAB技術聯盟，高飛.MATLAB智能算法超級學習手冊[M].北京：人民郵電出版社，2014：498.

[7]蔣春明，阮米慶.基于MATLAB的斜齒輪傳動多目標優化設計[J].傳動技術，2006（4）：7-9.