數形結合思想的學習課堂“絕對值”課例報告

楊凡

【課例主題】

本課例以“目標貫通”“絕對值”教學為例，探索數形結合思想的有效教學方法。

【觀察要點】

建議從課時目標具體化（數學素養）、教師語言術語化（實操素養）、課堂環節對應性（先學后教）、師生互動啟發性（以學定教）、自主建構的有效性（少教多學）等觀察要點觀評課。

【文本解讀】

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）提出，在數學課程中，應當注重發展學生的核心素養，其中數感、符號意識、運算能力、推理能力等都在“有理數”單元有較多體現，而這些能力都是運算素養的具體表現。本節課借助數軸引出絕對值的概念，并通過計算、觀察、交流，發現絕對值的性質特征，利用絕對值來比較兩個負數的大小，培養學生的數學抽象能力、邏輯推理能力。滬教版小學數學對絕對值部分的要求在于理解絕對值的意義，并在學習過程中使學生加深對數形結合思想的理解。對絕對值的內容本身難度要求不高，教師對絕對值的教學，應當注重概念的教學，避免討論過于煩瑣的內容。

【學情分析】

本課授課對象是六年級學生，他們雖然已經學習了整數和分數的知識，但是運算能力依然較弱，仍處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時期。

學生的知識技能基礎：學生已經學習了有理數的意義，認識了數軸，能夠用數軸上的點來表示有理數，初步體會到了數形結合的思想方法。

學生活動經驗基礎：在前面相關知識的學習過程中，學生已經經歷了歸納、比較、交流等一些活動，解決了一些簡單的現實問題，感受到了數學活動的重要性;同時在以前的數學學習中，學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗和能力。

【課時目標】

1. 理解絕對值的意義（一維目標：重點）。2. 理解有理數的有序性，會比較兩個有理數的大小（一維目標：重點）。3. 在學習過程中，加深對數形結合思想的理解（二維目標：難點）。

【第一課時課堂環節】

一、情境導入，聯系生活

兩只小貓和一只小狗都從一棵大樹出發，在一條東西走向的路上行走，記向東行走為正，小狗向東行走4km到達A處，小貓松餅向西行走3km到達B處，小貓金礦向東行走3km到達C處。

師：它們走的路程一樣嗎？你是怎么想的？

預設：不一樣。可以畫數軸，其中原點代表大樹，東邊記為正方向，那么小狗在A處記為+4km，小貓松餅在B處記為-3km，小貓金礦在C處記為+3km。小狗的路程大于兩只小貓的路程，小貓的路程是一樣的。

師：對，雖然兩只小貓的行走方向是不同的，但是它們的路程是一樣的。在生活中也還有很多類似的例子，如果我們按照原來的方式來表示，就有一些麻煩啦。上面的問題也就是B，C兩點到原點的距離相同，這個距離都是3km。我們就把這個距離叫作數-3，3的絕對值。這就是我們這節課所學習的內容。

二、新知探索，概念學習

1. 概念學習

（1）定義：一個數在數軸上所對應的點與原點的距離，叫作這個數的絕對值。

（2）符號：若用a表示一個數，a的絕對值記作：a，讀作a的絕對值。

（3）幾何意義：一個數對應的點與原點的距離。

（4）舉例說明：4的絕對值是4，記作4=4;-3的絕對值是3，記作-3=3;0的絕對值是0，記作0=0。

2. 例題講解

例題1：求3.7，-12，0，-3的絕對值。

解：3.7=3.7，-12=12，0=0，

-3=3。

3. 小組討論

師：剛剛例題1中這些數的絕對值的結果有幾種情況？一個數的絕對值與這個數之間有怎樣的關系？

預設：一個數的絕對值要么是正數，要么是零。一個數的絕對值與這個數相等或互為相反數。

追問：互為相反數的兩個數絕對值有什么關系嗎？

預設：互為相反數的兩個數絕對值相等。

4. 歸納小結

（1）任何一個有理數的絕對值是非負數。

（2）一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;零的絕對值是零。

（3）互為相反數的兩個數絕對值相等。

三、新知運用，舉一反三

例題2：一個數的絕對值等于2，那么這個數是幾？

解：符號表示：a=2，一個數的絕對值代表這個數距離原點的距離，因此通過數軸可知這個數是2或-2。

例題3：若x=-3，y=2，則x+2y的值為（??? ）。

A. -7??? B. -1??? C. -7或1??? D. 7或-1

預設：-3的絕對值是確定的為3，而y要么是2，要么是-2。一個數的絕對值與這個數相等或互為相反數。因此x+2y的值有兩種情況。

解：因為x=-3=3，y=2，所以x=3，y=2或-2。故x+2y的值為7或-1，選擇D選項。

課堂練習：

1. 在數軸上，到原點的距離等于3.5個單位長度的點所表示的有理數是____。

預設：到原點距離相等的點有兩個，分別在數軸的左邊和右邊。

解：3.5或-3.5。

2. ____的絕對值是它本身，____的絕對值是它的相反數。

預設：0的絕對值等于它本身也等于它的相反數。

解：非負數，非正數。

3. 絕對值小于5的整數有____。

預設：絕對值等于一個數的數包括正數和負數，因此正整數和負整數都要考慮，還有零不能忘記。

解：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。

4. 若a=3，b=2，且a+b=a+b，則a+b的值是（??? ）。

A. 5??? B. ±5??? C. 1??? D. ±1

預設：絕對值等于3和2的數都有兩個，而a+b當a和b符號相同時，與它們分別的絕對值相加相等，當符號相反時，就不相等了。

解：a+b的值只有當兩數符號相同時滿足題意，因此a+b=5或a+b=-5，故選擇B選項。

四、課堂小結，感悟思想

1. 絕對值的意義;2. 數形結合的思想方法。

五、課后作業，鞏固復習

A層：練習冊5.3基礎習題;

B層：5.3絕對值（1）的拓展習題。

【第二課時課堂環節】

一、情境導入，聯系生活

師：出示我國北京（-6℃）、上海（0℃）、杭州（1℃）、廣州（5℃）、哈爾濱（-14℃）五座城市2022年的最低氣溫，同學們你們能把這些城市的氣溫表示在一條數軸上嗎？溫度的高低與相對應的數在數軸上的位置有什么關系？

預設：數軸上的點表示的數字從左到右越來越大。

師補充：正數大于零，零大于負數，正數大于負數。

追問：上節課我們學了絕對值的概念，那一個數的絕對值越大，說明這個數到原點的距離是怎么樣呢？

預設：一個數所表示的點與原點的距離越遠，其絕對值越大，與原點的距離越近，其絕對值越小。

例題4：用數軸上的點表示下列各數，并將它們從小到大排列起來：5，0，-1，4.5，-1。

預設：從數軸上可以看出：-1<-1<0<4.5<5。

二、新知探索，聯系舊知

師：根據2022年的城市最低氣溫我們知道，北京（-6℃）、哈爾濱（-14℃），那如何比較-6和-14的大小呢？

預設：-6=6，-14=14，因為14>6，所以-14>-6。

追問：那么對兩個負數，我們是否可以用它們的絕對值來比較它們的大小？

預設：兩個負數，絕對值大的那個數反而小。

例題5：如果a>0，b<0，a

A. -b>a>-a>b???????? B. a>b>-a>-b

C. -b>a>b>-a???????? D. b>a>-b>-a

預設：可以根據字母a和b的符號和它們的絕對值通過畫數軸來確定數所代表的點的左右位置關系。

解：根據絕對值越大的數離數軸越遠和相反數的概念，再根據數軸上的數右邊大于左邊，分析數軸圖可知選A選項。

三、新知運用，舉一反三

1. 如果x，y都是不為0的有理數，則式子+的值是____。

預設：因為不知道x和y的正負，因此需要進行分類討論，在進行分類討論時要注意按照順序，否則會出現遺漏或者重復。

解：當x和y兩個都是正數時，原式=+=2;

當x和y兩個都是負數時，原式=+=-2;

當x和y兩個一個是正數，一個是負數時，原式=+=0或+=0。

綜上所述，式子+的值是2或-2或0。

2. 點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=a-b。利用數形結合思想回答下列問題：

①數軸上表示1和3兩點之間的距離是，數軸上表示2和-5的兩點之間的距離是____;

②數軸上表示x和-1的兩點之間的距離表示為____。

預設：根據題目的材料可知將兩個數作差后再取它們差的絕對值就可以得到這兩個數所代表的點之間的距離。

解：①2 7 ②x+1或-1-x。

課堂練習：

1. 用“>”或“<”連接下列各數：

-7___-5;--2___-（-2）;-0.125___-

。

解：-7<-5，--2<-（-2），-0.125>-

。

2. 已知實數在數軸上的位置如下圖所示，下列結論錯誤的是（??? ）。

A. a<1

C. 1

預設：通過數軸上面右邊的點大于左邊的點以及絕對值的概念可以判斷出的a絕對值是大于1的。

解：由圖可知a在-1的左側，因此a是小于-1的，而且a的絕對值大于1，因此本題選擇A選項。

四、課后作業，鞏固復習

A層：自編練習5.3（2）基礎習題;

B層：5.3（2）的拓展習題。

【執教反思】

一、緊扣目標，教學環節更有實效

本課內容預設兩課時，嘗試目標與環節整體設計、統一排序，感受了“圍繞目標教學”的魅力。目標緊扣環節，環節鋪墊、實現、鞏固目標，讓教學更能深入。“絕對值”是第五章有理數第三小節的內容，學生對數的認識已經由原來的正數和零擴展到負數，整數集拓展到有理數集，能將一個有理數用數軸上的點表示，是在學習了互為相反數的定義、符號表示及幾何意義的基礎上對有理數再探究的過程。

二、提升數學素養，用數學眼光看世界

本節課借助數軸的直觀性理解絕對值及幾何意義，滲透數形結合的數學思想，并在后續練習中加以運用。通過觀察、思考及合作交流，讓學生體會從特殊到一般以及分類討論的數學思想，培養學生總結歸納的能力。情境引入中，引導學生將東西向的路看成一條數軸，將位置看成數軸上的點。實際問題中比較路程，忽略方向，只看距離，抽象成數軸上忽略數的符號，只考慮點到原點的距離。最后又回歸到實際生活問題中，體會絕對值在生活中的應用，助力學生將實際問題轉化成數學問題，學會用數學的眼光觀察世界。

（責任編輯：淳? 潔）