微專題探究：從“基礎模型”走向“復合構建”

［摘? 要］ 初中教學中需要引導學生掌握相似三角形知識，形成幾何模型，并從知識綜合角度適度拓展，形成綜合性問題的探究策略. 研究者圍繞“8字型”三角形相似模型設計教學微專題，以供研討.

［關鍵詞］ 相似三角形；“8字型”模型；圓；函數

相似三角形是初中數學教學重點內容，教師需要引導學生歸納三角形相似模型，掌握應用方法，并結合實例指導學生解題. 三角形相似模型有多種，教學探究中建議圍繞一種模型深入分析，設置教學環節，逐步深入. 下面圍繞“8字型”三角形相似模型設計教學微專題.

三角形相似模型微專題思考

圍繞“8字型”三角形相似模型設計教學微專題，教學中教師需要精設環節，引導學生逐步探究. 需注意三點：一是注意環節設計由易到難，逐步深入；二是注意對模型的歸納解讀及應用，探究中建議構建“模型解讀”，逐步深入“應用探究”；三是模型應用注意結合考查實際，關注知識融合、圖形復合.

基于上述三角形相似模型微專題的思考，建議按照如下流程分環節設計教學微專題：

環節一：模型解讀，即呈現“8字型”三角形相似的全部模型；

環節二：初步應用，即初步應用模型的性質結論解題；

環節三：深入探究，即開展知識綜合應用，結合圓構建復合圖形；

環節四：思維拓展，即融合函數，形成探索三角形相似與函數問題的解題策略.

三角形相似模型微專題設計

關于“8字型”三角形相似模型微專題環節設計，結合上述分析可設計四個環節，各個環節中圍繞教學重點設計探究內容，引導學生深刻理解模型，掌握模型應用方法. 環節設計中注意教學預設解讀、問題引導設計.

教學環節一：模型歸納，知識解讀

“8字型”三角形相似模型有兩種情形，教學中呈現如圖1和圖2所示的模型，引導學生關注模型的特點，再探索其中的特性結論. 故可分為兩步：第一步，特征分析；第二步，特性分析.

教學預設：教學中設計問題讓學生關注模型的特征，分析模型結論.

問題1：上述是“8字型”三角形相似模型的兩種情形，從外表看是否像“8字”？

問題2：分析模型的兩種情形，觀察其中ED和BC的位置關系，有何不同？

問題3：兩個模型中均有∠1=∠2，是否可以證明△ABC∽△ADE？可以得出哪些結論？

教學引導：教學中引導學生關注特征，根據對應條件來構建模型，推導結論. 對于圖1，若BC∥DE，則△ABC∽△ADE，可推導出==，為“8字型”模型. 對于圖2，若∠1=∠2，則△ABC∽△ADE，可推導出==，則為“反8字型”模型.

教學建議：教學中要結合具體的模型，讓學生直觀分析，掌握模型的具體特征，并結合圖形對比觀察，深刻理解兩大模型的相異點和相同點. 結論探究時注意邏輯性，從“條件”出發探索證明“模型”，再結合“模型”推導“結論”.

教學環節二：初步應用，思路分析

利用“8字型”三角形相似模型可以解決相關的幾何問題，有利于解題思路的構建，該環節探究中首先設計一般性問題，注意解題過程的分析引導.

問題：如圖3所示，在菱形ABCD中，EF⊥AC于點H，分別交AD于點E，CB的延長線于點F，且AE ∶ FB=1 ∶ 3. 則GB ∶ CD的值為______.

教學預設：上述為結構簡單的一般性問題，以菱形為背景，求解線段比值. 解析引導時分為三步，第一步，引導學生理解圖形的構建過程；第二步，引導學生分析條件，提取證明模型；第三步，結合模型結論進行推導，求解線段比值.

第一步，理解作圖過程，提取條件信息. 結合菱形特性有AB=CD，AE∥BF；菱形ABCD中，EF⊥AC，F，B，C三點共線.

第二步，整合條件，提取模型. 分析圖形，可推知∠EAB=∠ABF，∠AEF=∠F，從而可證明△EAG∽△FBG，即“8字型”三角形相似模型.

第三步，結合結論，推導求解. 由三角形相似可得==，可得=，所以=.

教學建議：模型應用初探階段，需要注意引導學生整合圖形條件，從中提取模型，再結合模型結論進行推理求解. 整個過程要注意嚴謹性和邏輯性，讓學生理解解析過程中的關聯，構建完成思維推理鏈.

教學環節三：深入探究，整合幾何圓

將“8字型”三角形相似模型與圓相結合可以構建復合模型，在實際考查中也較為常見，以“反8字型”模型與圓結合為例，如圖4所示，則有如下結論.

圖4中，弦AC，BD交于點E，則△ABE∽△DCE，可推知=，整理可得AE·CE=BE·DE.

問題：如圖5所示，正方形ABCD內接于☉O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交☉O于點G，連接BG.

（1）求證：FB2=FE·FG；

（2）若AB=6，求FB和EG的長.

教學預設：上述問題將“8字型”三角形相似模型與圓相結合，構建了復合模型，探究解析時注意結合圓的知識來探索提取模型，整個過程要注意整合條件，分析推理.

第（1）問中，把握三角形與圓的位置關系，推導條件：正方形ABCD內接于☉O，所以可推得AD=BC，則有∠ABD=∠CGB.

再結合∠EFB=∠BFG，則可以證明△BFE∽△GFB，完成模型提取.

后續利用模型求解：即三角形相似則有=，即FB2=FE·FG.

第（2）問中，首先整合處理其中的條件：點E為AB中點，則AE=BE=3. 由于四邊形ABCD為正方形，則有CD=AB=AD=6，BD===6，CE==3.

再結合條件信息提取其中的特殊模型：因為CD∥BE，于是可證明△CDF∽△EBF，從而有====2.

后續整合條件信息求解：DF=2BF，CF=2EF，則有3BF=BD= 6，3EF=CE= 3，所以BF=2，EF= ，由（1）得FG===.

教學建議：在上述綜合探究分析中，建議先構建三角形相似與圓相結合的模型，引導學生直觀分析，再結合實例解讀探索. 復合圖形分析中，同樣引導學生提取其中的相似三角形模型，結合結論推理分析.

教學環節四：思維拓展，融合函數

該環節需要對學生的思維進行拓展，形成相似三角形與函數的融合，構建具有“幾何”與“函數”雙重屬性的復合型模型.

模型整合：如圖6所示，拋物線中存在“8字型”三角形相似模型，即圖中的陰影圖形.

問題：如圖6，P是直線BC下方拋物線上一點，連接OP交直線BC于點E，求的最大值.

教學預設：教學中首先引導學生關注其中的復合圖形，然后在此基礎上思考求解線段比值的思維方法. 整體思維過程如下.

第一步，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，則可以提取其中的“8字型”三角形相似模型，可得=.

第二步，由于OC為定值，所以的最大值就轉化為求PQ的最大值問題.

第三步，結合條件利用坐標法求解最值即可，解析過程中要注意數形結合.

教學建議：“8字型”三角形相似模型與函數相結合在中考中十分常見，屬于重難點問題，教學中建議按照上述過程解析模型，探索總結解題的基本思路，形成方法策略，再進行實例強化訓練.

寫在最后

相似三角形模型的探究教學中，教師可以參考上述微專題設計教學環節，引導學生整合教材的基礎知識，構建特定模型，形成系統解題流程. 拓展探究中，教師可將其與圓、函數相結合形成復合模型，引導學生體驗探究過程，強化解析思維，提升解題能力.

作者簡介：周瀟也（1996—），本科學歷，中小學二級教師，從事初中數學教育教學工作.