初中數學探究課的構建及反思

［摘? 要］ 高效的探究課可以在全面了解學生學情的基礎上，從四個方面進行構建，從而提高數學探究式教學的效率，完成課堂教學目標，加深學生對數學知識形成過程的理解，培養學生的數學核心素養，提高學生發現問題和解決問題的能力.

［關鍵詞］ 探究課；課型構建；數學核心素養

探究式學習是新課改提倡的一種重要的教學方式. 它是在充分尊重學生的主體地位的基礎上，積極調動學生的學習激情，使學生經歷系統的、完整的問題解決過程，發展學生的數學核心素養. 數學探究活動，應根據學習內容的特點設計，以滿足學生對生活的實際認知，帶動學生對數學知識發生和發展過程的主動探究. 因此，高效率的探究課的建設就變得越來越重要了. 本文以“三角形中位線”為教學案例，進行了探究課的構建及反思，整理如下，供大家一起研討交流.

教材分析

本節課內容選自北師大版八年級下冊第六章第3節，學生在初一學習了全等三角形，初二學習了平行四邊形、平面直角坐標系等相關知識. 基于這樣的學情，高效的探究課可從操作探究、觀察猜想、推理論證、學以致用這四個方面進行數學課型構建.

教學過程

1. 操作探究，激活思維

活動1? 如圖1，能不能把任意一個紙三角形都折成面積相等的兩個三角形？如圖2，請問你是如何找到這條折痕的？是如何找到邊的中點的？為什么這兩個三角形的面積相等？這兩個三角形全等嗎？

教學分析? 研究一個新的問題，往往從學生已有的知識結構和生活經驗入手，做到低起點、小坡度地學習新知識. 教師將舊知通過問題串的形式，一個一個呈現出來，供學生回憶、思考，潛移默化地將舊知自然過渡到將要學習的新知上. 學生通過積極思考，在頭腦中再現三角形中線的相關知識，快速切入主題.

活動2? 你能將任意一個三角形分割成四個面積相等的三角形嗎？如圖3，這四個面積相等的三角形全等嗎？為什么全等？你能通過最直接、最簡單的操作方法演示說明嗎？

教學分析? 有學生直接取三角形一邊的四等份點，從而得到四個面積相等的三角形；也有學生通過找三角形各邊的中點，然后把各邊中點連接起來，從而得到四個面積相等的三角形. 通過親身經歷動手折紙和逐步探究問題串，層層深入，復習舊知，引出新知——三角形的中位線.

活動3? 如圖 3 ，取三角形各邊的中點，并將中點連接起來，可把該三角形分割成四個全等的三角形. 這里的線段DE，DF，EF是三角形的另一類特殊的線段——三角形的中位線.

教學分析? 在逐步探究過程中，自然而然地引出三角形的中位線的概念. 教科書上基本是直接給出中位線的概念，省略了知識產生和發展的過程. 這對于學生來說，缺乏一個對知識產生、發展的認知過程. 如果把知識或方法作為結果直接告訴學生，雖然節省了不少時間，但長此以往，越扔越多，學生很難在頭腦中形成良好的認知結構［1］.因此，課堂教學應當呈現知識產生、發展的過程，調動學生自己去發現、去概括、去得出結論，既能培養學生的創新精神，又能使學生的觀察能力、抽象能力、數學核心素養得到更好的培養，起到激發學生探究數學實際問題的興趣.

2.觀察猜想，發展思維

問題1? 觀察圖4，猜想線段DE與BC邊有怎樣的位置關系和數量關系.

問題2? 如何去求證你的猜想呢？你能借助手頭上的工具，比如直尺、圓規、量角器等，去驗證它嗎？

問題3? 通過幾何畫板所畫的圖形（如圖5）去度量驗證一定準確嗎？請問如何從理論上證明這個定理？

教學分析? 通過問題1引導學生去觀察線段DE與BC邊的位置關系和數量關系，接下來進行猜想. 猜想是解決探究問題最核心的一步，想要解決這個問題，學生會想到最簡單的、最原始的“度量驗證”的方法. 在這個觀察猜想的過程中，可以培養學生的觀察能力和創新能力，鍛煉學生大膽猜想的能力. 當學生探究出DE平行且等于BC的一半時，能很好地激發學生的數學成就感，培養學生的數學學習興趣. 當然，為了進一步培養學生嚴謹的科學態度，需要對猜想進行理論上的證明.

3. 推理論證，提升思維

如圖6，已知線段DE是△ABC的中位線. 求證：DE∥BC，DE=BC.

證法1：如圖7，延長DE至點F，使得EF=DE，連接CF. 易證△ADE≌△CFE（SAS），可得四邊形BDFC為平行四邊形，從而定理得證.

證法2：建立如圖8所示的平面直角坐標系. 設A（a，b）， B（0，0），C（c，0），則 D，，E，，DE=，所以DE∥BC，DE=BC.

證法3：視頻展示中國魏晉時期數學家劉徽的“割補法”與西方國家歐幾里得的“面積法”對該定理的證明. 如圖9，分別取△ABC中AB，AC兩邊的中點D，E，連接DE，得到△ABC的中位線DE，再分別過點B，C作DE的垂線，與DE的延長線交于點M，N，最后過點A作AH⊥DE于H. 易證△AHE≌△CNE，△ADH≌△BDM，從而易得S=S，故DE∥BC，DE=BC. 這可以說明，三角形的中位線與底邊的關系，我國古代數學家早就知道了. 在《幾何原本》中有另一種證明方法：如圖 10 ，在△ABC 中， D 和 E 分別是AB和AC的中點，連接 DE、BE 和DC. 易知S=S，S=S，則S=S，故DE∥BC. 另一方面，因為S=S=2S，而△BDE和△EBC是等高的，所以DE=BC ［2］.

教學分析? 多種證明方法的研究，可以啟迪學生的邏輯思維能力. 證法2將幾何問題代數化，將形轉化為數來研究，這是解決幾何問題的又一種方法——解析法；證法3將數學史融入課堂中，學生既可以了解數學文化，又能體會古人的智慧結晶.

4. 學以致用，深化思維

練習1? 如圖11，需測量河流寬AB的長度，可以先取一個如圖所示的點C，連接CA，CB，分別在線段CA，CB上取中點D，E，連接DE，測得DE=150 m，則可得A，B之間的距離為______ m.

練習2? 如圖12，點D，E，F分別為AB，BC，AC邊的中點，若C=30，則C=______.

練習3? 如圖13，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分別是邊AB，BC的中點，連接AF，DE，P，Q分別是AF，DE的中點，連接PQ，則PQ=______.

教學分析? 學習了新知識，能將其應用于生活實際，可謂“數學來源于生活，同時也應用于生活”. 能讓學生對數學產生濃厚的學習興趣，促使學生不斷去研究數學，展現數學高于生活的另一面.

5. 布置作業，鞏固思維

設計作業練習題目，引導學生變式訓練，有針對性地整合練習題，串聯起零散的知識點. 設計一題多解、一題多變的分層作業，有針對性的訓練，可達到深入理解、牢固掌握、靈活應用知識的效果.

教學反思

數學家波利亞曾說過，數學教育的一個主要目的就是教會學生如何去思考問題，培養學生解決問題的能力［3］. 初中數學探究課的構建形式，可以更好地促進學生去思考問題，彰顯學生主動探究、學習數學的特征.

1. 探究課的構建凸顯了知識的整體性和邏輯性

本節探究課，學生從數學知識、研究思路、研究方法等方面都有各自的收獲. 在探究過程中，證明了三角形中位線定理，培養了學生數形結合、轉化與化歸數學思想方法和數學邏輯思維能力. 在研究思路上，從定義到性質、定理、運用等各個方面，使學生對三角形中位線定理的理解更深入，形成自己的知識網絡體系. 在研究方法上，通過調動學生的積極性從觀察到猜想，再到驗證和應用，可以培養學生的數學興趣. 這樣進行探究課的呈現與推進，充分揭示了知識發生、形成的過程，使學生對知識的掌握更深刻、更牢固，增強了學習的成就感，樹立了自信心.

2. 探究課的構建體現了學習的主動性和活動性

本節課以動手操作和問題串的形式展開教學活動，在“操作探究、觀察猜想、推理論證、學以致用”這四個過程中，促使學生根據教師創設的情境分析問題、探究問題、解決問題. 整個教學過程就如數學家弗賴登塔爾所提倡的：“讓學生經歷數學化. ”這說明數學化的過程比結果更重要. 因此，探究課應當更注重“做”數學的過程，讓學生經歷數學知識發生、發展的過程，從而激發學生學習興趣，促使學生掌握數學問題本質.

3. 探究課的構建呵護了學生探索知識的積極性

在探究課中，教師應當正確對待每一個學生探究出來的結論. 盡管有些結論是淺顯的，甚至是錯誤的，但要知道出錯是寶貴的，一學就會的東西的價值不大，只有讓學生經歷探索的辛苦和不容易，才能深刻體會成功的喜悅. 同時要注意學生探索的問題不能太難，讓學生跳一跳夠得著就行，最高明的教育是鼓勵、激勵，同樣一個問題，鼓勵學生從不同的角度去分析，用不同的方法去解決，肯定他們的成績，哪怕只做對一步，也要讓他們有信心想下去，有去試一試的欲望.

通過探究課的教學實踐，筆者認為，應當將數學的本質、思想、方法滲透到探究程中，以數學知識的生成為起點，構建學生探究學習的基本框架，逐步培養學生的數學思維品質和數學核心素養，以適應個人終身發展和社會發展的需要.

參考文獻：

［1］盧蓮華.關于優化三角形中位線課堂教學方法的思考［J］. 廣西教育學院學報，2000（03）：144-147.

［2］李鐵，嚴達強，張曉斌. 數學史有效融入課堂教學的若干思考［J］. 中學數學教學參考，2020（23）：17-20.

［3］張揚.單元探究性教學的實踐及思考——以“一元二次方程的解法”為例［J］. 中學數學教學參考，2021（35）：8-10.

［4］郭文忠. 探究性學習的教與學——“三角形中位線”的教學［J］. 井岡山大學學報，2004（05）：96-99.

作者簡介：邱小偉（1991-），碩士研究生，中學一級教師，從事初中數學教學工作.