一例一課：動態幾何中自然打開新函數的教學嘗試

李洪兵 杜雯欣

基金項目? 重慶市教育科學“十四五”規劃2022年度立項課題“初中數學教師教學述評的探索與研究”（K22YG120574）.

【摘? 要】? 從“三會”視角深度研讀課標附錄案例，賦予課標案例真實情境，并將情境一“境”到底，運動視角尋找關聯，精致每一個細節.通過教學實踐，提出課標附錄案例教學要落實“三會”素養，需在“三個自然”上進行整體謀劃：素材分析要自然，讓課標意圖躍然而出；情境創設要自然，讓課標知識應然而生；素養培養要自然，讓課標理念悄然而至.

【關鍵詞】? 研讀課標；案例實踐；動態幾何

近日，重慶市璧山區組織了以“研讀課標：落實核心素養，打造卓越課堂”為主題的第五屆初中數學青年教師優質課競賽活動，課題為《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）附錄例69“得到函數表達式”（第146—147頁），學生為八年級學生（函數概念已學）.本次活動目的是促進參賽選手及學校備課組認真研讀《課標（2022年版）》同時運用新理念執教課標案例，但是選手們接到任務后普遍感覺不好上：平時賽課都是教材新授課，網上到處都有資源可以借鑒，而這個題目就是一個全新的課標例題式呈現，各種期刊或網上查無蹤跡.最后賽場上意外連連，部分選手課堂上出現三個不“自然”：一是教學組織不自然，進入常規解題課套路；二是教學情境不自然，情境與知識嚴重剝離；三是素養落實不自然，總結提升明顯貼標簽.《課標（2022年版）》強調強化情境設計與問題提出，使學生在教學活動中逐步發展核心素養.下面筆者以《課標（2022年版）》附錄例69“得到函數表達式”為例，用《課標（2022年版）》理念進行創新實踐后提出一些思考.

1? 案例分析

1.1? 課標分析

本案例雖然出自附錄例69（第146—147頁），但它真正的位置是在《課標（2022年版）》正文第57頁課程內容第四學段（7—9年級）第3個內容“函數”下“（1）函數的概念”第④款“能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系，理解函數值的意義”后的括號內.同時《課標（2022年版）》第62頁關于“函數”的教學提示為：函數的教法，要通過對現實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義.此案例69內容適合什么時候教學呢？筆者想，學了一次函數、二次函數再來教此內容，沒什么問題.但它是案例69，顯然列在初中板塊靠前位置.因此應該是知道了函數的定義后，就適時把它引入教學，肯定別有韻味.

1.2? 原題呈現

如圖1，正三角形ABC的邊長為1，D是BC邊上的一點，過D作AB邊的垂線，交AB于G，用x表示線段AG的長度.顯然，Rt△GBD的面積y是線段長度x的函數，試給出這個函數的表達式.

圖1

說明? 這是一個典型的用代數式表達幾何結論的問題，有利于培養學生的幾何直觀和推理能力.首先確定自變量x的取值范圍.由于△ABC是正三角形，容易得到這個取值范圍可以表示為12＜x＜1.其次，在Rt△GBD中，GB的長度為（1-x），斜邊DB的長度為2（1-x），根據勾股定理，可以得到DG的長度為3（1-x）.所以，所求面積函數的表達式為y=32（1-x）2.

1.3? 案例解讀

《課標（2022年版）》明確提出義務教育階段數學課程要培養的學生核心素養是“三會”——會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（以下簡稱“三會”）.要培養學生的“三會”素養，首先要求我們教師必須要有“三會”素養，因此筆者就從“三會”視角去嘗試解讀本案例：

1.3.1? 用數學的眼光看：我們看到了什么

第一層：看到了點D，看到了點G；

第二層：看到了某個時刻，他們運動的位置；

第三層：看到了某個時段，他們各自運動的軌跡（距離）；

第四層：看到某個時段他們運動之間的相互關系.

1.3.2? 用數學的思維想：我們想到了什么

第一層：想到了AG的距離在增加，GB的距離在減少；

第二層：想到了GB的距離隨著AG的增加而減少；

第三層：想到AG增加，DG減少；

第四層：可以用AG表示DG，BD，GB.

1.3.3? 用數學的語言說：我們將要說什么

第一層：BG=1-x；

第二層：DG=F（x）；

第三層：分類討論表示DG；

第四層：寫出所有函數表達式；

圖2第五層：x隨著AG的長度的變化而變化，只要AG確定，x唯一確定；

第六層：x隨著AG的長度變化而變化，AG與GB值在變化，而關系不變；DG隨著AG的值的變化而變化，關系是階段性變化的.

基于以上“三會”視角素材審讀分析最后形成動態幾何中得到函數表達式的一般套路（如圖2）.

1.4? 目標設置

（1）通過觀察生活實例，會尋找常量與變量，能列出變量之間的函數表達式，理解函數值的意義，培養學生的抽象能力及模型觀念；

（2）在動態幾何的情境下，從線段到面積隨著點運動不同位置與自變量關系，分析行程與高之間的關系，形成行程與面積關系成果，培養幾何直觀與推理能力（呼應案例69后【說明】）.

達成目標（1）的標志：列出變化線段之間的函數表達式，正確寫出函數取值范圍；

達成目標（2）的標志：能列出三角形邊長與面積之間的函數表達式.

本節課的教學重點為：求函數表達式.

本節課的教學難點為：如何得到函數表達式.

2? 教學設計

《課標（2022年版）》強調“強化情境設計與問題提出，使學生在教學活動中逐步發展核心素養”.筆者基于此既結合八年級學生年齡特征，又結合案例幾何圖形中一維直線到二維等邊三角形特征，特別是點D、點G兩個動點和點B一個靜點，同時聯系自己長期研究的數學文化迅速鎖定了一條富有文化味情境探究暗線——螳螂捕蟬黃雀在后（賦予點B生命為蟬，賦予點G生命為螳螂，賦予點D生命為黃雀）.鑒于學生第一次接觸函數，才學習了函數的概念，對函數的概念理解得不透徹，不能準確的在變化過程中找準自變量和函數，也很難找到兩個變量之間的關系，列出函數表達式，筆者將通過四個場景，由簡到難，通過“在捕食的過程中，哪些是變量？哪個變量因另一個變量變化而變化？”等問題逐步引導和突破.

2.1? 會用數學的眼光觀察世界，指向抽象能力

情境導入（場景一）? 播放螳螂捕蟬的視頻（2分鐘）.

圖3

視頻中螳螂捕蟬我們可以抽象到線段上觀察：如圖3，螳螂G從點A出發，捕食位于正前方1m處點B一只蟬.

問題1? 在這個過程中，哪個是常量？哪些是變量？哪個變量隨另一個變量的變化而變化？

問題2? 請你用字母表示自變量和因變量，并用式子表示它們之間的關系？

設計意圖? 引導學生感悟生活中的變化（一維線段），由形到式（數），再到函數，理解函數和函數表達式，強化實際問題中自變量取值范圍.具體就是剔除物理屬性，最終抽象成線段，培養抽象素養，在數學圖形線段上隨動點移動觀察得到的變量，厘清哪個是自變量，哪個是因變量，并尋找它們之間的數量關系，然后引導學生設未知數，用式子表示自變量和因變量之間關系，并寫出自變量取值范圍.

2.2? 會用數學的思維思考世界，指向推理能力

場景二? 如圖4，黃雀D沿AC方向從A到點C，再沿CB方向到達點B，已知正三角形ABC的邊長為1m，DG⊥AB.

場景三? 如圖5，黃雀D沿CB方向從點C到點B，已知正三角形ABC的邊長為1m，DG⊥AB.

圖4

圖5

問題3? 在這個過程中，哪些是變量？哪個變量隨另一個變量的變化而變化？

問題4? 請你用字母表示自變量和因變量，并用式子表示它們之間的關系？

問題5? 在這個過程中，哪些是變量？哪個變量隨另一個變量的變化而變化？

問題6? 設AG=x，DG=y，BD=w，請你寫出y，w關于x的函數表達式？

設計意圖? 本環節讓情境從一維直線轉場到二維三角形內，結合新情境再次觀察變量，確定自變量、因變量、關系式，結合式子總結，提出本節課的課題——函數的表達式.已經有了函數表達式的定義后，應用函數表達式表示x，y，z之間的關系.通過學習，會寫函數的表達式.點D在右側的情況交給學生自主解決.然后總結求函數表達式的步驟：確定自變量和因變量，設未知數，找到數量關系，得到函數表達式.

2.3? 會用數學的語言表達世界，指向模型觀念

圖6

場景四

如圖6，黃雀D從點A—C—B過程中，黃雀D的視線始終看著螳螂G和蟬B，用S表示△BDG的面積，x表示AG的長度.

問題7? 請寫出S關于x的函數表達式及自變量x取值范圍.

追問? 在整個過程中，你還能發現哪些函數關系？

設計意圖? 回到本節課的目標上——課標案例69，用函數表達式表示△GBD的面積.小組探究，分兩種情況，利用之前求得的線段表達式表示三角形的面積.基于場景二和三的經驗，通過點D運動位置的變式（邊AC及CB），培養學生舉一反三的能力.同時完整呈現前面兩個情景，結合場景四及變式，滲透分段函數、分類思想方法.

問題8? 在場景二、三的條件之下，你還能在形成的圖形中發現哪些幾何量是AG的函數，并嘗試把它們的表達式寫出來，并寫出自變量x的取值范圍.

預設生成1：列出四邊形ACDG（點D在BC邊上）或BCDG（點D在AC邊上）的面積與AC之間的函數表達式.

預設生成2：列出△BDG以及四邊形ACDG（點D在BC邊上）或BCDG（點D在AC邊上）的周長與AC之間的函數表達式.

設計意圖? 設置開放性問題，引導學生將研究視角從三角形拓展到四邊形，將幾何量從面積拓展到周長等，關注學生的發散性思維培養學生的創新意識和應用意識，注重學生的興趣和體驗，讓學生以生活經驗為基礎自己去編題，更利于激發學生的創造性思維.教學活動過程中滲透數學建模思想，培養學生的“數學建模”能力，學生經歷了發現問題、提出問題、分析問題、解決問題及問題反思，使學生的“四能”得到充分的展現.

2.4? 總結提升：素養與思政在展望未來中比翼齊飛

問題9? 這節課通過什么方式學習了什么新知，你還想研究函數的什么內容？

追問1? 函數在生活中無處不在，是刻畫什么的數學工具？

追問2? 你對“螳螂捕蟬黃雀在后”有了什么新的認識？

設計意圖? 通過歸納小結，引導學生梳理本課所學內容，知識結構化，體會思想，形成研究動態幾何中自然形成函數的一般套路.抓住“螳螂捕蟬黃雀在后”新認識升華到孩子們的安全意識，數學協同育人自然達成，同時情境首尾呼應，真正實現了情境的一“境”到底.

3? 教學反思

《課標（2022年版）》頒布已兩年，新教材即將與師生見面，新的教學方式改革勢在必行.筆者通過本次附錄例69“得到函數表達式”的創新教學嘗試發現通過一例一課落實新課標培養核心素養必須追求道法自然，牢牢抓實三個“自然”.

3.1? 一例一課：素材分析要自然，讓課標意圖躍然而出

在現行教材上，常常會說“確定函數表達式”“求出函數表達式”“寫出函數表達式”，為什么《課標（2022年版）》附錄課例編者偏偏要叫“得到”？筆者冒昧揣測，是不是編者很想我們注重“得到”的這個過程呀？那么如何“得到”？筆者認為，我們可以從以下一些方向去做：得到數量；得到變量；得到自變量，因變量；得到變化；得到函數；得到數量中的函數表達式；得到圖形中的函數表達式；得到簡單的函數表達式；得到復雜的函數表達式；得到取值范圍；得到分段函數的表達式；得到分段函數的取值范圍；得到得到函數表達式的方法；得到函數表達式的用途；得到函數表達式的未來前景……得到，就是為了得到教學設計之道.基于以上思考筆者在課前內容分析時創新采用教師“三會”視角審讀分析案例圖形和內容，這種逆向研讀案例的好處必然在課堂教學中形成高思維含量的問題鏈促使每個學生深度思考，真正做到了教學評的一致性.

3.2? 一例一課：情境創設要自然，讓課標知識應然而生

新課標下的課堂應該落實思維教學，讓知識關聯生長，在課堂中充分展示知識情感能力形成和思維生長過程［1］.所以素材（情境）選取要貼近學生的現實，為學生鋪設合乎邏輯的思維階梯，而且將這個情境一以貫之.在賽場上，大部分選手都對本案例賦予了情境：如上春山看花、王者榮耀路線、上學等現實情境，但感覺情境與知識嚴重剝離，特別是從線段表示過渡到△GBD面積表示時，許多選手直接就是“接著我們來研究三角形的面積”明顯很生硬.而筆者在這個環節充分抓住“螳螂、蟬、黃雀”三個小生命個體的適時關系變化及心理活動，用“黃雀D從A到B的移動過程中，對即將到手的兩個獵物垂涎三尺，因此眼光隨時都盯著螳螂G和蟬B，那么他的視野面積（△GBD）會怎么變化呢”這樣精致的語言實現平滑轉場.特別值得一提的是，在總結提升后根據“黃雀”“螳螂”“蟬”三者食物鏈的關系自然關聯到孩子們的自我保護意識和安全意識，讓數學課程思政在跨學科融合下潤物細無聲.

3.3? 一例一課：素養培養要自然，讓課標理念悄然而至

函數觀點是把不同對象聯系起來的一個好觀點，因此教學設計必須站在這個課標高度整體思考本案例教學設計.由于考慮到孩子們剛剛才學習了函數概念一節課，所以筆者就設計了自然的情境導入環節——螳螂捕蟬（兩點一線成線段），適時復習了變量、函數相關知識，培養了抽象素養.接著在第二個環節增加了第三者“黃雀”制造更深的矛盾沖突讓知識探究螺旋上升——從一維直線到二維等邊三角形，同時探討三角形面積表達式時讓分類討論思想在孩子們小組探究中水落石出，讓推理素養在小組自信的展示中鏗鏘有聲.本案例從“定”與“變”的視角看問題，借助圖形變換揭示問題內部的結構和體系，從而感悟問題內每個元素之間的聯系.在這樣的研究方式下，題目將從一題走向無限，從封閉走向開放，充滿著靈氣和生命力［2］.一例一課的教學立意就是要思考同一例子下諸多知識、方法之間的“親緣關系”，進一步由簡單出發、依次展開、變式拓展，預設開放式教學環節問題，追求簡約而深邃的課堂教學.

本節課突破了解題教學的“刷題”套路，創新情境教學讓學生重新認識“螳螂捕蟬，黃雀在后”，除了習得數學知識外，實現了數學與生物及生命健康等跨學科融合，孩子們在好奇心驅使下的體驗探究促進了思維的發展.一例一課的教學立意就是站在課標視角，讓課標理念、數學知識隨著賦予的情境都真實而立起來，這樣的一例一課讓課堂教學起于真實情境和課標素材，終于課標理念和“三會”素養的螺旋上升落地有范.

參考文獻

［1］何楠，李洪兵.基于生長式的多概念教學實踐與反思：以人教版八年級上冊11.1.2三角形的高、中線與角平分線為例［J］.中學數學雜志，2023（02）：32-35.

［2］郭源源，繆娟.運動視角尋關聯? 定形變換顯路徑：從一道幾何題的解法談起［J］.中學教研（數學），2024（03）：18-22.

作者簡介

李洪兵（1973—），男，重慶璧山人，中學正高級教師，重慶市特級教師，重慶市學科帶頭人，重慶市學科名師；主要從事初中數學教育教學研究.

杜雯欣（1982—），女，重慶璧山人，中學高級教師，重慶市初中數學骨干教師；主要從事初中數學課堂教學研究.