引導(dǎo)提出數(shù)學(xué)問題對教師教學(xué)的要求

【摘? 要】? 在教學(xué)設(shè)計及課堂實施時，引導(dǎo)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的主導(dǎo)責(zé)任在數(shù)學(xué)教師，教師需要自覺自愿地發(fā)揮自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主導(dǎo)作用，首先應(yīng)該發(fā)展自己面臨外在信息時提出合適數(shù)學(xué)問題的能力.在具體數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)設(shè)計及課堂實施中引導(dǎo)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題時，數(shù)學(xué)教師需要依據(jù)一慣性與連續(xù)性、差異性與適應(yīng)性、期待性與鼓勵性三項要求.

【關(guān)鍵詞】? 提出數(shù)學(xué)問題；教學(xué)設(shè)計；三項要求

發(fā)生認(rèn)識的心理動力在于對外在客觀對象性信息的好奇心與興趣，好奇心與興趣生成了學(xué)習(xí)主體的探究與思考，如此，學(xué)也就起源于思，思起源于疑.學(xué)習(xí)主體要消解疑問所帶來的心理緊張情緒，他的疑問就要獲解，從而導(dǎo)致疑轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)主體所提出的問題.由此認(rèn)識，可以將問題界定為：問題指的是相對于學(xué)習(xí)主體探究信息意義的新穎度與其經(jīng)驗的適應(yīng)度存在著差距，從而無法形成共振或耦合進(jìn)而出現(xiàn)的一些引起學(xué)習(xí)主體無法確定正確與否的信息輪廓.問題的出現(xiàn)在于當(dāng)學(xué)習(xí)主體依據(jù)自己的經(jīng)驗、知識不能解釋自己所面臨的信息時所產(chǎn)生的心理困惑.本文探究數(shù)學(xué)教師通過自己的教學(xué)設(shè)計及課堂實施幫助學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的幾項要求.

1? 在課堂實施中堅持一慣性與連續(xù)性要求

在教學(xué)設(shè)計及課堂實施（甚至于在課外）活動中，數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的任何一項能力都需要堅持一慣性與連續(xù)性要求，培養(yǎng)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題能力當(dāng)然不可能例外.這種要求就是從空間的廣度上與時間的長度上，濡化熏染學(xué)生，為學(xué)生創(chuàng)造發(fā)展提出合適數(shù)學(xué)問題能力的學(xué)習(xí)氛圍，使培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力始終處于“潤物細(xì)無聲”的背景中.

所謂一慣性指的是，數(shù)學(xué)教師在空間上所安排的教學(xué)活動都要以培養(yǎng)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題能力為目標(biāo)導(dǎo)向，那么，在設(shè)計幫助學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識點認(rèn)識的教學(xué)活動中，或在講解鞏固知識的例題中，或在選擇習(xí)題布置給學(xué)生作業(yè)中等，都要將啟發(fā)或誘導(dǎo)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題作為一項重要環(huán)節(jié)，而不是只重視其中的某一項內(nèi)容（例如，只在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識認(rèn)識時培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力，而在例習(xí)題中則不將啟發(fā)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題作為一項教學(xué)目標(biāo)）的教學(xué)活動，不能顧此失彼，有所偏廢.

所謂連續(xù)性指的是培養(yǎng)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題能力，不是一朝一夕的事情，而是長年累月持久的事情，決不能淺嘗輒止，因此，教師必須堅持不懈地長期努力，持之以恒（而不能三天打魚兩天曬網(wǎng)，或者一曝十寒地展開數(shù)學(xué)教學(xué)活動），如此，才有可能實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題能力.啟發(fā)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的連續(xù)性非常重要，這是由數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性所產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識點之間的廣泛聯(lián)系決定的.

因此，數(shù)學(xué)教師堅持一慣性與連續(xù)性的教學(xué)活動非常重要，因為只有如此，才能形成一種合力，保證從全方位、寬領(lǐng)域、綜合性地從總體上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的能力當(dāng)然也內(nèi)涵于其中.例如，關(guān)于發(fā)生勾股定理這個知識點認(rèn)識的教學(xué)設(shè)計及課堂實施，筆者是這樣啟發(fā)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的：通過教材分析認(rèn)識到，勾股定理來源于使用面積表示兩數(shù)差的完全平方公式，于是，筆者以兩數(shù)和的完全平方公式為初始問題，然后，要求學(xué)生在展開中提出合適的數(shù)學(xué)問題，從而幫助學(xué)生發(fā)生勾股定理這個知識點的認(rèn)識.

師：如何構(gòu)造合適的幾何圖形檢驗兩數(shù)和的完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2①這一代數(shù)恒等式呢？

圖1生1：作以邊長為a+b的正方形，如圖1所示，可以直觀地發(fā)現(xiàn)代數(shù)恒等式①成立.

師：同學(xué)們可以模仿老師上述提出的問題的方式提一個新問題嗎？

生2：如何構(gòu)造合適的幾何圖形檢驗兩數(shù)差的完全平方公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2②這一代數(shù)恒等式呢？

師：好問題！大家如何解決這個問題呢？

生：……（省略號表示學(xué)生思維暫時中斷）

師：大家發(fā)現(xiàn)無法使用驗證代數(shù)恒等式①的方法驗證代數(shù)證恒等式②成立.能否想出突破這種限制的方法呢？你可以提出一個新的問題嗎？

生3：是否可以通過變形恒等式（a－b）2＝a2－2ab＋b2②獲得一個新的恒等式的表達(dá)形式，從而有利于構(gòu)造一個規(guī)則性的幾何圖形，使用其面積表達(dá)恒等式②呢？

圖2師：一個非常好的問題.大家仔細(xì)思考找到一種解決問題的途徑.

生4：將恒等式②變形為（a－b）2＝（a＋b）2－4ab③.恒等式③就是在以邊長為a＋b的正方形中挖去四個長與寬分別為a與b的矩形，于是，容易使用幾何圖形予以表達(dá)，如圖2.

圖3

師：好.如圖3所示，一個Rt△ABC，直角邊長分別為a與b，斜邊長為c，現(xiàn)在想要探討這個Rt△ABC三邊之間的關(guān)系，想辦法建立圖3與圖2之間的聯(lián)系，你可以提出一個合適的問題嗎？

生5：我看到了圖2中存在著圖3這樣的直角三角形，只要作出圖2中矩形的對角線，就能構(gòu)造出圖3的這個直角三角形了.如此，可以將圖3放置到圖2中去，作為圖2的一個部分或一個元素.到此，我們提出這樣的問題：當(dāng)將圖3放置到圖2中去以后，可以利用圖2中的幾個直角邊長分別為a與b、斜邊長為c的直角三角形.現(xiàn)在想要利用圖2來探究Rt△ABC三邊之間的關(guān)系嗎？

師：提出了很好的問題.如何利用圖2來解決這個問題呢？

生6：圖2中存在著四個矩形，這4個矩形可以分解成8個如圖3這樣的直角三角形，如果胡亂地連結(jié)這4個矩形的對角線，作出8個直角三角形，肯定不利于問題的解決……

師：分析得非常好.那么對此，大家可以提出怎樣的一個新問題呢？

生7：如何連接圖2中的4個矩形對角線，才有利于探討Rt△ABC三邊之間的關(guān)系呢？

圖4生8：作出這4個矩形的對角線以后，使得這4條對角線所劃分出的新圖形一定是依據(jù)某種規(guī)則，從而有利于我們能夠利用圖形的整體性.如此，我想將圖2劃分為圖4，即順次連結(jié)圖2中四個矩形的對角線，在圖2中就構(gòu)造出了8個所需要直角邊長分別為a與b、斜邊長為c的直角三角形.如圖4，去掉圖4中的相關(guān)線條，得圖5，由圖5容易知道（a＋b）2＝c2＋2ab，化簡得a2+b2＝c2④.

師：好！直角三角形三邊長的表達(dá)式④的形式，稱為“勾股定理”.那么對于圖4而言，還能提出其他問題嗎？

生9：如果去掉圖4中外圍的四個直角三角形，就得到圖6，圖6是以邊長為c的正方形，可知c2＝（a－b）2＋2ab，化簡得c2＝a2＋b2［1］.? 圖5????????? 圖6

注? 一般數(shù)學(xué)教師難以推敲出學(xué)生發(fā)生勾股定理認(rèn)識的認(rèn)知出發(fā)點是兩數(shù)差的完全平方公式的幾何面積的直觀表示［2］.筆者認(rèn)識到了這一點，基于此，在勾股定理知識的教學(xué)設(shè)計及課堂實施中，以兩數(shù)和的平方公式的幾何面積表示為初始問題，在以后疑難環(huán)節(jié)中，不斷地啟發(fā)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題，最終基于學(xué)生在各個環(huán)節(jié)上所提出的合適數(shù)學(xué)問題的解決，成功地發(fā)生勾股定理這個知識點認(rèn)識.由此能夠認(rèn)識到，教師通過教材分析掌握具體數(shù)學(xué)知識點的來龍去脈具有怎樣的重要意義，就啟發(fā)學(xué)生提出合適的數(shù)學(xué)問題這方面來說，數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性決定了數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系是多么得重要.這種教學(xué)設(shè)計及課堂實施實踐活動，充分體現(xiàn)了一慣性與連續(xù)性在培養(yǎng)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題能力中的作用.

2? 在課堂實施中堅持差異性與適應(yīng)性要求

學(xué)習(xí)主體所擁有智力的特點與人的臉面一樣，千人千面，對于學(xué)習(xí)主體而言，學(xué)生感受外在信息造成的疑難，隨著不同學(xué)生已經(jīng)掌握了的知識、發(fā)生知識認(rèn)識的體驗及其形成經(jīng)驗、萌生的數(shù)學(xué)觀念等的不同而不同，具有個性差異的心理特點，例如，某些信息因素的整合，對于甲可能是問題，對于乙就不是問題.因此，一方面，對于感受外在同樣的信息，有的學(xué)生可能使用自己的知識與經(jīng)驗完全駕馭信息，不會感到疑難，而另一些學(xué)生可能就是難以邁過去的坎，構(gòu)成了他們極大的疑難，在這種情況下，學(xué)生為了理解信息，發(fā)掘信息所可能形成的意義，就會提出一系列問題［3］.

另一方面，由于班級集體的作用，盡管不同學(xué)生基于自己的數(shù)學(xué)知識水平或經(jīng)驗層次，可能提出不同的問題，但是通過班級集體提出問題活動的交流，一個同學(xué)提出問題就會引起其他學(xué)生的評價或效仿，從而引起其他同學(xué)的思考，如此，如果前面同學(xué)提出的問題不夠完善，那么后面同學(xué)在前面同學(xué)提出問題的基礎(chǔ)上，就會思考修改已經(jīng)提出了的問題，從而達(dá)到完善數(shù)學(xué)問題的目的.看筆者的一個解題教學(xué)實踐中的真實例子.

師：9枚1圓面值的外觀相同的硬幣，其中有1枚是假的，已知假硬幣比真硬幣稍微輕一點，并且給你一架天平.從理解這些信息的內(nèi)涵中，請大家提出一個問題.

生10：這個問題容易提出來，如何利用天平從這9枚硬幣中辨別出這枚假硬幣？（記為問題1）

生11：問題1不太好.我提出的問題是，最多可以使用幾次天平才能辨別出這枚假硬幣？（記為問題2）

生12：我以為問題1與問題2都不太好.我提出的問題是，最少可以使用幾次天平才能辨別出這枚假硬幣？（記為問題3）

注? 這是對于學(xué)生在課堂上提出的問題進(jìn)行評價后，再行提出的數(shù)學(xué)問題.

師：非常好.大家提出了這些各有價值的數(shù)學(xué)問題.現(xiàn)在要問：除了提出這三項問題以外，同學(xué)們還能夠進(jìn)一步提出一些問題嗎？

生13：我提出的問題是，如何通過使用3次天平辨別出這枚假硬幣呢？（記為問題4）

生14：我提出的問題是，如何通過使用2次天平辨別出這枚假硬幣呢？（記為問題5）

師：非常好.我們?nèi)绾谓鉀Q問題5呢？（以下的教學(xué)活動這里就略而不記了）

注? （1）向?qū)W生提供外在對象性信息，然后啟發(fā)學(xué)生自己閱讀信息、分析信息、理解信息，從理解了的信息內(nèi)容中提出具體的問題，這是啟發(fā)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題教學(xué)設(shè)計的一種套路.由于學(xué)生的個性差異性，在理解信息時，逼近信息本質(zhì)的層級不同，所提出的問題形式及其構(gòu)成的解題任務(wù)與途徑是不同的.然而無論如何，每個提出問題的同學(xué)，都會從中受到教益，即使有的同學(xué)在課堂教學(xué)現(xiàn)場上沒有機(jī)會（如時間的限制）提出自己的問題，由于傾聽自己的同學(xué)提出了不同的問題，也會進(jìn)行評價與試圖尋找方法解決問題從而受到教益.因此，這種啟發(fā)學(xué)生提出問題的教學(xué)設(shè)計及課堂實施是一種很好的途徑.

（2）在學(xué)生提出這些問題后，數(shù)學(xué)教師可以在課堂上比較這些問題之間的區(qū)別與聯(lián)系，然后依據(jù)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維水平、意識觀念、方法技巧等，選擇其中具有典型意義的問題，引導(dǎo)學(xué)生探究解題方法，從而發(fā)揮學(xué)生提出問題所形成的問題組的作用.這種通過鼓勵學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的課堂生成內(nèi)容及其同學(xué)之間的交流，具有非常好的教學(xué)價值.

3? 在課堂實施中堅持期待性與鼓勵性要求

在啟發(fā)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的教學(xué)設(shè)計及課堂實施中，教師的期待具有很好的作用.期待是一種情感效應(yīng).期待意味著教師充分信任學(xué)生關(guān)于某項學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)潛力，相信學(xué)生通過自己的獨立學(xué)習(xí)活動，在不久的將來會生成良好的學(xué)習(xí)結(jié)果.數(shù)學(xué)教師在以啟發(fā)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題為目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計及課堂實施時，向?qū)W生展示具體的數(shù)學(xué)信息，要求理解信息意義并從中提出問題，大多數(shù)情況下，學(xué)生不可能一蹴而就，他們必須要經(jīng)由思考、實驗、探究與選擇，才能提出某些數(shù)學(xué)問題，這就必須要有充足的學(xué)習(xí)活動時間作保證.教師的期待就是應(yīng)該提供給學(xué)生合適的時間，而不能急迫地要求學(xué)生立即作出回答.

例如，在施教勾股定理這個知識點的上述教學(xué)過程中，對于生3所提出的這個問題，筆者在課堂上足足地等待了4分鐘.在這種等待的過程中，筆者始終微笑著注視學(xué)生，從學(xué)生的動作、表情與眼神中，切體地感受到了學(xué)生那種鴉雀無聲的沉默（這是最令教師欣賞的課堂上的沉默），每一名進(jìn)入角色的學(xué)生正是在這種沉默中，心智的思維活動在高速度地運轉(zhuǎn)著，筆者十分把握地認(rèn)為，學(xué)生肯定會提出突破探究思路活動困難的有啟發(fā)性的問題.果不其然，學(xué)生做到了，這是筆者心理上的最大快慰之處.如果數(shù)學(xué)教師失去了期待的耐心，則會中斷學(xué)生的思考，而將教師自己在備課中已經(jīng)整理好了的思維活動結(jié)果奉獻(xiàn)于學(xué)生，那就極大損失了啟發(fā)與引導(dǎo)的教學(xué)價值.

對于數(shù)學(xué)教師來說，一方面，期待與鼓勵是交織在一起的，期待本身就是一種鼓勵，因為學(xué)生可以感受到教師的期待，就是相信學(xué)生通過自己分析信息，進(jìn)行思考，一定可以獲得有價值問題或結(jié)果；另一方面，當(dāng)學(xué)生提出有分量的合適數(shù)學(xué)問題時，教師應(yīng)該在課堂上熱情洋溢地提出表揚，這是一種直接鼓勵，即使學(xué)生提出的問題存在瑕疵，不太合適，應(yīng)該基于學(xué)生回答的內(nèi)容，需要充分肯定其價值所在，實事求是地進(jìn)行分析評價，提出希望在那一點上作出了改正以后，就是一個合適的數(shù)學(xué)問題.總之，教師的期待與鼓勵對于弘揚主體精神，激發(fā)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)具有重要作用.

4? 結(jié)束語

在教學(xué)設(shè)計及課堂實施時，引導(dǎo)學(xué)生提出合適數(shù)學(xué)問題的主導(dǎo)責(zé)任在數(shù)學(xué)教師，教師需要自覺自愿地發(fā)揮自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主導(dǎo)作用，首先應(yīng)該發(fā)展自己面臨外在信息時提出合適數(shù)學(xué)問題的能力，基于自己提出合適數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，在教材分析時，洞穿所要施教的數(shù)學(xué)知識點的本質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)與選擇具體數(shù)學(xué)知識點作為學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識點認(rèn)識的認(rèn)知出發(fā)點［4］.在具體數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)設(shè)計及課堂實施時，數(shù)學(xué)教師需要依據(jù)一慣性與連續(xù)性、差異性與適應(yīng)性、期待性與鼓勵性三項要求展開課堂活動.

參考文獻(xiàn)

［1］張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實現(xiàn)途徑［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（01）：33-37.

［2］張昆.教材分析：數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（08）：13-16.

［3］張昆.學(xué)情分析：數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的前提［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（12）：5-8.

［4］張昆.增進(jìn)學(xué)生理解弘揚主體精神：數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計從邏輯分析轉(zhuǎn)向心理分析的視點［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（05）：4.

作者簡介? 張昆（1965—），男，安徽合肥人，中學(xué)高級教師，副教授，博士，師從北京師范大學(xué)曹一鳴教授、陜西師范大學(xué)羅增儒教授和浙江師范大學(xué)張維忠教授;主要研究數(shù)學(xué)解題教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計、數(shù)學(xué)史、中小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)等；發(fā)表數(shù)學(xué)教育教學(xué)論文300余篇，其中28篇被人大復(fù)印資料全文收錄.