在概念的建立過(guò)程中促進(jìn)觀念的形成與發(fā)展

朱月紅 李樹(shù)臣

【摘? 要】

數(shù)學(xué)觀念是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法去觀察、認(rèn)識(shí)問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)和思維方式.培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念是提高國(guó)民數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要舉措，加強(qiáng)數(shù)學(xué)觀念教育是實(shí)現(xiàn)教育課程目標(biāo)的根本保證.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》界定的核心素養(yǎng)表現(xiàn)中，含有三大數(shù)學(xué)觀念（空間觀念、模型觀念和數(shù)據(jù)觀念）.數(shù)學(xué)概念是重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程有助于三大數(shù)學(xué)觀念的形成與發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)學(xué)觀念；數(shù)學(xué)概念；空間觀念；模型觀念；數(shù)據(jù)觀念

1? 問(wèn)題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2022年版）》）提出了“核心素養(yǎng)”的概念，并且界定了初中學(xué)段的九大核心素養(yǎng)表現(xiàn)［1］，在這些素養(yǎng)表現(xiàn)中，含有三大觀念：空間觀念、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念.這里的三大觀念隸屬于數(shù)學(xué)觀念的范圍.日常生活中所謂有沒(méi)有“數(shù)學(xué)頭腦”，實(shí)際上是個(gè)數(shù)學(xué)觀念的問(wèn)題.

從數(shù)學(xué)教育史上看，數(shù)學(xué)觀念是一個(gè)有待明確意義的重要概念，關(guān)于其涵義，也處在不斷發(fā)展和“升級(jí)”之中.薛茂芳教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)觀念就是數(shù)學(xué)思維乃至整個(gè)現(xiàn)代思維的一種基本觀察角度、出發(fā)點(diǎn)、依據(jù)原則或檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，它是數(shù)學(xué)思維乃至整個(gè)現(xiàn)代思維的重要特征之一［2］.數(shù)學(xué)觀念是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法去觀察、認(rèn)識(shí)問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)和思維方式［3］.

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念具有重要的意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念是全面提高國(guó)民數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要舉措，加強(qiáng)數(shù)學(xué)觀念教育是實(shí)現(xiàn)教育目的的根本保證［3］.在中學(xué)階段應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，幫助學(xué)生形成八種基本數(shù)學(xué)觀念［4］.

如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念呢？筆者在《培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的主要途徑》［5］中給出了五條措施，其中之一是“注重過(guò)程教學(xué)”.這里的“過(guò)程”主要指數(shù)學(xué)知識(shí)的建立過(guò)程和知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程.初中學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要包括數(shù)學(xué)概念、命題和論證三部分，數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)后兩部分的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果關(guān)乎《課標(biāo)（2022年版）》提出的“課程目標(biāo)”的落實(shí)情況.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念呢？

2? 在概念的建立過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的三大觀念

2.1? 模型觀念

《課標(biāo)（2022年版）》指出“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí).知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.模型觀念有助于開(kāi)展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性”［1］10.

“數(shù)與代數(shù)”是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)之一，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石，可以幫助學(xué)生從數(shù)量的角度清晰準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界［1］53.在初中階段，關(guān)于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識(shí)，《課標(biāo)（2022年版）》分“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”三個(gè)主題給出了49條課程內(nèi)容（其中一條為選學(xué)內(nèi)容）.

從主題的標(biāo)題看，本領(lǐng)域的很多內(nèi)容都與“數(shù)學(xué)模型”有關(guān)，表現(xiàn)在：（1）學(xué)習(xí)的很多知識(shí)都是一些具體的“模型”；（2）知識(shí)的應(yīng)用多通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn).因此，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生模型觀念重要“載體”.

這個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)概念比較多，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的建立過(guò)程中，能促進(jìn)模型觀念的形成與發(fā)展.

案例1? 反比例函概念的建立過(guò)程.

為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷反比例函數(shù)概念的形成過(guò)程，我們提出下面問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行思考、探索、交流等活動(dòng)：

【思考探索】

（1）已知兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積為-10.設(shè)其中的一個(gè)因數(shù)為q，另一個(gè)因數(shù)為p，試寫(xiě)出q，p之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）為支持小微企業(yè)發(fā)展，某銀行為小微企業(yè)A提供了2000萬(wàn)元的無(wú)息貸款.寫(xiě)出該企業(yè)平均每年的還款額y（萬(wàn)元）與還款年限n（年）之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）濟(jì)南與北京相距約420km，一輛汽車(chē)從濟(jì)南以平均速度v（km/h）駛向北京，全程所用時(shí)間為t（h），寫(xiě)出v與t之間的函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖? 《課標(biāo)（2022年版）》提出教學(xué)素材的選取“要貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)、真實(shí)可信”，根據(jù)這個(gè)要求，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生建立反比例函數(shù)概念時(shí)選取了上面的三個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題來(lái)源于數(shù)學(xué)本身，后兩個(gè)問(wèn)題來(lái)源于生活現(xiàn)實(shí).學(xué)生通過(guò)對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的思考，分別得到了三個(gè)函數(shù)表達(dá)式：q=-10p；y=2000n；v=420t.這三個(gè)式子都是從具體問(wèn)題中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過(guò)程有助于學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)，也有助于學(xué)生模型觀念的形成與培養(yǎng).

【觀察抽象】

（4）觀察表達(dá)式q=-10p，y=2000n和v=420t，你能說(shuō)出它們的特點(diǎn)嗎？

（5）這三個(gè)表達(dá)式在形式上有怎樣的共同特征？

設(shè)計(jì)意圖? 為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的“抽象—概括”能力，設(shè)計(jì)了上面兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)對(duì)第四個(gè)問(wèn)題的觀察，可以說(shuō)出多個(gè)特點(diǎn)，這些特點(diǎn)中有的是一般性特點(diǎn)，有的是本質(zhì)特點(diǎn).問(wèn)題（5）目的是讓學(xué)生歸納、概括出三個(gè)表達(dá)式的共同特征“都具有y=kx（k≠0）的形式”，從而給出反比例函數(shù)的意義.本環(huán)節(jié)主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、概括表達(dá)能力.

數(shù)學(xué)模型觀念的形成主要“依賴(lài)”于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的兩個(gè)過(guò)程：一是類(lèi)似本案例的通過(guò)“知識(shí)背景—知識(shí)形成—揭示聯(lián)系”的過(guò)程；二是經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過(guò)程.前者指知識(shí)的形成過(guò)程，當(dāng)然包括數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程，后者指通過(guò)建立模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.

模型觀念的形成絕不是一朝一夕就能完成的，是學(xué)生通過(guò)多年的學(xué)習(xí)，在反復(fù)經(jīng)歷上面兩個(gè)過(guò)程之中逐漸形成的.形成學(xué)生模型觀念的“載體”雖然以數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域?yàn)橹鳎⒉皇钦f(shuō)只有本領(lǐng)域的知識(shí)才能促進(jìn)模型觀念的形成，其它領(lǐng)域的有些知識(shí)也同樣“承擔(dān)”著這個(gè)任務(wù).

2.2? 空間觀念

《課標(biāo)（2022年版）》“空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí).能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象并表達(dá)物體的空間方位和相互之間的位置關(guān)系；感知并描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律.空間觀念有助于理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)”［1］9.

初中階段，關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)，《課標(biāo)（2022年版）》分“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題給出了92條課程內(nèi)容（含兩條選學(xué)內(nèi)容）.

本領(lǐng)域?qū)⒃谛W(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形，從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三個(gè)方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系.幾何概念在這些任務(wù)的過(guò)程中起著舉足輕重的作用.

教學(xué)中我們要認(rèn)真研究每一個(gè)數(shù)學(xué)概念，通過(guò)研究，設(shè)計(jì)出建立本概念的教學(xué)流程，當(dāng)學(xué)生完成該流程的任務(wù)后，既能掌握概念，又能增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力等核心素養(yǎng).

案例2? 相似多邊形概念的建立過(guò)程［6］.

【問(wèn)題情境】

小瑩在電腦上任意畫(huà)出一個(gè)四邊形ABCD（圖1①），并將它按原大小復(fù)制下來(lái)，得到四邊形A′B′C′D′（圖1②）.然后將四邊形ABCD各角的大小保持不變，將它的各邊同時(shí)放大54倍，得到四邊形A″B″C″D″（圖1③）.再將四邊形ABCD各角的大小保持不變，將它的各邊同時(shí)縮小23，得到四邊形ABCD（圖1④）.把這四個(gè)四邊形打印在同一張紙上（圖1）.

圖1

【思考發(fā)現(xiàn)】

（1）圖1中的四邊形①和②是全等形嗎？是相似形嗎？

（2）觀察圖1中的四邊形①和③，它們的角和邊之間分別具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（3）觀察圖1中的四邊形①和④，它們的角和邊之間之間分別具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖? 相似多邊形是初中最復(fù)雜的幾何概念.為引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索、思考、交流得到兩個(gè)多邊形只有同時(shí)滿足三個(gè)條件（邊數(shù)相同、各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例）時(shí)，才是相似多邊形.我們以四邊形為例設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，目的是讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、交流依次探究到四個(gè)四邊形的形狀與大小的特征、相對(duì)應(yīng)的角之間的關(guān)系、相對(duì)應(yīng)的邊之間的關(guān)系.

學(xué)生根據(jù)作圖的過(guò)程，可得問(wèn)題（1）中答案：四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′既全等也相似.對(duì)于問(wèn)題（2），學(xué)生由作法可得到∠A=∠A″，∠B=∠B″，∠C=∠C″，∠D=∠D″，且ABA″B″=BCB″C″=CDC″D″=DAD″A″=45.對(duì)于問(wèn)題（3），學(xué)生根據(jù)作法也能得到類(lèi)似的結(jié)論.

教學(xué)中，教師在學(xué)生得到上面的結(jié)論后，可給出下面的總結(jié)：

四邊形ABCD復(fù)制、放大或縮小后，所得到的四邊形與原來(lái)的四邊形相似，它們的各個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例.反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)四邊形與四邊形ABCD的各角對(duì)應(yīng)相等，并且各邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這個(gè)四邊形與四邊形ABCD形狀相同，也就是說(shuō)，這個(gè)四邊形與四邊形ABCD相似.之后，給出相似多邊形的概念.

學(xué)生在經(jīng)歷相似多邊形概念的建立過(guò)程中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到“相似圖形”的意義以及相似形與全等形的關(guān)系.從“形狀”和“數(shù)量”兩個(gè)方面加深了對(duì)相似圖形中“形狀相同”的理解，這些“知識(shí)”都隸屬于空間觀念的范疇.

在“圖形與幾何”領(lǐng)域，空間觀念的形成除了重視概念的建立過(guò)程外，還要充分利用好《課標(biāo)（2022年版）》界定的全部幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí).例如，“圖形的變化”主題中共有25條課程內(nèi)容，這些內(nèi)容分為圖形的軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影五個(gè)小標(biāo)題，通過(guò)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，可進(jìn)一步增加空間觀念.

2.3? 數(shù)據(jù)觀念

《課標(biāo)（2022年版）》指出“數(shù)據(jù)觀念主要是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性有比較清晰的認(rèn)識(shí).知道數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，需要根據(jù)問(wèn)題的背景和所要研究的問(wèn)題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢(shì)及隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.形成數(shù)據(jù)觀念有助于理解和表達(dá)生活中隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，感知大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)據(jù)分析的重要性，養(yǎng)成重證據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度”［1］10.

初中階段，關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的知識(shí)，《課標(biāo)（2022年版）》用“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“隨機(jī)事件的概率”兩個(gè)主題共給出了13條課程內(nèi)容.

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，將獲得數(shù)據(jù)的抽樣方法，通過(guò)樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征的方法，以及定量刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的方法，從而形成和發(fā)展數(shù)據(jù)觀念.

本領(lǐng)域的概念比較少，教學(xué)中要讓學(xué)生充分經(jīng)歷這些概念的建立過(guò)程，達(dá)到掌握概念并發(fā)展數(shù)據(jù)觀念的目的.

案例3? 平方和與方差概念的建立過(guò)程.

關(guān)于方差，《課標(biāo)（2022年版）》的要求是“體會(huì)刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的意義，會(huì)計(jì)算一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的離差平方和、方差”［1］74，方差是利用離差平方和進(jìn)行定義和計(jì)算的，這兩個(gè)概念的建立是“一起”的.

【問(wèn)題情境】

某學(xué)校田徑隊(duì)的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員最近8次百米跑的訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?/p>

你能根據(jù)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)，判斷出誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定嗎？

【思考探索】

（1）甲、乙二人的平均成績(jī)分別是多少？

（2）分別計(jì)算兩人的每次訓(xùn)練成績(jī)與他們的平均成績(jī)的差.

設(shè)計(jì)意圖? 為了引進(jìn)離差平方和與方差的概念，我們以甲、乙兩名射手的8次百米跑訓(xùn)練成績(jī)?yōu)椤氨尘啊保岢隽烁鶕?jù)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員百米跑的8次訓(xùn)練的成績(jī)，判斷誰(shuí)更穩(wěn)定的問(wèn)題.為了降低學(xué)習(xí)難度，引導(dǎo)學(xué)生作出判斷，設(shè)計(jì)了兩個(gè)小問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行思考與探索：

問(wèn)題（1）是復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)，學(xué)生根據(jù)前面學(xué)習(xí)的平均數(shù)的意義直接計(jì)算出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)都是12.5秒.目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用“平均數(shù)”不能回答這個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題（2）是為了引出新概念而設(shè)計(jì)的，學(xué)生根據(jù)要求通過(guò)計(jì)算得到甲、乙兩人每次訓(xùn)練成績(jī)與平均成績(jī)的差（單位：s），分別是：

甲：-0.5，-0.3，0.5，0.1，0.6，0，-0.1，-0.3.

乙：-0.3，-0.1，0.2，0，0.4，-0.3，0.3，-0.2.

在學(xué)生得到上面的兩組數(shù)據(jù)后，教師直接給出離差的概念，并鼓勵(lì)學(xué)生由上面兩組數(shù)據(jù)概括出：離差可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，還可以是0.

（3）根據(jù)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的離差之和，你能判斷出誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定嗎？根據(jù)離差平方和呢？與同學(xué)交流

設(shè)計(jì)意圖? 為了引出新的概念，設(shè)計(jì)了問(wèn)題（3），這問(wèn)題有兩問(wèn)，對(duì)于第一問(wèn)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題（2）得到的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員8次百米跑中成績(jī)的離差，可以計(jì)算出兩名運(yùn)動(dòng)員的離差之和都是0，顯然根據(jù)離差還不能對(duì)兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)進(jìn)行判斷.這個(gè)問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，他們認(rèn)為總有辦法判斷出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員究竟誰(shuí)更穩(wěn)定來(lái)（引入新數(shù)學(xué)概念的必要性）.對(duì)于第二問(wèn)，學(xué)生計(jì)算得到甲運(yùn)動(dòng)員離差的平方和為：（x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+（x4-x）2+（x5-x）2+（x6-x）2+（x7-x）2+（x8-x）2=（12.0-12.5）2+（12.2-12.5）2+（13.0-12.5）2+（12.6-12.5）2+（13.1-12.5）2+（12.5-12.5）2+（12.4-12.5）2+（12.2-12.5）2=1.06.

乙運(yùn)動(dòng)員離差的平方和為：（12.2-12.5）2+（12.4-12.5）2+（12.7-12.5）2+（12.5-12.5）2+（12.9-12.5）2+（12.2-12.5）2+（12.8-12.5）2+（12.3-12.5）2=0.52.

于是，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然兩名運(yùn)動(dòng)員的離差和相同，但離差的平方和不同（引入新概念的可行性），由此可以得到乙的成績(jī)更穩(wěn)定.教師在此基礎(chǔ)上給出方差的概念：

為了刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度，通常選用各個(gè)數(shù)據(jù)離差的平方和的n分之一，即用

s2=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n來(lái)刻畫(huà)這組數(shù)據(jù)的離散程度，我們把s2叫作這組數(shù)據(jù)的方差.根據(jù)方差的計(jì)算公式，可得S2甲=1.068=0.1325（s2），S2乙=0.528=0.065（s2）.

由此可見(jiàn)，甲、乙二人8次訓(xùn)練成績(jī)的方差具有明顯的差異，根據(jù)S2甲＞S2乙可知，甲的成績(jī)與乙相比波動(dòng)較大，不太穩(wěn)定.至此，問(wèn)題得到解決.

從上面的過(guò)程看，為了判斷出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)究竟誰(shuí)更穩(wěn)定，從8次運(yùn)動(dòng)成績(jī)的平均數(shù)上無(wú)法判斷.為此需要引入新的數(shù)學(xué)概念，引入離差后，根據(jù)離差還不能作出判斷，于是從離差平方和入手，發(fā)現(xiàn)甲、乙二人成績(jī)離差的平方和不同，這樣利用離差平方和可以判定.數(shù)學(xué)中常用的概念是方差，于是引入了方差的概念.

從方差的引入過(guò)程可見(jiàn)，學(xué)生經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”的全過(guò)程，這種設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且有助于學(xué)生加深對(duì)方差概念的理解和對(duì)計(jì)算公式的記憶.

從案例三看，方差概念的建立是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引人的，建立的過(guò)程自始至終都含有數(shù)據(jù)的運(yùn)算.因此說(shuō)，方差概念的建立過(guò)程能提高學(xué)生的運(yùn)算能力，也有助于學(xué)生數(shù)據(jù)觀念的形成與發(fā)展.

3? 結(jié)束語(yǔ)

模型觀念、空間觀念以及數(shù)據(jù)觀念是重要的數(shù)學(xué)觀念，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的意義，本文我們結(jié)合三個(gè)案例分析了在數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程中能培養(yǎng)的三大觀念.

事實(shí)上，《課標(biāo)（2022年版）》界定的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)都有助于學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成與發(fā)展.因此，教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材，針對(duì)即將傳授的知識(shí)，找準(zhǔn)以該知識(shí)為“載體”能培養(yǎng)的具體數(shù)學(xué)觀念，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題系列，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，這是實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)（2022年版）》提出的課程目標(biāo)的一個(gè)有力措施.

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中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：181.

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作者簡(jiǎn)介

朱月紅（1970—），女，江蘇泰州人，教育碩士，江蘇省特級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和研究.

李樹(shù)臣（1962—），男，山東沂南人，中學(xué)正高級(jí)教師；臨沂大學(xué)學(xué)生學(xué)業(yè)導(dǎo)師，山東省教育科研先進(jìn)個(gè)人、山東省創(chuàng)新教育先進(jìn)個(gè)人、三次獲山東省教學(xué)成果獎(jiǎng)、全國(guó)義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）的核心作者、分冊(cè)主編、中國(guó)人民大學(xué)《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委、湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委.