著眼空間觀念培養(yǎng) 提升解決問(wèn)題能力

王紅妙

【摘 要】立體圖形的學(xué)習(xí)是小學(xué)階段“圖形與幾何”知識(shí)的重要組成部分。學(xué)生能否熟練靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，較大程度上取決于空間觀念的積累。以“長(zhǎng)方體和正方體”的教學(xué)為例，要有效培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí)，可以通過(guò)以下策略展開(kāi)：在“豐富感知”中，喚醒空間意識(shí)；在“虛實(shí)相生”中，發(fā)展空間想象力；在“縱橫思辨”中，深化空間觀念。只要教師堅(jiān)持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡不斷循環(huán)往復(fù)，空間觀念就會(huì)不斷走向清晰，學(xué)生的想象力也會(huì)由單一走向復(fù)雜，得以不斷提升。

【關(guān)鍵詞】長(zhǎng)方體 正方體 立體圖形 空間觀念

小學(xué)階段“圖形與幾何”知識(shí)的教學(xué)主要包括“空間和平面圖形的知識(shí)和計(jì)算”“圖形的位置與變換”等，立體圖形的學(xué)習(xí)是其重要內(nèi)容，作為這一內(nèi)容的重要部分“長(zhǎng)方體和正方體” ，它是建立在學(xué)生認(rèn)識(shí)了平面圖形的特征和相關(guān)計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。這是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)由平面擴(kuò)展到立體的開(kāi)始，更是學(xué)生空間觀念發(fā)展中的一次飛躍，對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生初步的空間想象能力和后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的影響。

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往存在“重結(jié)果，輕過(guò)程；重形式，輕思維”的教學(xué)意識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生“知其然，卻不知其所以然”。以下是筆者在教學(xué)中由若干問(wèn)題引發(fā)的一系列思考與實(shí)踐，及找尋到的一些耐人尋味的知識(shí)共性。

【思考一】“體”變“形”，僅僅是口誤嗎？

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生總將“長(zhǎng)方體”“正方體”說(shuō)成“長(zhǎng)方形”“正方形”，糾正多次還是改不了，這僅是口誤嗎？深入思考，不難發(fā)現(xiàn)這是學(xué)生受到之前所學(xué)的平面圖形的影響，對(duì)于初步接觸的立體圖形又沒(méi)有真正建構(gòu)起清晰的表象而產(chǎn)生的“口誤”。

【對(duì)策一】 在“豐富感知”中，喚醒空間意識(shí)

小學(xué)生的思維以形象為主，逐步向抽象過(guò)渡。表象是由感知到概念間的“階梯”，具有直覺(jué)性和概括性。筆者認(rèn)為教師應(yīng)以直觀形象的教學(xué)手段為基點(diǎn)，在點(diǎn)、線、面、體間的溝通聯(lián)系中，在形態(tài)萬(wàn)千的現(xiàn)實(shí)世界里，通過(guò)多種途徑豐富學(xué)生的感知，幫助學(xué)生建立清晰、深刻的“體”的表象，喚醒、激活學(xué)生的空間意識(shí)，從而成功實(shí)現(xiàn)由一維空間到二維空間再到三維空間的飛躍，助其順利過(guò)渡。

（一）關(guān)注“體”的飛躍

立體圖形的學(xué)習(xí)側(cè)重于幫助學(xué)生建立三維空間觀念，而空間觀念的形成需要經(jīng)歷一個(gè)不斷補(bǔ)充、延伸、完善的學(xué)習(xí)過(guò)程。教師不僅要注重學(xué)生對(duì)立體圖形的觀察研究，還要關(guān)注從面到體的過(guò)渡，體會(huì)面與體的差異，理清它的縱向發(fā)展脈絡(luò)。如教學(xué)“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”課始，筆者利用多媒體設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)動(dòng)情境導(dǎo)入新課。屏幕上先出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)，有很多的點(diǎn)從左往右整齊而緊密地排列，運(yùn)動(dòng)的軌跡形成了線段；很多條相同的線段從下往上整齊而緊密地排列，運(yùn)動(dòng)的軌跡形成了長(zhǎng)方形；很多個(gè)相同的長(zhǎng)方形從前往后整齊而緊密地排列，運(yùn)動(dòng)的軌跡形成長(zhǎng)方體，從而引出“長(zhǎng)方體”。

伴隨著“點(diǎn)→線→面→體”的形成，讓學(xué)生不斷展開(kāi)想象，并在現(xiàn)實(shí)中得到驗(yàn)證，形象地感受到點(diǎn)、線、面、體的聯(lián)系與區(qū)別，巧妙地實(shí)現(xiàn)“長(zhǎng)方形”向“長(zhǎng)方體”的過(guò)渡，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從一維空間、二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化。一個(gè)富有匠心的細(xì)小環(huán)節(jié)，讓學(xué)生印象深刻，“體”與“形”雖是一字之差，卻是截然不同的兩種表象，就不會(huì)輕易地將“長(zhǎng)方體”說(shuō)成“長(zhǎng)方形”了。同樣，立體圖形很多都可以看成由平面圖形經(jīng)過(guò)疊加或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的，教師始終要重視這方面的聯(lián)系。

（二）重視“體”的建構(gòu)

“體積”首次亮相于本單元中，因此對(duì)這個(gè)新概念的建構(gòu)尤顯重要。在體積教學(xué)中，教師應(yīng)充分借助實(shí)物讓學(xué)生充分理解“空間”“空間大小”的實(shí)際意義，進(jìn)而理解體積。如讓學(xué)生觀察在一塊空地上放置的由一個(gè)個(gè)面圍成的紙箱，發(fā)現(xiàn)箱子占據(jù)了一定位置，它所占的位置就是空間。再在箱子的旁邊放一個(gè)大的長(zhǎng)方形紙片，讓學(xué)生走一走。使學(xué)生知道由于箱子占據(jù)空間，需繞道，而長(zhǎng)方形紙片不占據(jù)空間，無(wú)須繞道，讓他們從對(duì)比中獲得空間知覺(jué)。再選擇不同的物體放在空地上，觀察比較這些物體也會(huì)占據(jù)一定的空間，不同的物體占據(jù)的空間有大有小，從而建立體積概念。

同樣，體積的計(jì)算教學(xué)也需精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手、動(dòng)腦、表述等多種感官體驗(yàn)，有助于體積概念的進(jìn)一步深化。如在教學(xué)“長(zhǎng)方體的體積”時(shí)，首先讓學(xué)生在擺放物體中感悟體積，懂得“長(zhǎng)方體所含體積單位的數(shù)量，就是長(zhǎng)方體的體積”；再通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“有序數(shù)”理解“一行→一層→幾層”與長(zhǎng)、寬、高的內(nèi)在聯(lián)系，從而充分理解“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高或長(zhǎng)方體的體積=底面積×高”。

（三）充盈“體”的經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生的空間觀念來(lái)自豐富的生活原型，但學(xué)生對(duì)立體圖形的生活原型顯然了解不夠。如在表面積教學(xué)中，學(xué)生在解決占地面積、側(cè)面積等問(wèn)題時(shí)往往找不到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。細(xì)觀教材，它是通過(guò)研究長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖幫助學(xué)生理解的，但立體圖形與它的展開(kāi)圖表象又需要一定的轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要想象出每個(gè)面的長(zhǎng)、寬與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因而需要教師利用生活原型架設(shè)橋梁，助其學(xué)習(xí)，如可利用學(xué)生身處其中的熟悉場(chǎng)所教室，借助真實(shí)直觀的長(zhǎng)方體參照物，讓長(zhǎng)方體表象在頭腦中扎根，幫助學(xué)生清晰地建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。

又如在解決表面積問(wèn)題時(shí)，教師可以讓學(xué)生通過(guò)搜集發(fā)現(xiàn)、歸納整理、自編習(xí)題等形式去解決生活中哪些情況只需要求側(cè)面積的實(shí)例：落水管、通風(fēng)管、煙囪……哪些需要求4個(gè)面……也可以借助多媒體呈現(xiàn)生活情境，如讓學(xué)生觀察等積變形的實(shí)例：求不規(guī)則物體的體積過(guò)程、一堆圓錐形沙子鋪路…… 通過(guò)教師長(zhǎng)期有意識(shí)的引導(dǎo)，學(xué)生才能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察生活，發(fā)現(xiàn)與之相關(guān)的生活素材，積累經(jīng)驗(yàn)，豐富表象，有效地培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念。

【思考二】解決問(wèn)題一定需要?jiǎng)邮植僮鲉幔?/p>

教材第36頁(yè)題2（見(jiàn)下圖），至少50%的學(xué)生只是胡亂猜測(cè)，不能正確分析。通常教師會(huì)向?qū)W生傳授“秘訣”：“動(dòng)手折，一切迎刃而解。”粗看這個(gè)“秘訣”簡(jiǎn)單有效，學(xué)生動(dòng)手操作，符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；再細(xì)思，解決問(wèn)題一定需要?jiǎng)邮植僮鲉幔縿?dòng)手操作是培養(yǎng)空間觀念的最佳手段？解讀課標(biāo)和教材，筆者認(rèn)為動(dòng)手操作是必要的，它是學(xué)生發(fā)展空間觀念的一座橋梁，學(xué)生借助它可以建立初步的表象。但如果過(guò)多或一味地讓學(xué)生動(dòng)手操作，在某種意義上會(huì)折斷學(xué)生想象的翅膀，弱化學(xué)生的想象能力。

【對(duì)策二】 在“虛實(shí)相生”中，發(fā)展空間想象力

初步的空間觀念培養(yǎng)需要以動(dòng)手操作為基礎(chǔ)，但當(dāng)學(xué)生通過(guò)大量的觀察、操作，積累了一定的感性經(jīng)驗(yàn)后，教師就要學(xué)會(huì)逐步放手，引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮想象，開(kāi)展想著畫、想著折、想完整等空間思維活動(dòng)，并不斷輔助實(shí)踐檢驗(yàn)，增加其思維的準(zhǔn)確性，豐富“體”的表象。這樣學(xué)生在“虛實(shí)相生”“循環(huán)往復(fù)”的過(guò)程中，加深了對(duì)立體圖形的本質(zhì)理解，培養(yǎng)了抽象思維，發(fā)展了空間觀念，空間想象能力也在這樣的一次次想象中得到發(fā)展！

（一）想著畫，搭建立體框架

《六年級(jí)學(xué)生空間想象能力測(cè)試及問(wèn)卷調(diào)查的分析與對(duì)策》（游瓊英，《小學(xué)教學(xué)》2010.2 ）一文中指出：在空間想象能力測(cè)試中，有55%的學(xué)生不會(huì)畫立體圖，只有38%的學(xué)生能從文字聯(lián)想到平面圖形或立體圖形。說(shuō)明我們的教學(xué)更需要對(duì)這方面進(jìn)行關(guān)注。

小學(xué)階段對(duì)學(xué)生畫圖的要求不高，一些較簡(jiǎn)單的圖形，可以讓學(xué)生在觀察實(shí)物后，根據(jù)圖形的相關(guān)知識(shí)嘗試著畫，這是一個(gè)由實(shí)物到圖形的順向思維過(guò)程。如在畫長(zhǎng)方體三維圖時(shí)，可根據(jù)“從不同角度觀察一個(gè)長(zhǎng)方體，最多能同時(shí)看到3個(gè)面”去畫。三個(gè)面用實(shí)線表示，其余三個(gè)面由于看不見(jiàn)，用虛線表示，相對(duì)的面大小相等，畫出相對(duì)面。方法有二。

方法1：先畫正面，再畫兩個(gè)相鄰的不同的面（由于透視關(guān)系，畫出的是平行四邊形）；另外三個(gè)面注意兩兩相對(duì)且相等。

方法2：也可用畫棱的方法，先畫出一個(gè)頂點(diǎn)上的長(zhǎng)、寬、高，再畫出其余對(duì)應(yīng)的面。

（二）想完整，增添思維含量

教師還可以利用圖形的一些基本元素讓學(xué)生將前后知識(shí)融會(huì)貫通，想象加工、拼擺、組合， 讓虛擬圖形的完整框架或豐富的組合圖形表象在學(xué)生的頭腦中清晰顯示，增加思維含量。如在該單元教學(xué)時(shí)，筆者一直都非常關(guān)注這樣的訓(xùn)練，如根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高想象出它的三維圖（見(jiàn)下圖），根據(jù)想象的三維圖解決問(wèn)題：如后面的面積，左右兩個(gè)面的面積之和，棱長(zhǎng)之和，哪個(gè)面的面積是15平方厘米，猜測(cè)這個(gè)長(zhǎng)方體可能是什么盒子等。 讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)及積累的想象力進(jìn)行解決，在解決的過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。或者出示一個(gè)長(zhǎng)方體的左面和前面（見(jiàn)下圖），分別計(jì)算底面積和體積。

這種教學(xué)方式將前后知識(shí)融會(huì)貫通，通過(guò)想完整，脫離實(shí)物，自覺(jué)搭建虛擬的立體圖形模型，并借助這個(gè)立體圖形，解決實(shí)際問(wèn)題，這樣既培養(yǎng)了空間想象能力，又學(xué)以致用。

（三）想著折，突破教學(xué)難點(diǎn)

能進(jìn)行立體圖形與其展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化，不僅有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的特征，同時(shí)還是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，是建立空間觀念的要點(diǎn)之一。但平時(shí)學(xué)生建構(gòu)的往往是立體圖形表象，展開(kāi)圖及動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化對(duì)學(xué)生而言比較困難。因而教師應(yīng)讓學(xué)生充分借助已有的動(dòng)手操作經(jīng)驗(yàn)，想著折，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。學(xué)會(huì)想著折，就是引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中折疊操作，由于脫離了具體的操作，起初會(huì)有些困難，但只有在持續(xù)的想象活動(dòng)中，才能培養(yǎng)他們的空間想象力。

諸如上題，在學(xué)習(xí)了正方體的認(rèn)識(shí)，了解了它的展開(kāi)圖后，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“想象折、標(biāo)注”來(lái)完成。如讓學(xué)生先確定一個(gè)面作為下底面，寫上“下”，然后想象折疊的過(guò)程，每折疊一面就確定它是哪面，在此面標(biāo)上相應(yīng)的文字，最后若能不重復(fù)、不遺漏地在六個(gè)面上分別標(biāo)上“上”“下”“前”“后”“左”“右”（見(jiàn)下圖），那么這個(gè)展開(kāi)圖就能折成正方體，反之，則不能折成正方體。

教師還可以通過(guò)電腦操作驗(yàn)證學(xué)生的想象，不斷完善學(xué)生的想象。同時(shí)教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探尋展開(kāi)圖的分布規(guī)律，獲得解題方法與策略。

【思考三】錯(cuò)誤百出，僅僅是“看錯(cuò)了”嗎？

在本單元教學(xué)中，由于概念較多，作業(yè)錯(cuò)誤百出。究其原因，學(xué)生往往是一拍腦袋，恍然大悟地說(shuō)聲“看錯(cuò)了”。僅僅是看錯(cuò)嗎？細(xì)細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)知識(shí)回歸生活時(shí)，更具有現(xiàn)實(shí)性和綜合性，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決無(wú)疑對(duì)學(xué)生是一種挑戰(zhàn)。

【對(duì)策三】在“縱橫思辨”中，深化空間觀念

學(xué)生的空間觀念，需要以生活經(jīng)驗(yàn)積累為基點(diǎn)，用想象來(lái)豐盈，更需要回歸生活。因此，教師一定要注重習(xí)題的設(shè)計(jì)，以學(xué)生熟悉的具體情境為載體，恰當(dāng)改變題目，把握習(xí)題的寬度、深度、靈活度和對(duì)比度；同時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)又具有一定的邏輯性、抽象性、概括性和層次性，教師還需要將各種知識(shí)和思想方法連串成網(wǎng)，形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。讓學(xué)生在縱橫思辨中同中求異，異中存同，觸類旁通，尋找共性，深化學(xué)生的空間觀念，提高解決問(wèn)題的能力。而學(xué)生良好的空間觀念有助于發(fā)展他們的幾何直觀思想，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和運(yùn)用。

（一）橫向梳理，明晰概念

如“長(zhǎng)方體和正方體的整理與復(fù)習(xí)”中的練習(xí)設(shè)計(jì)。

這種練習(xí)題以一個(gè)開(kāi)放性的情境為載體，讓學(xué)生利用相關(guān)信息提出問(wèn)題，把看似不同的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。不僅幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理知識(shí)，同時(shí)通過(guò)分析比較，理清知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，提高概念的清晰度與區(qū)分度，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提升思維的廣度和靈活度。

（二）縱向深入，融會(huì)貫通

教材第48頁(yè)安排了這樣一道習(xí)題（見(jiàn)下圖）：

（問(wèn)題情境：體積小于容積，對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高也小，裝得下）教師在充分解讀教材的前提下，進(jìn)一步挖掘習(xí)題的思維含量，二度開(kāi)發(fā)教材，讓看似簡(jiǎn)單的習(xí)題發(fā)揮更大的價(jià)值。調(diào)整如右上表 。

此練習(xí)題同樣是利用一個(gè)情境，把相似的知識(shí)放在一起，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、概括的過(guò)程，打破思維定勢(shì)，學(xué)會(huì)從多角度思考問(wèn)題，并獲得一些解決問(wèn)題的策略。習(xí)題的教學(xué)價(jià)值在引領(lǐng)和重組下，獲得了豐富和拓展，提升了學(xué)生的空間觀念。

（三）凸顯思想，連串成網(wǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)不可分割的有機(jī)組成部分。立體圖形的教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，更要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，看到知識(shí)背后負(fù)載的方法、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想才能對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解更深刻，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到提升。其主要數(shù)學(xué)思想包含數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、有序、類比、分類等，當(dāng)然我們所強(qiáng)調(diào)的是“凸顯”，著重在“滲透”，是讓學(xué)生能夠在初步體驗(yàn)、感悟基礎(chǔ)上有所理解，用無(wú)痕的、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的方式讓學(xué)生認(rèn)識(shí)或理解某種具體的數(shù)學(xué)思想方法。

如從學(xué)生開(kāi)始接觸空間與圖形板塊，“比較”就以不同的形式出現(xiàn)，從線段的長(zhǎng)短到面積的大小再到體積的比較。列舉比較的數(shù)學(xué)思想方法，其實(shí)長(zhǎng)度、面積和體積在比較的思想方法上它們表現(xiàn)出共同的特征。“比較”有兩法，即觀察法和重疊法，而重疊法是較為精確的比法。一維空間的比較：點(diǎn)對(duì)齊，重疊一條邊；二維空間：重疊兩個(gè)方向的邊；三維：重疊三個(gè)方向的邊。如果教師在每個(gè)學(xué)段都能適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行回顧與發(fā)展，那么我們的學(xué)生不再是舉步維艱，他們更多是利用一些數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行舉一反三的學(xué)習(xí)，教學(xué)也就成功。又如，“在數(shù)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱、面的數(shù)量”時(shí)，滲透有序的思想方法；再如，“用排水法求不規(guī)則物體的體積”“把正方體鋼坯鍛造成鋼條”等，都是利用等積變形的數(shù)學(xué)思想，包括在后續(xù)學(xué)習(xí)將圓柱轉(zhuǎn)化成圓錐等問(wèn)題時(shí)都可利用這種思想方法。

學(xué)生的空間觀念是以豐富的空間經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，在活動(dòng)體驗(yàn)的過(guò)程中逐步建立、形成、強(qiáng)化和發(fā)展起來(lái)的，而非一朝一夕之事。只要教師堅(jiān)持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡不斷循環(huán)往復(fù)，空間觀念就會(huì)由無(wú)到有，由少增多，由模糊走向清晰，學(xué)生的想象力也會(huì)由弱到強(qiáng)，由低到高，由單一到復(fù)雜不斷提升。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省新昌縣七星小學(xué) 312500）