多位數乘法與多項式乘法之間的遷移聯系

牛延凱 李倩

【摘? 要】? 中學階段，數學學習的一個重要轉變是從數到式的抽象，并從數的運算過渡到式的運算.具體到乘法運算，整數乘法看作是整式乘法的算術形式，而整式乘法蘊含了整數乘法所遵循的代數原理.教學中可以通過運算結構的遷移、算理的遷移、算法的遷移三個角度把握整數乘法與整式乘法之間的遷移聯系，進而把整數乘法中的多元計算方法與技巧遷移到整式乘法中，提高多項式乘法運算效率，實現算術運算到代數運算的過渡.

【關鍵詞】? 多位數乘法；多項式乘法；學習遷移；知識聯系

從小學到中學，數學學習的一個重要任務是完成從數到式的抽象，并進一步由數的運算遷移到式的運算.從數的加減到整式加減、從整數乘法到整式乘法、從分數運算到分式運算，數和式的運算過程在一定程度上具有相似的本質屬性，數的運算可以看作式中字母取某些值的特定結果，而式的運算則超越了數的具體束縛，其過程更加形式化和抽象化，更能揭示運算的一般性規律.

多位數乘法是小學整數乘法中的難點，而多項式乘法是中學整式乘法中的難點，兩者在運算結構、算理、算法上存在密切聯系.布魯納認為，在沒有相互關聯的結構基礎上進行灌輸教學是“不經濟的”，所獲得的知識非常容易遺忘.因此建立整數乘法與整式乘法之間的遷移聯系，可在相互關聯的結構中幫助中學生充分利用多年來積累的乘法算術經驗，提升多項式乘法的學習效率，并進一步實現算術運算到代數運算的過渡.

1? 運算結構的遷移：多位數乘法中體現了多項式乘法的運算結構

1.1? 多位數乘法的常見算法

人教版教材以14×12為例，開始學習最基本的多位數乘法——兩位數乘兩位數.除了豎式乘法外，多個版本教材中也介紹了乘法計算的不同方式，這里呈現三種不同的算法計算14×12.

圖1??? 圖2????? 圖3豎式乘法? 十字相乘法? 格子乘法不進位形式

（1）豎式乘法.如圖1，學生最為熟悉的計算方式，分為三步，逐位相乘，先算14×2的積，再算14×10的積，最后相加.

（2）十字相乘法.如圖2，分為三步，兩個因數的個位數字相乘，得出積的個位數字；中間交叉相乘后，把結果相加得積的十位數字（2×1+1×4=6）；兩個因數的十位數字相乘，得積的百位數字.這個過程中由逐位相乘轉為對位相乘，也叫十字相乘法［1］.

（3）格子乘法（鋪地錦）.我國明朝的《算法統宗》講述了一種“鋪地錦”的乘法計算方法，是利用格子來算的［2］.格子乘法中，需把每個小方格一分為二，便于記錄每次相乘后的進位數字.由于14×12是不進位乘法，可簡化小方格的分割過程，寫成一種運算表形式，如圖3，14沿縱軸排列，12沿橫軸排列，每個方格內記錄各位數對應相乘的積，從右下角開始作個位數，沿傾斜方向把每條對角線的數相加，分別得出積的十位數字和百位數字.

1.2? 三種算法的共通性——體現了多項式乘法的運算結構

雖然三種算法規則差異較多，但基本結構是相似的.可以發現，14×12的計算過程都分解為4個基本算式：①2個一×4個一=8個一；②2個一×1個十=2個十；③1個十×4個一=4個十；④1個十×1個十=1個百.

①式2×4，個位數字×個位數字，結果是若干個一，因此8寫在積的個位區；②式2×1和③式1×4，都屬于個位數字與十位數字相乘，結果是若干個十，2個十+4個十=6個十，因此6寫在積的十位區；④式1×1，十位數字×十位數字，結果是若干個百，因此1寫在積的百位區.

以上算式中的數字賦上計數單位，得14×12=2×4+2×10+10×4+10×10，即（10+4）×（10+2）=2×4+2×10+10×4+10×10，轉換為字母表示為（a+b）×（c+d）=

d×b+d×a+c×b+c×a.

可以發現，多位數乘法中滲透了多項式乘法法則，多位數乘法遵循多項式乘法的運算結構，從多位數乘法到多項式乘法，是一種從數到式、從特殊到一般的遷移.

2? 算理的遷移：多位數乘法與多項式乘法的算理一致性

2.1? 算理的一致性：借助乘法分配律化繁為簡

魯賓斯坦指出，通過概括把握兩種學習間的一般原理和本質規律，能產生更廣泛的遷移，他認為必須找到一般原理、整理出知識結構、概括出一類事物的本質規律，才能對課題類化，進而解決問題［3］.遷移的關鍵在于概括兩個對應模塊之間的共同原理和思想方法，而縱觀多位數乘法和多項式乘法的學習過程，轉化思想和乘法分配律的應用貫穿始終，即借助乘法分配律不斷的把乘法運算化繁為簡.

（1）整數乘法中，多位數乘一位數時，如圖4，其豎式算理用橫式形式展開為：12×3=3×2+3×10，即借助乘法分配律把多位數乘一位數轉化為一位數乘一位數（3×10本質上借助乘法口訣3×1計算）.后續在多位數乘多位數時，如圖1，先是借助乘法分配律先轉化為多位數乘一位數，14×12=14×2+14×10，最后再次借助乘法分配律轉化為4個一位數乘一位數的基本算式.

圖4? 人教版兩位數乘一位數例題

（2）同理，整式乘法中，多項式乘單項式時可借助乘法分配率轉化為單項式乘單項式，如（a+b）×c=a×c+b×c；后續，多項式乘多項式時仍是借助乘法分配率先轉化為多項式乘單項式，再轉化為單項式乘單項式，如：

（a+b）×（c+d）=（a+b）×c+（a+b）×d=a×c+b×c+a×d+b×d.

因此，無論是多位數乘法還是多項式乘法其算理核心都是在轉化，不斷的把復雜運算轉化為基本運算：把多位數乘法最終轉化為一位數乘一位數，把多項式乘法最終轉化為單項式乘單項式，而乘法分配律是支撐這一轉化過程的核心定律.

2.2? 一致性的背后

從多位數乘法到多項式乘法體現了從特殊到一般的遷移規律，可進一步解釋其深層原因.由于整數乘法采用十進制計數法，因此14×12=168可用10的乘方形式展開：（1×10+4）×（1×10+2）=（1×102+6×10+8）.用字母代替進制10，可抽象為一般情況，（x+4）×（x+2）=（x2+6x+8）.因此，從運算進制角度看，多位數乘法可以看作多項式乘法在算術進制為十時的特殊形式，兩者在計算結構、算理上可以形成從特殊到一般的遷移聯系.

3? 算法的遷移：多位數乘法的運算方式與技巧應用于多項式乘法

在運算結構遷移和算理遷移的基礎上，算法層面，整數乘法中的豎式乘法、十字相乘法、格子乘法等諸多計算方式和計算技巧也可遷移用于多項式乘法，豐富多項式乘法的學習路徑，提升運算效率.

3.1? 豎式乘法應用于多項式乘法

教材中多項式乘法主要是橫式形式，如（x+4）×（x+2）=x2+2x+4x+2×4，而整數乘法常用的豎式計算方式在適當處理后可遷移到多項式乘法中.

（1）不發生進位時，多位數乘法與多項式乘法的豎式結構類比.

以（x+4）×（x+2）為例，可以運用豎式形式計算，其算法結構與14×12的豎式過程可以對應聯系：

圖5

（2）有進位時，多位數乘法與多項式乘法的豎式結構類比.

以（3x2+x+2）×（x2+3x+4）為例，也可以用豎式形式運算，其算法結構與312×134發生進位前的豎式過程可以對應聯系：

圖6

結合以上過程，可發現多項式乘法與多位數乘法在豎式結構中的對應關系：個位區對應常數項，十位區對應一次項系數，百位區對應二次項系數，以此類推，可以把多項式乘法轉化為進位前的多位數乘法形式.由于多項式中非同類項系數之間不能合并，與其對應的整數乘法各數位區之間不發生進位即可.

3.2? 格子乘法（不進位形式）應用于多項式乘法

（1）格子乘法（不進位形式）用于計算多項式乘法.

多項式乘法非同類項系數之間不產生進位，因此格子乘法計算多項式乘法時，只需借助其不進位形式.如（x2+x+2）×（2x2+3x+2）：

圖7

根據多項式乘法和多位數乘法的對應關系，萬位線對應4次項系數，千位線對應3次項系數，百位線對應2次項系數，十位線對應1次項系數，個位線對應常數項，得（x2+x+2）×（2x2+3x+2）的結果為2x4+5x3+9x2+8x+4.

（2）格子乘法用于直觀理解多項式乘法的計算公式.

相比較橫式、豎式等乘法形式，格子乘法中的矩陣形式更具有直觀性，有助于各種乘法公式的直觀理解和快速記憶.如下：

圖8? 用格子乘法直觀理解各種乘法公式

這里的格子乘法（運算表）雖然在形式上類似于面積圖法，但其本質上是一種矩陣形式，其優勢在于數的大小和正負性不需要和線段長短建立對應關系，應用時局限性更小.

3.3? 十字相乘法應用于多項式乘法

（1）十字相乘法用于計算二項式乘法.

整數中的十字相乘法可以遷移到中學，用于快速計算二項式乘法.如（x+4）×（x+2）可以類比14×12的計算過程，用十字相乘法展開：

圖9

（2）十字相乘法用于理解多項式乘法的逆運算——因式分解.

理解的程度信賴于新知識與認知結構之間聯系的多與少、強與弱［4］，而由于學生原有的乘法經驗中缺少十字相乘法，所以在學習十字相乘法分解因式時，學生往往知其然，不知其所以然.

圖10ax2+bx+c中，如果二次項系數a=a1×a2，常數項c=c1×c2，而a1c2+a2c1恰等于一次項系數b，則有ax2+bx+c=（a1x+c1）×（a2x+c2），這種因式分解的方法稱為十字相乘法，如圖10.

其中，左側相乘等于二次項系數，右側相乘等于常數項，中間交叉相乘再相加可得一次項系數.追根溯源后，學生會發現這個過程和之前整數（整式）乘法中的十字相乘計算方式是一種互逆關系，進而在其基礎上理解十字相乘法因式分解的原理以及產生源頭：既然十字相乘法可以用于整數乘法、整式乘法，也當然能用于整式乘法的逆運算——因式分解.

3.4? 綜合運用豎式乘法、格子乘法、十字相乘計算多項式乘法

以（5a+2b）×（3a+b）為例，除了基本的橫式計算，可遷移運用整數乘法中豎式乘法、格子乘法、十字相乘法等，實現算法多樣性和運算高效性，如下：

圖11

顯然，以上多種計算方式都可得出（5a+2b）×（3a+b）=15a2+11ab+2b2.

算術教學中可由過程性觀點向結構性觀點做必要轉變，代數即概括［4］.整體把握數到式的遷移學習過程，可以從算術運算中概括其代數結構和本質算理.從這個角度，多位數乘法看作是多項式乘法的算術形式，而多項式乘法蘊含了多位數乘法背后所遵循的代數原理，建立兩者之間的關聯結構，有助于實現算術思維和代數思維的過渡，而學生長期積累的算術經驗和方法技巧也可以有效遷移到代數學習中，進而降低代數運算難度.

參考文獻

［1］王麗娜.兩位數相乘的簡捷算法［J］.珠算與珠心算，2017（04）：22-24.

［2］劉令，徐文彬.我國小學數學教科書中數學史料的分析與批判［J］.全球教育展望，2008（07）：87-91.

［3］楊俊林.例談靈活解決數學問題的心理機制及教學對策［J］.中國數學教育，2012（20）：10-12，14.

［4］鄭毓信.算術與代數的區別與聯系［J］.小學教學研究，2011（19）：11-14.

作者簡介? 牛延凱（1987—），男，山東淄博人，中學一級教師，淄博市教學能手;多次主持和參與省市級課題;主要研究中小學數學的核心知識與結構化教學，發表論文10余篇.

李倩（1985—），女，山東淄博人，中學一級教師，淄博高新區教學能手、教學工作先進個人;多次參與省市級課題研究;主要研究數學教學與評價.