揭“費馬點”面紗 探模型間聯系

劉煥 邢成云

【摘? 要】? 幾何最值問題種類多、變換形式多樣，是近幾年全國中考比較熱的模型考點.中考題目涉及的線段最值模型中，含有“將軍飲馬、阿氏圓、胡不歸、費馬點”等不同類型.通過“費馬點”模型的由來追溯與其基本模型、重要結論的呈現與證明，探尋不同題目中不同模型之間的內在聯系.

【關鍵詞】? 費馬點；旋轉變換；最小值；數學模型

1? “費馬點”模型的由來

1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利（Evangelista Torricelli）的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點的位置.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為△ABC的費馬—托里拆利點（Fermat-Torricelli point），也簡稱為費馬點（Fermat point）或托里拆利點（Torricelli point）.

2? “費馬點”基本模型

以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形（如圖1），然后把外面的三個頂點與原三角形的相對頂點分別相連，交于點P，則點P是△ABC的費馬點（方便起見如簡圖2）.

圖1

圖2

2.1? 定義：費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點［1］.

2.2? 費馬點結論

（1）當三角形的最大內角小于120°時，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；

（2）當三角形的最大內角大于等于120°時，費馬點與最大角頂點重合［1］.

2.3? 費馬點的證明

證明一? 將圖2中的△APC繞點C順時針旋轉60°得到△CP′E，如圖3，則AP=EP′，△CPP′為等邊三角形，則CP=PP′，PA+PB+PC=P′E+PB+PP′最小，即B，P，P′，E共線.

當B，P，P′，E共線時，可以看出∠APB，∠BPC，∠CPA都等于120°（如圖4）.

圖3????????? 圖4

圖5

證明二? 用幾何畫板作出等邊三角形ABD與等邊三角形ACE的外接圓⊙O1與⊙O2（如圖5），不難發現點P同時在⊙O1與⊙O2上，所以∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.

3? 費馬點與其他模型間的聯系

3.1? 費馬點與“手拉手”模型

問題要從人教版八年級上冊課本第83頁的習題第12題說起：

圖6

如圖6，△ABD，△ACE都是等邊三角形.求證：BE=DC.

若把圖6中CD，BE的交點記作P，如圖7，連接AP，即有一組手拉手全等模型△ADC≌△ABE.可得結論：

（1）∠BPD=60°；

（2）AP平分∠DPE；

（3）點P是△ABC的費馬點.

圖7

圖8

圖9

需要說明的是這個圖成立有一個必要條件：∠BAC<120°，若∠BAC≥120°，這個圖就不是圖7了，就會成為圖8、圖9的樣子，此時∠BAC=120°時，點P與點A重合，∠BAC＞120°時，點P到A，B，C距離之和大于點A到A，B，C距離之和.綜合來看，這時點A是△ABC的費馬點.

圖10

利用“手拉手”模型，證明一下為什么∠BAC<120°時，點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的和最小.

如圖10，在線段PE上截取PP′=PA，根據∠APB=120°，得出△APP′是等邊三角形，可證△APC≌△AP′E，所以PA+PB+PC=BP+PP′+P′E=BE.

圖11

沒有對比就沒有差別，我們換個P點位置，∠APB≠120°，如圖11，同樣可以構造等邊△APP′，同樣有△APC≌△AP′E，轉化PA=PP′，PC=P′E，PA+PB+PC=BP+PP′+P′E＞BE.

所以，P點滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時，PA+PB+PC的和最小.

這樣我們在做費馬點的題目時，除了用好旋轉變換外，還可以構造等邊三角形，例如：

圖12如圖12，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，點P是△ABC內一點，則PA+PB+PC的最小值為??? ．

這道題是2021年濱州數學中考第18題，可以從旋轉和構造等邊三角形兩種方法來進行求解.

方法一? 將△APB繞點A順時針旋轉60°得到△ADE，如圖13，連接PD，CE，當點C，P，D，E共線時，PA+PB+PC=CE時值最小.

圖13

圖14

方法二? 以AB為邊作等邊△ABE，連接CE，如圖14，根據上面的“手拉手”模型我們可以知道，當PA+PB+PC=CE時值最小.這道題也可以以BC為邊作等邊三角形，因為∠BAC=30°，所以以AB為邊作等邊三角形便于計算.

費馬點問題的解題思路是構造60°的旋轉，如果了解費馬點，可直接進行處理，如方法二，這時P點的位置就不重要了.但這個方法二也有取巧之嫌，可快捷解決選擇題和填空題.

除了濱州中考題，近兩年在其他地市中考題中也有涉獵，如2022年四川宜賓市第12題，2021年遼寧丹東市第16題，2020年重慶市A卷第26題，2023年湖北隨州市第23題等.尤其是2023年湖北隨州第23的第（3）問，以閱讀理解的形式考查了學生即學即用的數學素養，它不但考查了費馬點的數學意義，還體現了費馬點在實際問題中的應用，是一道價值不菲的好題目，限于篇幅，僅展示一下第三小問.

圖15

如圖15，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°.現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為??? 元．（結果用含a的式子表示）

3.2? 費馬點與“胡不歸”模型

“胡不歸”問題常以動點問題為背景，典型的利用等效法，與三角函數、相似等知識結合來解決.以下即為用“胡不歸”模型解決費馬點問題的例子.

如圖16，在△ABC中，AC=2，BC=2，∠BCA=15°，在△ABC的內部有一點P，連接PA，PB，PC，則PA+PB+3PC的最小值為??? .? 圖16

PA+PB+3PC不符合“胡不歸”問題的kAP+BP（0

圖17

像上題所求最值中三條線段的系數有不為1的情況，被稱之為“加權費馬點”問題［2］，

圖18

解決方法還可以通過旋轉進行線段轉化，只不過要根據系數的情況選擇不同的旋轉或放縮方法（在此不再展示）.

另，如圖18，在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為△ABC內部一點，求AP+BP+2PC的最小值.

說明? 這個題出現了2PC，可以以PC為斜邊，構建等腰直角三角形（如圖19），也可以以PC為直角邊，構建等腰直角三角形（如圖20），進而把問題化解.

圖19

圖20

3.3? 費馬點與“將軍飲馬”模型

“費馬點”問題與“將軍飲馬”問題有著異曲同工之妙，都是求線段和的最小值，只是“將軍飲馬”是通過軸對稱變換結合“兩點之間，線段最短”及“垂線段最短”等數學基本事實來解決；而“費馬點”模型其精髓所在則是通過旋轉來改變線段的位置，優化圖形的結構（要么集中分散條件、要么化隱為顯、要么化不規則為規則），再結合“兩點之間，線段最短”及“垂線段最短”等數學基本事實來解決［3］.其實，軸對稱變換與旋轉變換是內在相通的，限于篇幅，不再贅述.

4? 幾點思考

4.1? 用好幾何模型，提升數學能力，發展核心素養

初中幾何被歸納出來的幾大模型，其實原型都在教材當中［4］.如前文提到的人教版八年級上冊課本第83頁的12題，本身潛藏著好幾個重要模型，外顯的“手拉手”旋轉模型，內蘊的角平分線模型和“費馬點”模型，以此題為基，不斷改編和拓展，可衍生出諸多中考題，成為命題專家命題的重要題根.模型思想屬于一類可靠且被驗證為有效的數學思想，教師在開展教學活動的過程中，利用各種各樣的幾何模型能有效縮短認知的長度，降低學生理解的難度.圍繞這些模型的學習，可以不斷培養和發掘學生的空間感知力、想象力，讓學生能快速建立空間思維，有效提高學生對于幾何知識的理解和把握，擴展幾何眼光，不僅能使學生提質增智，還能更好地發展學生的核心素養.

4.2? 幾何模型教學，破除循規蹈矩，依循自然合理

作為教師由于先得先知，具有豐富的解題經驗，容易將幾何模型高度提純而一步到位，存在不自覺的慣性思維，而缺少對學生解決問題必要的過程指導，導致學生短時間內難于理解接受.如前文提到的人教版八年級上冊課本第83頁的12題，在學生剛開始學習時，切忌直接告知學生這是“手拉手模型”以及隱含的費馬點模型，而是需要學生在后續的練習、作業以及測試中反復感知這類模型，通過類比、分析，歸納等一系列數學思維活動過程再引出來，會讓學生認識更深刻，更容易理解接受，從而內化為學生的認知.如果一開始就直接告知、講解這些模型，如同天降結論，會使學生對橫空出世的模型結構認識不足，理解自然淺薄，在應用時往往就只能照貓畫虎、生搬硬套.一旦外顯條件不具備，或者問題進行了喬裝打扮，就難以遷移而不得思路.因為學生在沒有對模型結構通透之前，獲得的是惰性知識，沒有活力，只能硬套模型，慣性而為.從而導致學生反復的學模型，老師反復的教模型.所以說，在教學時要把握好度，要破除循規蹈矩、亦步亦趨，一味地套用模型練習，而是要教好“專家思維”，引導學生學會思考如何將模型鞏固好、遷移好.

4.3? 立足教材基地，加強培根固原，探尋模型關聯

當下有一個不好的傾向，重教輔，輕教材，把教輔上盛行的模型奉為圭臬，其實教材上的每一個概念、定理（公理）、性質，包括教材上的典型例題均是一個模型.“費馬點”給人高大上的感覺，前文的分析我們已經清楚，其模型就在教材中，而不是從天而降的飄來物.所以說，我們不能死守模型，唯模型是舉，若不能融會貫通之，就會落入模型的窠臼而固化自己的思維.基于此，作為教師要深耕教材，把最基本的、最重要的基本圖形幫助學生加固好，并善于挖掘教材本體中內隱的思想方法，使之成為處理問題的利器，通過數學的思想觀念去統領所謂的什么模型.另外，幾何模型間不是相互獨立的，模型的教學也并不僅僅是教會學生解決單一的問題，旨在培養學生抽取模型的能力和應用模型的能力［4］.通過探尋各類模型之間的關聯，把模型進一步結構化，成為更上位的統帥，如此，才能真正地落實好減負增效，若在中考復習階段糾纏于這些模型，往往適得其反，加重了學生的負擔不說，還會阻礙學生關鍵能力的提升.

參考文獻

［1］郭金花.費馬點問題與構造旋轉拉直法［J］.中小學數學（初中），2021（06）：32-33.

［2］劉霞.與“費馬點”相關問題的處理策略［J］.初中數學教與學，2019（10）：28-31.

［3］楊世奇.初中幾何最值問題的數學史模型［J］.初中數學教與學，2021（10）：32-34.

［4］章蓓蓓，朱雅莉.用好幾何模型，提升數學能力［J］.林區教學，2023（01）：71-75.

作者簡介

劉煥（1986—），女，山東濱州人，中學二級教師，多次執教市觀摩課，曾獲山東省教學成果一等獎；主要從事課堂教學及中考研究.

邢成云（1968—），男，山東濱州人，中學正高級教師（二級）；教育部名師領航工程邢成云名師工作室主持人，國家“萬人計劃”教學名師，山東省突貢專家，山東省特級教師，齊魯名師；主要研究初中數學課堂教學及中考研究，發表論文200多篇，其中20篇被中國人大書報資料復印中心全文轉載.