基于物理信息神經網絡的波動方程優化求解方法

吳丹瀾 梁展弘 余懿 蔡博 鄭邦宏 王梓超 張紫玲

關鍵詞：物理神經網絡；機器學習；波動方程；救援；物理學

0引言

在當今社會，由于全球氣候變化、生態環境破壞以及地殼運動活躍等因素的影響，自然災害[1]的發生呈現出頻次增加、強度加劇的趨勢，包括地震[2]、洪水、臺風、滑坡、森林火災等多種災害形式。這些災害不僅對人民生命財產安全構成嚴重威脅，而且對社會穩定和經濟發展也帶來了巨大挑戰。因此，在災后救援工作中，如何快速、精準地定位被困人員，提升傷員搜救效率，最大限度地減少因災害造成的人員傷亡和經濟損失，成為一個緊迫且重要的課題。

為實現這一目標，國家救援隊伍積極采用先進的科學技術手段，其中聲波類探測儀器在救援現場的應用發揮了關鍵作用。這類儀器通常利用超聲波、地震波等物理原理，通過發送聲波并接收其反射信號來判斷廢墟下是否存在生存空間及生命跡象。它們能夠在復雜的環境下穿透障礙物，幫助救援人員確定被困者位置，極大地提高了搜救工作的成功率。

為進一步提升此類探測設備的效能，科研人員正著重于優化波動方程求解算法的研究與應用。波動方程是描述聲波或地震波傳播的基本數學模型，其精確求解有助于更準確地模擬現實情況中的聲波傳播路徑和衰減特性，從而提高探測結果的精度。通過深度開發和應用高精度的波動方程[3]數值計算方法，可以顯著增強聲波類探測儀器的功能性能，使得在面對各類自然災害時，救援行動能夠更加迅速、高效，真正體現“時間就是生命”的救災原則。

1我國目前的救援能力現狀

隨著全球氣候變化和人類活動的不斷增加，自然災害的發生頻率和規模也在不斷擴大，而我國也面臨著越來越嚴峻的救援挑戰。

一般來說，在事故發生后，救援隊伍會立刻投入救援當中，但因被困人員一般被埋在數米厚的泥土下，導致搜救工作面臨著巨大困難。而此時生命探測儀器則成為不可或缺的救援工具，像遇到滑坡、地震等災害時，救援人員通常難以憑肉眼判斷被困人員的具體位置，但活著的人都有生命特征，身體會有溫度、呼吸、心跳，會產生二氧化碳氣體，而這些就是生命探測儀器判斷幸存者位置的依據。

針對不同體征，生命探測儀[4]可分為聲波探測儀、雷達探測儀、紅外探測儀、光學探測儀等不同種類。但這些裝備也有其局限性，如聲波探測儀無法區分人和其他動物，且會受到噪聲等干擾。

在聲波探測儀[5]中，捕獲聲波的震動通過波動方程去解析出是否為幸存者心跳、呼吸、移動等發出的微弱聲音，波動方程解的精確程度即可影響到儀器的精準程度，改進波動方程可以從軟層面提高儀器的精確度。除此之外，改進波動方程也可以增加儀器對干擾聲波的抗干擾能力。生命探測儀的普及應用不斷擴大，顯著提升了搜救工作的速度、準確性以及安全性。與此同時，中國積極推動國家救援體系[6]的完善，加強了緊急救援裝備的建設。

1.1聲波檢測儀

在災害救援中，聲波檢測儀器以其無損、快速、準確的探測能力，為救援人員提供了重要的生命跡象信息和災害現場的詳細情況。

首先，聲波檢測儀器通過發出聲波并接收反射回來的聲波，能夠探測到被掩埋或困在廢墟下的人員。

這種儀器能夠穿透混凝土、土壤、水等介質，為救援人員提供被困人員的準確位置信息，從而加快救援速度，減少救援人員的盲目挖掘和搜尋時間。

其次，聲波檢測儀器還廣泛應用于災害現場的結構安全監測。在地震、泥石流等災害發生后，建筑物和橋梁等結構可能存在安全隱患。聲波檢測儀器通過檢測結構內部的損傷和裂縫，能夠評估結構的穩定性和安全性，為救援人員提供重要的決策依據。

而波動方程作為描述聲波傳播的基礎理論，對于理解和優化聲波檢測儀的性能至關重要。通過深入研究波動方程及其在聲波傳播中的應用，可以不斷優化聲波檢測儀的性能，為災害救援工作提供更準確、可靠的技術支持。

2波動方程

2.1波動方程概念

波動方程或稱波方程（WaveEquation）是一種描述自然界中各種波動現象的二階線性偏微分方程，主要描述自然界中的各種波動現象[8]，例如機械波，包括聲波、光波、引力波、無線電波、水波、和地震波[9]等。波動方程抽象自聲學、波動光學[10]、電磁學、電動力學、流體力學、廣義相對論[11]等領域。波動方程的一般形式為：

式（1）中，u是關于位置x和時間t的標量函數，表示波的位移或振幅；v是波的傳播速度，是一個常數。

波動方程的物理意義是：任意一點的加速度（即時間的二階導數）與該點周圍的曲率（即位置的二階導數）成正比，比例系數為波速的平方。這反映了波的傳播規律，即波是由局部的振動通過相鄰的點的相互作用而向外擴散的。

2.2一般求解波動方程相關方法

波動方程的求解方法有多種，如分離變量法[12]、特征線法[13]、傅里葉變換法[14]等，它們分別適用于不同的方程形式、初始條件和邊值條件。

1）分離變量法（SeparationofVariablesMethod）。

分離變量法是一種將偏微分方程化為常微分方程的方法。它的基本思想是將波動方程的解表示為兩個或多個變量的函數的乘積，例如y（x，t）=X（x）T（t），然后將這個形式代入波動方程。通過分離變量，得到兩個或多個常微分方程，分別求解這些常微分方程，再根據初始條件和邊界條件確定常數，最后將各個分量的解疊加得到波動方程的解。這種方法僅適用于齊次邊界條件的情況，例如熱傳導方程、波動方程。

分離變量法的求解缺點是適用范圍有限，普適性不強。它不能適用于非齊次邊界條件的情況，也難以處理非線性或非均勻的波動方程。

2）特征線法（CharacteristicLineMethod）。特征線法是一種利用波動方程的特征方程來求解的方法。它的基本思想是找出一族曲線，在這族曲線上，波動方程退化為常微分方程。然后在這些曲線上求解波動方程，再將這些曲線上的解拼接起來得到整個區域上的解。這種方法適用于一階偏微分方程或可以化為一階偏微分方程的情況，例如波動方程的標準形式uξη=0，其中ξ=x+at，η=x-at。特征線法在非線性以及非均勻的波動方程求解中也存在一些問題，特征線可能會相交或斷裂，導致解的不連續或不唯一。此外，特征線法要求初始條件不是沿著特征線給定，否則會導致解的不確定或不存在。對于多維的波動方程，特征線法可能會涉及復雜的邊界條件，難以處理。

3）傅里葉變換法（FourierTransformMethod）。傅里葉變換法是一種將偏微分方程轉化為代數方程的方法。它的基本思想是將波動方程的解表示為傅里葉級數或傅里葉變換的形式，例如y（x，t）=∫Y（k，t）eikxdk，然后將這個形式代入波動方程。通過傅里葉變換，得到一個關于Y（k，t）的代數方程，求解這個代數方程，再通過傅里葉逆變換得到波動方程的解。

這種方法適用于非齊次邊界條件或無窮區域的情況。其缺點是需要對波動方程的解進行傅里葉變換和傅里葉逆變換，這可能會引入誤差或失真。對于非線性或非均勻的波動方程，傅里葉變換法可能不適用或難以實現。

3基于PINN的波動方程求解方法

3.1PINN基本原理及求解方法

波動方程是現代科學[15]和工程建設[16]領域中涉及較廣的自然物理問題。根據在科學研究和工程建設中的各類初始條件和邊界條件，可以將其抽象成以物理信息為特征的偏微分方程[17]，并可以通過各類測量檢測手段獲取偏微分方程中相應的物理數據[18]。這些物理數據信息可以用來訓練神經網絡[19]，從而求解或發現偏微分方程的解或參數。

PINN的核心思想是將偏微分方程的形式和參數作為神經網絡的一部分，然后通過數據驅動的方式來訓練神經網絡，使其能夠逼近偏微分方程的解，或者發現偏微分方程的參數。PINN可以用來處理一些傳統數值方法難以解決的復雜的非線性偏微分方程，或者一些缺乏足夠觀測數據的反問題。PINN也可以用來探索一些未知的物理規律[20]或現象，從數據中學習出微分方程的形式或系數。該研究基于PINN的求解物理學問題方法流程圖如圖1所示。

偏微分方程的物理信息可以用來指導神經網絡的學習。物理信息的一般表現形式是偏微分方程特征的初始條件和邊值條件，以及偏微分方程的某些特殊形式。將偏微分方程的物理信息分為規律信息和數值信息，并提出通過調節不同的訓練采樣平衡度和訓練強度平衡度，以建立具有偏微分方程解的神經網絡，最終逼近偏微分方程的所有數值解。

1）PINN深度神經網絡架構（DeepNeuralNet?work，DNN）。多層次的神經網絡，也稱為深度神經網絡（DNN），是深度學習的基礎，本質上是一種特征學習方法，在自然語言[21]和語音[22]、圖像識別[23]、圖像和視頻數據處理[24]、科學計算等領域效果明顯。

神經網絡的訓練一般使用DNN。DNN通常由多個神經網絡層組成，包括輸入層、多個隱藏層和輸出層。每一層都包含多個神經元，這些神經元通過權重連接形成網絡。

在PINN中常用的神經網絡是DNN，主要是因為DNN具有靈活性，具有強大的表示學習能力，可以靈活地學習和逼近復雜的非線性映射關系[25]。這使得它們適用于各種不同類型的問題，包括涉及物理方程的問題。DNN能夠自動學習數據的特征和模式，而PINN的目標之一就是從數據中學習物理方程。深度神經網絡的層次結構使得它們能夠逐步提取和組合數據中的抽象特征，有助于更好地捕捉物理規律。在求解一維波動方程的時候證明了DNN的這兩個特點，對物理定律的結合也很好，使模型更好地適應真實世界的復雜物理過程。

該研究認為波動方程的求解過程如圖2所示。架構圖的左側是一個DNN，它由2個輸入節點、4個隱藏層和1個輸出節點組成。輸入節點分別表示波動方程的自變量X和T，分別代表空間和時間。輸出節點表示波動方程的因變量u，代表波動的幅度。隱藏層是由40個節點構成的全連接層，每層都使用了RectifiedLinearUnit（ReLU）作為激活函數。ReLU是一種常用的非線性激活函數，使用ReLU的好處是其不存在梯度消失問題，可以提升神經網絡的收斂速度，減少參數的相互依賴，緩解過擬合問題。

架構圖的右側是3種不同的損失函數，它們分別表示波動方程的物理約束[26]。PartialDifferentialEquationLoss（PEDLoss）表示偏微分方程的損失，它衡量了DNN輸出的U是否滿足波動方程的形式。BoundaryConditionsLoss（BCLoss）表示邊界條件的損失，它衡量了DNN輸出的U是否滿足波動方程的邊界條件。InitialConditionLoss（ICLoss）表示初始條件的損失，它衡量了DNN輸出的U是否滿足波動方程的初始條件。這三種損失函數都是基于平方誤差的，它們的和構成了總的損失函數，用于優化DNN的參數。最后通過數據驅動方式訓練神經網絡，實現損失函數輸出值的最小化。

2）波動方程代入PINN。在PINN中，物理方程通常被嵌入神經網絡的訓練過程中，以提高模型對物理系統行為的理解。根據以上論述，將波動方程代入PINN進行求解的步驟主要體現如下。

將式（1）波動方程的方程形式、規律信息和數值信息，構建一個神經網絡，將該神經網絡的空間坐標定義為x和時間t為輸入，將輸出波函數的估計值u?（x，t）作為神經網絡的輸出，然后將波動方程作為損失函數的一部分。該損失函數包括波動方程的結構損失、邊值條件損失、初值條件損失和真實數據條件損失。波動方程對應于時間二階導數和空間二階導數，如式（2）所示：

隨后，需要收集有關系統行為的數據，包括邊界條件和初始條件，并將這些數據運用到梯度下降或其他優化算法以實現最小化損失函數，從而調整神經網絡的參數，得到波動方程最逼近的解。在這個過程中，需要用真解去驗證PINN的解集是否正確，由于真解表示波動方程u在空間x和時間t上的變化，在幾個時間戳上進行說明，分別是t在初始狀態、1s、2s、4s時的狀態，可以看到u的波形如圖3～圖6所示。

將波動方程的一般形式代入PINN求解后的計算解，圖7所示。

其中，?2u為關于空間?x2和時間?t2的解函數。

波動方程描述了一維空間中的波動現象，其中u（x，t）是波函數，表示波動在空間x和時間t上的變化。該方程表達了波動的傳播速度v對波動的空間和時間演化的影響。在常規波動方程的求解過程中，深度神經網絡（DeepNeuralNetwork，DNN）的任務是學習函數u（x，y），使其滿足上述波動方程，并同時滿足初始條件和邊界條件。通過優化神經網絡的參數，使得輸出的解盡可能地逼近真實的波動方程解。在圖7中，可以看出PINN解在t=0，1，2，4時的波形u（x，y）跟真解上對應時刻的u的波形形狀是擬合的，說明PINN的訓練效果和結果都是正確的。

3.2波動方程代入PINN實驗調試分析

波動方程是描述波動現象的一種偏微分方程，在改良聲波應用上有很大的作用。根據上述解波動方程的理論，可以將其中的方程代入為聲波方程，聲波神經網絡的訓練過程等同于聲波傳播[27]的反問題。在地球物理學中，通過在地表激發地震波、記錄相應的地震響應信號、建立反問題模型并數值求解該問題來確定地下結構的屬性。在聲波神經網絡中，給定輸入和輸出層條件后，神經網絡反問題的求解可以確定網絡結構權重系數[28]，這些系數的數量通常非常龐大[21]。根據聲波方程的特點修改其初始條件和邊界條件，將物理方程修改為聲學方程，確保正確計算聲學方程的各個導數，并設置符合聲學問題求解需求的損失函數。

在實驗過程中，本研究添加了0.05的噪聲模擬真實數據，然后構建神經網絡，定義損失函數，計算離散點之間的間隔，使用中心差分法計算偏導數和二階偏導數，將得到的近似導數與聲波方程進行比較，最后輸出結果。在圖8中可以看出三個損失函數的折線圖現象。在相同條件下，初始條件（IC）、邊界條件（BC）、偏微分方程（PDE）三個損失函數的數據集數越多，則誤差越小，當超過10000個例子時，誤差快速下降。

調整神經網絡的結果，使其更好地擬合聲波方程，需要根據實際情況調整優化器和超參數，以及訓練時長和迭代次數，從而完成從波動方程到聲波方程的替換。

在實際實驗中，調試神經網絡時選擇合適的隱藏層和每層的神經元個數非常重要。這個過程需要不斷調試，并需要大量數據進行調整，以獲得理想的誤差值。在聲波方程替換波動方程中，最困難的部分是修改邊界條件，因為需要針對不同的場景進行不同的邊界修改。這是未來的研究方向，即如何自適應地確定邊界條件。另外，由于邊界條件的影響，即使方程解的誤差很小，最終生成的解集也可能與實際解不對應。表1顯示了神經網絡調試數據。

ICLoss（初始條件損失）表示神經網絡在模擬系統初始狀態（t=0時刻）時的誤差，通過比較神經網絡在初始時刻的位移與真實初始條件值之間的均方誤差來計算。

BCLoss（邊界條件損失）表示神經網絡在邊界上滿足約束條件的程度，通過比較神經網絡在給定空間和時間邊界上的位移與真實邊界條件值之間的均方誤差來計算。

PDELoss（偏微分方程損失）表示神經網絡在偏微分方程上的擬合誤差，即在系統內部滿足物理方程的程度，通過比較神經網絡在隨機采樣點上滿足偏微分方程的程度，即通過比較波動方程的時間和空間偏導數之間的均方誤差來計算。

這三個損失項的綜合構成了總體的損失函數（Loss）。通過最小化這些損失，優化算法試圖調整神經網絡的參數，使其能夠較好地逼近真實的波動方程解并滿足初始條件、邊界條件和偏微分方程。表中顯示誤差值都很小，但對于方程解來說，誤差肯定是越小越好。經過不斷嘗試，發現當DNN的隱藏層數量為5，神經元數量為50時，取得的誤差最小。

4結論

該研究提出了物理信息神經網絡（PINN）應用于波動方程求解的方法，降低了波動方程應用的難度。在解波動方程的過程中，該研究嘗試將其應用于聲波方程，并通過數值算例表明，波動方程在解決聲波問題上發揮著重要作用。研究也證明了深度神經網絡（DNN）在物理信息神經網絡中的應用具有靈活性和廣泛性。通過調整隱藏層的層數和神經元個數，可以使方程的解集擬合。然而，訓練過程中可能導致過度擬合，使得解無法形成。因此，在調試過程中，ICLoss、BCLoss和PDELoss之間存在最優權衡。

在波動方程中，PDELoss的影響相對于其他兩個損失更為顯著。因此，在調試的過程中，著重調節了PDELoss，以達到總損失的最小值。實驗中發現，當DNN的隱藏層數量為5，神經元數量為50時，取得的Loss最小，對于提高波動方程求解精度具有重大意義。相比波動方程的傳統解法，這一方法有著顯著的改進。然而，受到邊界條件影響，聲波方程[29]的圖形與真解的對應關系存在一定問題。因此，邊界條件的自適應修改仍然是未來研究的重要技術方向。

未來的深入研究將集中在進一步優化物理信息神經網絡在波動方程中的真實數據應用上，特別是在邊界條件[30]的自適應和誤差最小化方面。此外，還將探索這些網絡在處理更復雜的偏微分方程中的更具體應用，希望通過持續創新和突破，為社會安全和應急救援響應能力的提升做出更大的貢獻。