大學物理教學中基于轉移矩陣法的薄膜干涉探討

摘 要： 轉移矩陣法是研究介質膜或勢壘中的光子或電子輸運的一種理論計算方法。本文結合廣泛用于光學傳輸的轉移矩陣方法，對“大學物理”中的劈尖干涉和牛頓環現象進行了數值模擬。研究發現轉移矩陣方法不僅可以解決接觸面為平面的劈尖干涉，還可以解決接觸面為曲面的牛頓環現象。此研究不僅可以輔助課堂教學加深學生對薄膜干涉問題的理解，還可以激發學生對于科研的熱情，培養學生利用數值計算方法解決生活中的實際問題。

關鍵詞：轉移矩陣；大學物理；劈尖干涉；牛頓環

Abstract： The transfer matrix method is a theoretical calculation method used to study the transport of photons or electrons in media films or potential barriers. This paper combines the widely used transfer matrix method in optical transmission to numerically simulate the phenomenon of sharpe interference and Newton's rings in "University Physics". The study found that the transfer matrix method can not only solve sharpe interference with a flat contact surface but also solve Newton's rings with a curved contact surface. This research not only assists classroom teaching in deepening students' understanding of thin film interference problems but also inspires students' enthusiasm for scientific research and cultivates their ability to use numerical calculation methods to solve practical problems in life.

Keywords： Transfer matrix; university physics; slit interference; Newton's rings

“大學物理”是一門對于理工工科專業非常重要的公共基礎課。這門課不僅可以拓展學生的知識面，而且在很多科研新型領域中具有重要的基礎支撐作用，因此其學科地位是其他學科無法比擬的。作為交叉學科的理論基礎，大學物理的內容通常被應用在交叉學科領域的研究與應用中。大學物理涵蓋內容非常豐富，其中包括力學、熱學、電磁學、光學以及原子與分子物理學等。在光學學習中，薄膜干涉現象一直是教學的重點和難點。

薄膜干涉是指光照射到透明且厚度極薄的膜上時產生的干涉現象，導致在一些物體如氣泡或昆蟲的翅膀上出現彩色條紋[1]。該現象廣泛應用于光學器件表面的增透膜、減反膜，眼鏡表面的防紫外光膜，以及宇航員頭盔表面的高反射膜等[2]。在教學中，對薄膜干涉進行公式推導計算和分析相對復雜，常通過仿真技術研究，如劈尖干涉、牛頓環干涉等。然而，傳統的針對薄膜干涉的仿真編程需要面對不同問題需要進行不同編程計算的困擾，顯得繁瑣重復。本文提出使用轉移矩陣法，這是科研中常用的方法，來簡化薄膜干涉的編程仿真問題，使其形成統一的解決范式。只需改變參數即可得到不同情況下的薄膜干涉解決方案，從而實現教學與科研的統一，激發本科生科研熱情，進入科研的領域。首先，我們通過模擬對空氣劈尖干涉進行了研究，發現當空氣劈尖的斜率變化時，條紋的稠密程度也發生變化。然后，我們計算了曲面的牛頓環，發現當平凸透鏡的半徑變化時，條紋級數也發生了變化。這些現象與大學物理中的理論分析相符，充分證明了轉移矩陣法可以完全解決大學物理中的薄膜干涉問題。

一、轉移矩陣方法介紹

光學轉移矩陣法（Optical Transfer Matrix Method）是光學系統中一種常用的分析方法，用于描述光在復雜光學系統中的傳播和傳輸特性。而光子晶體是一種具有交替高介電常數和低介電常數層以及缺陷層的光學陷光結構，常常在光子帶隙中出現共振特性，即缺陷諧振模式。這是科學研究中經常涉及的光學問題，其實質是多層薄膜光傳播的研究。相比于平面波算法，轉移矩陣法的計算量大大降低，成為科學研究和實際生產中重要的物理數值模擬計算方法。

設定轉移矩陣是一個22的矩陣。由于光波是一種電磁波，它遵循麥克斯韋方程組，描述了光波在空間中的傳播和相互作用方式。其在一維多層薄膜中的傳播規律遵循麥克斯韋方程 [3-6]，所設計結構從上向下各個界面分別為1， 2， 3， … ， 2N+5層。其中入射角度為。由麥克斯韋方程和電場、磁場邊界條件導出的多層結構的傳遞矩陣方程可以描述為[3，4]，

其中，B0和A0分別為多層結構頂部入射光和反射光的電場; 和分別是結構底部的輸出光和輸入光的電場。由于光通過多層薄膜后沒有反射回來的光，根據光的反射率，透射率、吸收率的定義，可得， . 傳遞矩陣Ml（l= 1，2， … 2N+5）和Pl（l= 1，2， … ， 2N+5）可以描述為，

其中，（2）式中和分別為該分界面的透射系數和反射系數，用Fresnel公式推導可得，和

。其中θl和nl分別代表第l層介質的光的傳播角和折射率， 這里。 光在不同層中的傳播角度受Snell’s law支配，dl代表l層的厚度，λ = 2πc/ω為入射波長。

光學轉移矩陣法可以應用于光子晶體的吸收問題的理論分析和設計中。在科學研究中，通過應用于光子晶體，可以實現在納米尺寸范圍內的光完美吸收，但需要額外添加陷光結構，如二維材料等損耗較大的材料來增強介質層的光吸收[5，6]。通過轉移矩陣法的分析，可以研究不同光子晶體的吸收特性，并對光學系統的性能進行預測和優化設計。該方法簡單易行，易于理解，并且不僅適用于科學研究領域，也可以在本科教學中普及應用。

二、利用轉移矩陣法模擬薄膜干涉

根據空氣劈尖干涉原理，如圖1所示，空氣劈尖由兩塊折射率為1.53的玻璃板構成，板之間有一個薄的空氣層，僅有一端粘合，另一端通過細絲或紙片支撐。其中劈尖的斜率由參數 D/L =2′10-3， D 是空氣劈尖的厚度， L 則表示劈尖的長度。當波長為589 nm的可見光垂直入射時，上面的玻璃板和下部的空氣層會發生反射，形成兩列相干光源，從而產生干涉現象。根據大學物理課堂理論分析可知：當空氣層厚度為明紋，當時候為暗紋，其中為入射光的波長。

如圖2所示，當光線從空氣向空氣劈尖中傳播時，會發生反射和透射，并形成干涉現象。這種干涉現象會導致劈尖上出現明暗相間的干涉條紋，其間距和形態與劈尖的長度有關。干涉條紋的形成是由于光在空氣劈尖中的路徑差引起的。光在劈尖上的兩個不同位置反射或透射后，其路徑長度會有微小差異，導致相位差的變化。當光的相位差達到一定條件時，會出現干涉加強或干涉衰減的現象，形成明暗相間的條紋。對于空氣劈尖而言，當劈尖長度較小時，形成干涉條紋的空氣層厚度較小。隨著劈尖長度的增加，條紋的間距也會增大。這是因為空氣劈尖的長度增加會導致光傳播的路徑差增加，從而改變干涉條件。因此，不同長度的空氣劈尖會形成不同間距的明暗相間的干涉條紋。干涉條紋可以通過觀察或者使用干涉儀等光學實驗裝置進行檢測。通過觀察干涉條紋的變化，可以得到關于空氣劈尖長度和干涉現象的信息。這種現象在一些光學應用中被利用，例如表征表面形貌或測量微小物體的尺寸。需要注意的是，干涉條紋的形態和特性還可能受到其他因素的影響，例如入射光的波長、入射角度和劈尖表面的光學特性等。因此，在具體的實驗或應用中，需要綜合考慮這些因素，并進行適當的理論分析和實驗設計。與此相對應，通過轉移矩陣法計算得到的反射率變化也呈現出與空氣劈尖干涉條紋一致的規律。這充分證明了轉移矩陣法可以解決空氣劈尖干涉相關問題。

根據我們所了解的信息，劈尖的斜率會影響干涉條紋的分布。當劈尖斜率為時（如圖3所示），條紋會變得稀疏，即遠離劈尖的棱邊。綜合圖2和圖3的觀察結果，我們可以得出結論：在玻璃板的折射率保持不變的情況下，如果劈尖斜率較大，則條紋變得更加密集；如果劈尖斜率較小，則條紋變得更加稀疏。這與大學物理學中的理論相符，說明該數值模擬方法可以清晰地反映基本物理原理，并通過圖示的方式幫助學生理解物理現象，有助于解決實際生活中的問題。

三、利用轉移矩陣法模擬牛頓環

除了上述內容，利用傳遞矩陣法還可以用來計算其他曲面。下面我們以一個牛頓環干涉實驗為例，通過傳遞矩陣法進行計算。在這個實驗中，我們使用由玻璃構成的牛頓環裝置，包括一個平凸透鏡和一個平板玻璃，它們彼此接觸并在其間形成一層空氣薄膜。由于空氣薄膜的表面呈現非線性變化，因此會形成明暗相間的圓環，整體上呈現出由中心向外逐漸變得稀疏的現象。下面我們使用傳遞矩陣法進行驗證。其中，，。通過傳遞矩陣法計算得出，（亮）等于0.75 μm和（暗）等于0.43 μm。而根據理論計算和得出的結論是一致的[5]。根據傳遞矩陣法，還可以得到條紋的最大反射率約21%。如圖4所示，這個案例充分證明了傳遞矩陣法可以實現對曲面計算。即通過合理選擇光學元件的傳遞矩陣，并將它們按順序組合，可以對曲面的光學行為進行建模和分析。需要注意的是，傳遞矩陣法仍然是一種近似方法，并且在涉及復雜光學效應、非線性光學或散射等情況下可能不適用。

我們還可以通過改變牛頓環裝置平凸透鏡的半徑來觀察干涉條紋的變化。如圖4所示，當半徑增大至10μm時，牛頓環條紋向外移動，整體規律與圖3保持一致，條紋呈現出由中心向外逐漸稀疏的現象。同時，由于只是改變平凸透鏡的半徑，它的曲率并未發生變化，因此其反射率與圖4相同。

由于介質厚度相等，并且每次反射或透射引起的位相差相等，因此同一級干涉條紋的軌跡是一致的。在實際應用中，等厚干涉經常被用于測量物體的厚度、曲率半徑、折射率等物理參數。此外，等厚干涉還廣泛應用于光學元件的設計和制造，例如薄膜光學、波導、光纖等。如果觀察到的條紋出現彎曲現象，就說明使用的材質表面存在凹凸不平的情況。因此，通過觀察這些明暗相間的條紋，可以將它們應用于光學元件的加工質量檢測中。

結語

本文采用轉移矩陣法模擬了非平行平面干涉情況空氣劈尖干涉和牛頓環干涉。研究發現轉移矩陣法不僅可以模擬空氣劈尖干涉的平面情況，還可以模擬牛頓環的曲面情況。得到的結論證明，使用轉移矩陣法的模擬情況與大學物理課堂理論模擬結論一致，充分驗證了使用該方法研究薄膜干涉的正確性和簡潔性。利用轉移矩陣法研究大學物理課堂教學中薄膜干涉問題，不僅可以幫助學生理解表面現象，還可以指導大學物理實驗的改進。除此之外，也可以通過該教學促進學生掌握轉移矩陣法，激發本科生科研的興趣，從而促進他們利用數值仿真方法解決生活中的實際問題。

參考文獻：

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[3]梅中磊. MATLAB 電磁場與微波技術仿真[M]. 清華大學出版社， 2020.

[4]劉江濤， 童紅， 蔡勛明， 等. 利用轉移矩陣方法模擬大學物理中的薄膜干涉[J]. 高考， 2018， 6.

[5]Born M， Wolf E. Principles of optics： electromagnetic theory of propagation， interference and diffraction of light[M]. CUP Archive， 2000.

[6] Xu， Yan-Li; Li， Hong-Xu; Zhou， Chao-Biao; Xiao， Xi-Sheng; Bai， Zhong-Chen; Zhang， Zheng-Ping; Qin， Shui-Jie; The ultraviolet absorption of graphene in the Tamm state[J]， Optik， 2020， 219：0-165015

基金項目：國家自然科學基金（項目編號：62364004） ，貴州省自然科學基金（項目編號：黔科合基礎–ZK[2022]一般211） ，貴州省教育廳青年科技人才成長項目（項目編號：黔教合KY字[2022]184號）

作者簡介：李洪旭（1986— ），男，漢族，四川達州人，博士研究生，講師，主要從事嵌入式、物聯網、人工智能和電磁場電磁波方向的研究工作。