對一道物理選擇題“一題多解”的深度剖析

收稿日期：2023-11-22

作者簡介：劉榮（1984-），男，中學一級教師，主要從事高中物理教學研究。

摘" "要：通過對一道物理選擇題“一題多解”出現不同結果的教學案例進行分析，發現學生學習過程中存在的問題，引導學生回歸教材，溫故知新。

關鍵詞：運動的合成；運動的分解；相對性原理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）4-0074-3

１" " 提出問題

運動的合成與分解是處理曲線運動的一種常用方法，它可以化曲為直，將復雜、陌生的運動分解成簡單、熟悉的運動進行研究，使問題的解決得以簡化。但學生在解決該類問題時往往憑借已有的學習經驗生搬硬套。筆者在教學過程中就遇到了一道典型的問題，原題如下：

如圖１所示，一根細繩的上端系在Ｏ點，下端系一個重球Ｂ，放在粗糙的斜面體Ａ上，現用水平推力Ｆ向右推斜面體使之在光滑水平面上以某速度向右勻速運動一段距離（細繩尚未到達平行于斜面的位置）。在此過程中（ ）

Ａ．重球Ｂ做勻速圓周運動

Ｂ．摩擦力對重球Ｂ做正功

Ｃ．水平推力Ｆ和重球Ｂ對斜面體Ａ做功的絕對值大小相等

Ｄ．斜面體Ａ對重球Ｂ所做的功與重球Ｂ對斜面體Ａ所做的功絕對值大小相等

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圖1" 原題圖

解析 重球Ｂ的受力分析、運動軌跡如圖２所示。摩擦力與位移的夾角為銳角，故摩擦力對重球Ｂ做正功，Ｂ選項正確；斜面體A勻速運動其動能不變，合外力做功為０，故Ｃ選項正確；Ａ對Ｂ的作用力與Ｂ對Ａ的作用力大小相等，但由于Ａ和 Ｂ之間有相對滑動，故其位移大小不等，Ｄ選項錯誤。下面重點分析Ａ選項。

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圖2" 受力分析

解法一 如圖３所示，將重球Ｂ的速度vB分解為水平方向的速度v和沿繩方向的速度v1。由幾何關系可得vB=vcosθ，重球Ｂ運動過程中，繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，故vB逐漸減小。

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圖3" 速度分析一

解法二 如圖４所示，將重球Ｂ的速度vB分解為水平方向的速度v和豎直方向的速度v2。由幾何關系可得vB=■，重球Ｂ運動過程中，繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，故vB逐漸增大。

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圖4" 速度分析二

解法三 如圖５所示，將重球Ｂ的速度vB分解為水平方向的速度v和沿斜面方向的速度v3。重球Ｂ運動過程中，繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，則vB與水平方向的夾角逐漸增大，但水平分速度v恒定，沿斜面方向的分速度v3方向不變。由圖６可得，vB先減小后增大。但由于題目要求細繩尚未到達平行于斜面的位置，當繩與斜面平行時，vB恰好與v3垂直，故該過程中vB逐漸減小。

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圖5" 速度分析三

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圖6" 速度分析四

２" " 解法剖析

三種解題方法的焦點是重球Ｂ在水平方向的分速度與斜面體的運動速度是否相等。如圖７所示，解法一將重球的運動等效為先沿水平方向運動，再沿繩子方向運動。解法二將重球的運動等效為先沿水平方向運動，再沿豎直方向運動。這兩種解法重球的水平分位移明顯小于斜面體的位移，故其水平分速度小于v。解法三將重球的運動等效為先沿水平方向運動，再沿斜面方向運動，其水平分位移恰好等于斜面體的位移，即重球水平分速度等于斜面體的速度v，解法三正確，重球Ｂ做速度減小的圓周運動，Ａ選項錯誤。解法一和解法三的結果雖然相同，但解法一僅僅是重球Ｂ運動過程中末狀態（繩子與斜面平行）的情況（只有末狀態時水平速度等于ｖ），用一個特殊的狀態描述一個一般的過程，顯然是不妥的。

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（a）解法一

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（b）解法二

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（c）解法三

圖7" 三種解法對比

３" " 錯解歸因

筆者查閱了幾本教輔用書，該題的解法都采用解法一，基礎較好的學生對解法一也比較認可，究其原因是受到收繩問題的影響（如下題）。

如圖８所示，人在岸上捉住繩上的Ａ點以速度ｖ０水平向左勻速拉動輕繩，繩跨過定滑輪拉著在水面上向左移動的小船Ｂ。若某一瞬間繩與水平方向的夾角為θ，則此時小船Ｂ的速度ｖ為多大？

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圖8" 人拉船問題

解析 如圖９所示，小船的運動可等效為繞定滑輪的轉動和沿繩子方向的上升，由幾何關系可得小船的速度v=■。

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圖9" "對人拉船的運動分析

收繩問題之所以這樣分解，關鍵在于繩子是不可伸長的，定滑輪左側繩子的伸長量和定滑輪右側繩子的縮小量相等，從而決定了小船沿繩子上升的速度與拉繩的速度相等。

受平拋運動研究方法的影響，大多數學生比較認可解法二。平拋運動是高中學生第一次接觸到利用合成與分解的思想研究曲線運動，同時也使學生意識到可以通過分解的方法將一個陌生的運動分成兩個熟悉的運動（勻速直線運動和自由落體運動），給學生留下了深刻的印象。也正是這種成功的學習經驗的應用催生了解法二，但學生并沒有意識到將重球Ｂ的運動分解成水平和豎直兩個方向的分運動是否為他們所熟悉的，這兩個分運動是否可解。

４" " "思維提升

運動的合成與分解是描述運動的位移、速度、加速度的合成與分解，其方法是平行四邊形定則。一個矢量根據平行四邊形定則可以分解在任意兩個方向上，可以有無數對的分量。按照這一原則，三種分解方法都是可行的，但根據伽利略相對性原理的速度變化關系：“絕對”速度等于牽連速度與相對速度的矢量和［１］，則重球Ｂ相對地面的速度等于斜面體相對地面的速度與重球Ｂ相對斜面體的速度的矢量和，顯然只有解法三正確。

學生之所以出現上述問題，從表面上看是對“成功學習經驗”的應用，其實質是對相對性原理的理解不透徹，應用不靈活。為了消除學生在解答該類問題時的思維困惑，筆者在上述教學后又以粵教版必修２第一章章末習題第１題為例引導學生分析。原題如下：

雨點以３ ｍ/ｓ的速度豎直下落，行人感到雨點與豎直方向成３０°角迎面打來，那么人行走的速度是多少？

解析 不妨設人向右行走，其速度大小為ｖ，雨滴相對人的速度為v1，雨滴相對地面的速度為v2。

解法一 以人為參考系，根據速度變化關系，雨滴相對人的速度等于地面相對人的速度與雨滴相對地面的速度的矢量和（圖１０），由幾何關系得人行走的速度v=v2tan３０°=1.73 m/s。

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圖10" 以人為參考系

解法二 以地面為參考系，根據速度變化關系，雨滴相對地面的速度等于人相對地面的速度與雨滴相對人的速度的矢量和（圖１１），由幾何關系得人行走的速度v=v2tan３０°=1.73 m/s。

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圖11" 以地面為參考系

兩種解題方法雖選擇不同的參考系進行解答，但最終“殊途同歸”。通過該題的分析加深學生對相對性原理的理解，同時使學生體會到運動是相對的，對物體運動的描述都是相對于某一參考系。根據相對性原理，在研究力學現象時，一切慣性參考系都是等價的。

參考文獻：

［１］周衍柏．理論力學教程（第2版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６：２１.

（欄目編輯" " 蔣小平）