指向核心素養發展的初中數學結構化教學

一、教學內容

“反比例函數”是人教版九年級下冊數學教材中的第26章，屬于“數與代數”領域。以實際問題為切入點，自然而然引出“反比例函數”的基本概念，借此激發學生對函數模型思想的深刻體會。教材重點放在了對反比例函數圖象與性質的掌握上，通過繪制具體的反比例函數圖象，引導學生從特殊到一般歸納總結，掌握反比例函數的一般圖象特征及性質。本章內容的另一大亮點在于數形結合的教學思想的運用，即通過函數圖象直觀展示函數變化規律，同時借助解析式深入探究函數性質。

二、學情分析

反比例函數的獨特之處，如變量間乘積的恒定性，對學生而言是一個全新的探索領域。雖然學生對函數的基本類型有所了解，但反比例函數的特性與學過的一次函數、二次函數明顯不同，尤其在自變量取值范圍上的特殊性，為其學習帶來了新的挑戰。因此，面對本節課程內容的抽象性，教學的核心之一便是如何有效鏈接新舊知識，降低學生接受新概念的難度。

三、教學目標

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出以“三會”為主要內容的學科核心素養，集中體現了數學8b1ecb54aa00e3677e88a17f9278c436教學的育人價值，為指定如下教學目標提供了方向指引。

1.掌握反比例函數的基本定義，能夠借其特征—兩變量乘積為常數—辨識各類函數中哪些屬于反比例函數。

2.在面對具體情境時，能夠依據已知條件，確定反比例函數的解析式及變量的取值范圍。

3.在探索實際問題的過程中，能夠運用數學語言和符號，建立與表達兩個變量之間的反比例關系。

四、教學設計思路

結構化教學法作為一種精細化的教育策略，旨在通過有序組織的教學活動，引導學生逐步掌握復雜知識，側重于教學內容與學生學習過程的結構安排，將知識點按照遞進次序與邏輯層次組織，實現知識的遷移?；谛抡n程標準強調“設計體現結構化特征的課程內容”，本課例在深入分析核心素養目標的基礎上，通過知識、方法、能力、經驗結構化的教學設計，幫助學生逐步建立起系統的數學知識體系，實現核心素養的有效培育。

五、教學過程

（一）溫故知新，調動記憶

師：我們先來回顧一下之前學過的知識。大家還記得在變化的過程中，如果有兩個變量x與y，它們之間是如何相互關聯的嗎？

生：如果對于x的每個不等于零的值，y都有唯一確定的值與其對應，我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數。

師：誰能告訴我一次函數的一般形式是什么？

生：一次函數的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常數，且a不等于零。

師：非常好。a代表斜率，決定了直線的傾斜程度；b為截距，表示直線與y軸的交點。（展示一次函數的標準形式：一次函數，也稱為線性函數，其圖象是一條直線，表示變量y與x之間存在線性關系。） 我們之前學習了一次函數的哪些內容？

生：我們研究了一次函數的定義、圖象、性質以及它在解決實際問題中的應用。

師：正確。我提個問題：“釣魚時怎樣握桿更省力？”這個問題能用我們學過的函數知識來解釋嗎？

生：可以用力的作用點和力的大小關系來解釋，這與杠桿原理有關，可以通過函數關系來表示。

師：很好。杠桿原理可以用力的作用效果（力矩）與力的作用點距離的關系來表示，形成一種函數關系，看來大家對之前學的知識掌握得很好，現在讓我們基于這些認識學習今天的課程。

（二）情境引思，自主探究

師：我們今天將一起探索幾個有趣的現實生活情境，通過這些情境來理解一種特殊的函數關系。首先，我們考慮一個問題：如果一輛汽車要從A地到B地，總距離是1200千米，那么汽車的速度和所需時間之間是怎樣的關系呢？

生：如果汽車速度快，所需時間應該短些；速度慢，時間就長些。

師：對。在給定的總距離下，速度和時間的關系可表示為vt=1200，這里v代表速度，t代表時間。 基于這個關系式，大家認為這里的變量間具有什么樣的函數關系？

生：這不像是我們學過的正比例函數或一次函數。

師：是的，這實際上引入了我們要學習的反比例函數。我有三個不同的問題，請大家思考其中的變量關系。

1.對于一個面積為48平方米的長方形，如果一邊的長度是x米，另一邊的長度是y米，則y=。

2.一個底邊長為a厘米、面積為75平方厘米的三角形，它的高是h厘米，可以表示為h=。

3.一輛汽車以v千米/小時的速度行駛，行駛629千米所需的時間是t小時，可以表示為t=。

生：看起來，這些問題中的變量關系都有一個共同點，那就是一個變量的增加會導致另一個變量的減少。

師：大家回憶一下所學的物理知識，考慮電流I和電阻R的關系，當電壓U固定時，I和R之間是怎樣的關系呢？

生：根據公式U=IR，如果R變大，I會變小；如果R變小，I會變大。

師：很好，大家觀察到了反比例關系。這里U（電壓）是常數，I（電流）和R（電阻）之間的關系式可以重寫為？

生：I=。

師：通過這些情境，我們可以發現雖然這些問題看似不同，但它們的變量之間都存在反比例關系。

（三）概念學習，圖象感知

師：現在，我們已經探討了幾個反比例關系的例子，但是這些情況能否用一個統一的函數表達式來表示呢？思考一下，如果兩個變量x和y之間的對應關系可以表示為y=的形式，我們應該怎樣稱呼這種關系？

生：這聽起來像是兩個變量之間的某種特殊關系，是不是我們之前討論的反比例關系？

師：正是，如果變量x和y滿足y=（其中k為常數，且k≠0），我們稱y是x的反比例函數。其中x是自變量，y是函數值。自變量x的取值范圍是除了0以外的所有實數。這里的k是什么呢？

生：k應該是兩個變量乘積的常數值。

師：很好。k是一個非零常數，它決定了反比例函數的特性。讓我們回到之前的問題，嘗試將它們用反比例函數的形式表示，并填寫表1。

師：請大家思考當k為正值時，函數圖象會怎樣？

生：圖象應該在第一和第三象限。

師：非常好。讓我們來驗證一下。（繪制圖象，強調當k＞0時，圖象位于第一和第三象限，兩條曲線逐漸接近但不會觸及x軸和y軸）這表明反比例函數圖象的特性為雙曲線。隨著x的增加，y的值趨向于0但永遠不等于0；同樣，隨著x趨向于0，y的值增大，趨向于無窮大?，F在，如果k為負值呢？圖象會有什么變化？

生：如果k是負值，我認為圖象會在第二和第四象限。

師：非常正確。

教師繪制圖象（見表2），總結反比例函數圖象的特點。

生：無論k是正是負，反比例函數的圖象都是雙曲線，只是位置不同。并且，無論哪種情況，圖象都不會觸及x軸和y軸。

（四）特點探討，練習深化

師：根據討論結果總結反比例函數還有哪些表示方式？

生：根據定義，反比例函數還可以表示為xy=k，因為兩邊同時乘以x就得到了k。

師：正確。還有一種表示形式是y=kx-1。（板書：反比例函數可表示為y=，xy=k或y=kx-1都揭示了一個共同的特點：變量x和y的乘積為一個恒定的常數k）我給大家出示幾個函數表達式，大家判斷一下它們是否為反比例函數。

【習題演練】

①y=3x ②y=x2 ③xy=21 ④y=x+25

⑤y= ⑥y=

（學生判斷）

師：請舉出日常生活中反比例關系的例子。

生：百米賽跑中，速度與完成時間是反比例關系；如果圓柱體的體積固定，那么底面積與高是反比例關系；長方形的面積固定時，長與寬也是反比例關系。

師：在阿姆斯特丹，幾乎每個人都騎自行車。（呈現資料：在2018年，阿姆斯特丹市政府發布了一項統計數據，顯示城市內自行車的平均速度為15千米/小時，而城市規劃師利用這些數據來優化城市自行車道的設計，確保市民能夠高效、安全地騎行。）我們可以用反比例函數來描述自行車速度與到達目的地所需時間的關系。例如，如果一個人要從阿姆斯特丹的市中心騎自行車，在1個小時內到達10千米外的郊區，那他的速度是多少？半小時呢，速度是多少？

生：我們可以將已知的值代入公式中，即1v=10，v=。他的速度必須至少為10千米/小時。如果他希望半小時到達，那速度就需要提升到20千米/小時。

師：大家在這里用了待定系數法。待定系數法是求解反比例函數解析式的一種常用方法。首先設出函數解析式；然后，將已知的一對x和y值代入，求出比例系數k。

六、總結

在本次教學活動中，通過精心設計的結構化教學方法，學生得以逐步深入探討了反比例函數的核心概念，從基本定義到圖象的認識，再到特性的探索和實際問題的應用，實現對反比例函數深層次的掌握。整體教學過程充分體現了結構化教學的優勢，即由淺入深、循序漸進地引導學生建立完整的數學知識體系，為其綜合素質提升奠定堅實的基礎。

（作者單位：甘肅省平涼市第九中學）

編輯：趙文靜