數(shù)值仿真工具在“機(jī)械振動(dòng)學(xué)”課程教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，數(shù)值仿真模擬為抽象理論知識(shí)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用提供了可視化、低成本、高效率之新途徑。基于ABAQUS有限元軟件，以復(fù)雜服役環(huán)境下DF17導(dǎo)彈振動(dòng)抑制為工程背景，以梁的橫向振動(dòng)模態(tài)為研究對(duì)象，分別模擬計(jì)算五種常見(jiàn)梁的前三階橫向振動(dòng)固有頻率及振型。與理論推導(dǎo)結(jié)果對(duì)比，進(jìn)行誤差分析，驗(yàn)證梁模型的適用條件。數(shù)值仿真模擬與理論學(xué)習(xí)的有機(jī)結(jié)合將有效強(qiáng)化學(xué)生對(duì)振動(dòng)基本理論的理解，提高先進(jìn)工具應(yīng)用能力和問(wèn)題分析能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)值仿真；機(jī)械振動(dòng)；課程教學(xué)；模態(tài)分析

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、概述

從中國(guó)制造世界最大推力70噸級(jí)振動(dòng)臺(tái)，到實(shí)現(xiàn)世界最大單體隔震建筑——北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的運(yùn)營(yíng)，可以知道，振動(dòng)是影響高端裝備、土木建筑等安全性與可靠性的關(guān)鍵因素，也是工程設(shè)計(jì)及應(yīng)用中最具挑戰(zhàn)性的核心對(duì)象。“機(jī)械振動(dòng)學(xué)”理論學(xué)習(xí)及運(yùn)用對(duì)航空航天、機(jī)械工程、土木工程等領(lǐng)域發(fā)展舉足輕重［1］。

“機(jī)械振動(dòng)學(xué)”作為部分工程類專業(yè)基礎(chǔ)課程，系統(tǒng)地闡述了振動(dòng)的基本理論與分析方法［23］。由于該課程具有內(nèi)容廣泛、理論抽象、公式繁多等特點(diǎn)，且學(xué)生已習(xí)慣在靜力學(xué)框架下分析問(wèn)題，在動(dòng)力學(xué)理論學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍反映知識(shí)抽象、理解困難。振動(dòng)實(shí)驗(yàn)是輔助學(xué)生理解知識(shí)和實(shí)踐應(yīng)用最行之有效的方法，但通常學(xué)時(shí)有限且成本較高。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，數(shù)值仿真模擬為抽象理論知識(shí)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用提供了可視化、低成本、高效率之新途徑［45］。

本文以彈性體梁的橫向振動(dòng)為例，應(yīng)用數(shù)值仿真工具輔助理論教學(xué)。DF17導(dǎo)彈作為高超聲速、極高精度制導(dǎo)武器，復(fù)雜服役環(huán)境下振動(dòng)抑制尤為重要。在實(shí)際飛行過(guò)程中，其振動(dòng)形式是非常復(fù)雜的，涉及橫向、軸向、扭轉(zhuǎn)等多種振動(dòng)耦合。在本科階段振動(dòng)基本理論教學(xué)中，可將該研究對(duì)象簡(jiǎn)化成歐拉伯努利梁模型進(jìn)行解耦分析。下面基于梁橫向固有振動(dòng)模態(tài)開(kāi)展理論分析與數(shù)值模擬。

二、梁橫向振動(dòng)模態(tài)理論推導(dǎo)

梁橫向振動(dòng)過(guò)程滿足線彈性體基本假設(shè)和材料力學(xué)平面假設(shè)，只考慮梁的彎曲變形，不計(jì)剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響［3］。取微段受力分析，如圖1所示，y（x，t）表示距原點(diǎn)x處截面在t時(shí)刻的橫向位移，ρ為單位體積梁質(zhì)量，S為梁橫截面積，Q和M分別為截面上剪力和彎矩。

圖1微單元受力圖

根據(jù)牛頓第二定律得自由振動(dòng)方程：

ρS2y（x，t）t2+Qx=0（1）

由于忽略截面轉(zhuǎn)動(dòng)影響，以右截面上任一點(diǎn)為矩心，由力矩平衡得：

Q=Mx（2）

根據(jù)材料力學(xué)的等截面假設(shè)，由彎矩與撓度的關(guān)系得：

M=EI2y（x，t）x2（3）

其中，E為彈性模量，I為截面對(duì)中性軸的慣性矩。將式（3）代入自由振動(dòng)方程式（1）得：

2x2［EI2y（x，t）x2］+ρS2y（x，t）t2=0（4）

根據(jù)分離變量法，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為：

y（x，t）=φ（x）q（t）=φ（x）asin（ωt+θ）（5）

其中，ω為固有頻率，θ為相位角。將式（5）代入式（4）得：

（EIφ″）″-ω2ρSφ=0（6）

對(duì)于等截面梁橫向振動(dòng)的振型函數(shù)一般形式為：

φ（x）=C1cosβx+C2sinβx+C3coshβx+C4sinhβx（7）

其中，系數(shù)C1～C4由邊界條件確定，β為4ω2ρS/EI。

因此，梁的主振動(dòng)表達(dá)為：

y（x，t）=（C1cosβx+C2sinβx+C3coshβx+C4sinhβx）asin（ωt+θ）

（8）

對(duì)簡(jiǎn)支梁邊界條件，兩端撓度和截面彎矩為零，即：

φ（0）=0，φ″（0）=0，φ（l）=0，φ″（l）=0（9）

分別代入式（7）得頻率方程：

sinβl=0（10）

因此：

βil=iπ，i=1，2，3…（11）

固有頻率為：

ωi=（iπl(wèi)）2EIρS，i=1，2，3…（12）

振型函數(shù)為：

φi（x）=siniπl(wèi)x，i=1，2，3…（13）

簡(jiǎn)支梁前三階振型如圖2所示。對(duì)于其他簡(jiǎn)單支承邊界條件梁，模態(tài)計(jì)算流程同簡(jiǎn)支梁一致。不同梁橫向振動(dòng)邊界條件及頻率方程匯總?cè)绫?所示，可知各頻率方程包含雙曲函數(shù)，計(jì)算相應(yīng)特征根非常復(fù)雜，模態(tài)分析更為困難。此時(shí)，編程計(jì)算及數(shù)值仿真則體現(xiàn)出顯著優(yōu)勢(shì)。

三、梁橫向振動(dòng)模態(tài)有限元計(jì)算

利用ABAQUS有限元（FEM）軟件對(duì)上述理論分析中的簡(jiǎn)支梁、自由梁、固定梁、懸臂梁和簡(jiǎn)支—固定梁分別進(jìn)行橫向振動(dòng)模態(tài)仿真。基于DF17導(dǎo)彈進(jìn)行縮比建模，簡(jiǎn)化為長(zhǎng)（l）為300mm，直徑（d）為20mm的圓截面梁。材料假定為鋼材，密度7800kg/m3，彈性模量200×109Pa，泊松比0.3。采用梁?jiǎn)卧W(wǎng)格劃分，每個(gè)單元最大線長(zhǎng)2mm。對(duì)于固定端，約束X、Y、Z、XR、YR、ZR六個(gè)自由度；對(duì)于固定簡(jiǎn)支端，約束X、Y、Z、XR、YR五個(gè)自由度；對(duì)于移動(dòng)簡(jiǎn)支端，約束Y、Z、XR、YR四個(gè)自由度；對(duì)于自由端，不約束自由度。其中，自由度X、Y和Z表示三個(gè)方向軸向位移，XR、YR和ZR表示繞X、Y、Z軸向轉(zhuǎn)動(dòng)。各模型在線性攝動(dòng)下以一定的頻率進(jìn)行振動(dòng)。

五種梁前三階固有頻率數(shù)值仿真結(jié)果匯總?cè)绫?所示，發(fā)現(xiàn)該條件下FEM方法得到的固有頻率與理論計(jì)算結(jié)果較為接近，但仍存有一定誤差，最大為7.67%。由“機(jī)械振動(dòng)學(xué)”理論可知，歐拉伯努利梁模型僅適用于細(xì)長(zhǎng)梁。隨著增加有限元模型長(zhǎng)徑比，誤差逐漸減小。當(dāng)長(zhǎng)徑比調(diào)整至50∶1時(shí)，誤差可控制在1%以內(nèi)（表3），驗(yàn)證了梁模型的適用條件。相應(yīng)的前三階振型如圖3所示。從振型仿真結(jié)果可直觀看到與理論推導(dǎo)振動(dòng)模態(tài)一致。通過(guò)有限元數(shù)值仿真的實(shí)踐，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，還可以鍛煉學(xué)生應(yīng)用先進(jìn)工具的能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

結(jié)語(yǔ)

數(shù)值仿真方法能夠快速直觀獲取分析結(jié)果，是輔助理論教學(xué)的重要手段。本文基于簡(jiǎn)支梁、懸臂梁、自由梁、固定梁、固定—簡(jiǎn)支梁五種常見(jiàn)梁的橫向固有振動(dòng)模態(tài)開(kāi)展理論分析與ABAQUS有限元數(shù)值仿真，通過(guò)不同梁前三階固有頻率和振型的對(duì)比以及誤差分析，實(shí)現(xiàn)了理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合，有效幫助學(xué)生對(duì)抽象理論知識(shí)的理解及應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：河北省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目：基于機(jī)—材—力跨學(xué)科人才培養(yǎng)的點(diǎn)陣化科教融合探索與思政案例庫(kù)建設(shè)（2022GJJG053）；河北工業(yè)大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目國(guó)際教育研究專項(xiàng)：本土國(guó)際化背景下專業(yè)課思政教學(xué)的探索與實(shí)踐——以《機(jī)械振動(dòng)》課程為例（GJZ202202002）；河北省新工科研究與實(shí)踐項(xiàng)目：雙向融合新工科建設(shè)國(guó)際化人才培養(yǎng)模式與機(jī)制研究（2020JXGK004）

作者簡(jiǎn)介：俎群（1989—），女，山東濱州人，博士，副教授，主要從事多尺度動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真研究。