分類思想方法的討論及其在中學數學教學中的實踐

摘要：分類思想方法是數學學習的一種重要方法，但在使用中，也必須給予高度重視。按照分類思想使用的3個原則：（1）標準統一性原則；（2）不重不漏原則；（3）層次性原則，可以保證分類思想方法的正確使用。本文從分類討論思想方法在集合、函數、平面幾何、解析幾何中的應用，以期幫助人們能夠更好地運用數學分類思想來處理問題，達到學習的預想效果。

關鍵詞：中學數學；分類思想；應用

1研究背景

分類思想是數學學習的一種重要方法，通過分類討論來實現。因而，人們也將分類思想稱為“分類討論思想”［1］。

數學思想方法的應用仍然是一個難度較大的話題。正如馬宗華指出：盡管“分類思想”一詞在課本中未被明確提及，怎么用以及用的步驟等方面的指導多未完全提到，但是它在中學數學中的應用非常廣泛，已經滲透到中學數學教材的很多章節中，是教學的重點和難點。［2］

近幾年中高考題中，毫無例外，各地區試題中均有分類討論，由小題至大題，涵蓋面廣，占分極大，而缺乏數學思想和數學方法的學生對這些試題感到頭疼。因此，探究數學思想和數學方法是很有必要的，也是教學中的重中之重。

2研究現狀

2.1國外研究現狀

20世紀以來，國外數學家對數學思想方法的研究日新月異，相關專著不斷出版，產生了深遠的影響。

克萊因在《古今數學思想》［2］中告訴人們如何開辟數學一個個分支，然后把它的發展聯系在一起，并對數學思想發展史做了詳細的闡述，從古埃及原始數學思想講到20世紀初葉現代數學思想，對今天從事數學方面的教育工作者認識數學發展起到十分重要的作用。

喬治波利亞在《數學的發現》［3］中闡述了自己關于數學的教學、數學的學習、數學的研究、數學的應用等一些問題的看法和見解，這是一部涉及數學思想方法和數學教育的著作，其中闡述的許多數學思想方法引起數學教育研究界的廣泛重視。

2.2國內研究現狀

楊淑芳在《分類討論思想在高中數學教學中的滲透策略研究》［4］中，通過分析分類討論思想教學中存在的問題，尋找產生問題的原因，據此提出教學策略，同時利用教學實驗對所提出的滲透策略進行了有效性檢驗并提出了問題與缺陷。

劉江華在《分類討論思想在高一數學教學中逐步滲透的實踐探究》［5］中，首先強調了這種學習方式的重要性，其次論述了分類討論思想方法的基礎概念。此外，他還從心理學的角度詳細剖析了如何將這種學習理念融入教學當中，并結合高一課本，對高一數學分類討論思想方法進行了深入的探討，最后調查比較、教學反饋，初步總結出逐步滲透實施的效果。

3分類思想的相關理論

3.1核心概念

分類思想使用的方法是分類討論，是一種常用的數學思想方法。在日常的學習中，許多問題的結果并不具有唯一的確定性，并且部分題目在求解時不能夠采用統一的格式進行研究，另外還存在部分含參數的試題，即：題目已知量采用字母形式表達，然而字母不同的值能夠影響到問題的求解結果，這時就需要將全部所研究問題根據題目特點分為幾個獨立的子集，也就是將其轉化為多個小問題進行求解，類似于這樣將問題按不同條件進行歸類，之后對每一類問題進行逐個研究的數學思想，就叫做分類思想。［6］

3.2分類思想使用的原則

（1）標準統一性原則。同一個問題，選取標準不同，分類也就不同。在中學數學解題時，我們需要重視分類討論，并且要用統一的分類解題標準來解題，切勿同時使用多種分類方法，導致分類出現混亂。比如，三角形按照角分類時可分為銳角、直角、鈍角；按照邊分類時，可分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。每次必須按照統一的標準進行分類，不能同時采用幾種不同的分類標準。［7］

（2）不重不漏原則。解題時把所討論的對象歸類，既不能重復，又不能漏掉哪個。如許多學生對整數進行分類，所給結果就是整數有負數和正數之分，通常把零給忘了。還有把平行四邊形分為菱形和矩形，這也是不對的，因為菱形和矩形里邊都包含正方形。［7］

（3）層次性原則。求解一個分類討論相關問題時，碰到簡單問題僅分類討論一次就行了，當然，也會有一些復雜的問題，需要進行多次分類討論，其主要指討論的數學問題需實施多次分析，直至符合相關要求。［7］

3.3分類思想的使用步驟

（1）根據問題情境，明確討論的對象和討論的動機。遇到題目之后我們要分析是對哪一個變量或參數進行分類，這就需要同學們對教材中的概念、公式、性質等都十分熟悉。解題的思路一小部分來自做題積累的經驗，多數來自對基礎知識的熟練程度，基礎知識熟練程度高，看到題目自然而然就想到需要討論什么。［2］

（2）確定分類的標準。明確討論的對象之后，要對其進行科學而合理的分類，如在討論兩個集合間關系時，如果集合具有參數，就應該考慮集合為非空集合和空集兩種情況。［2］

（3）對所分的類別進行逐一討論。對每一類問題都應該詳細討論，逐步求解，各個擊破。［8］

（4）將所分情況進行總結概括。在求解分類討論相關的問題時，最后一定要來個“綜上”，對各種情況進行歸納，檢查分類的完整性。［8］

4高中數學中分類思想的應用

中學數學教材包含著大量分類討論的思想，教師應該對數學知識體系所包含的分類思想進行概括和提煉，有目的地滲透到數學知識教學過程中，引導學生領會其中所蘊涵的分類思想方法。

4.1分類思想在集合中的應用

盡管“集合”內容在高考數學中往往以一道選擇題的形式出現，但其在高中數學中所占比重不可低估。由于分類思想能夠將復雜問題簡單化，使解題變得簡單而快捷，所以也成為很多高中生學習高中數學的首選方法之一。因此，教師要注重分類思想在集合中的運用。

例1：已知集合B={-4，2b-1，b2}，C={b-4，-b，9}，若9∈（B∩C），求b的值。

分析：數學中的分類思想通俗來講就是針對同一個問題的不同種情況需要采用不同的方法對待。某個元素屬于另一個包含參數的集合，需要討論這個元素與另一個集合中的哪個元素是相等的，要分情況列出方程來求解。在進行分類討論時，應該特別關注集合中元素的互異性，以確保遵循不重不漏的原則。

解：因為9∈（B∩C），所以9∈B且9∈C。于是2b-1=9或b2=9。

（1）當2b-1=9，b=5。此時B={-4，9，25}，C={1，-5，9}，滿足集合中元素的互異性，符合題意。

（2）當b2=9時，b=±3。

①當b=3時，B={-4，5，9}，C={-1，-3，9}，滿足集合中元素的互異性，符合題意。

②當b=-3時，B={-4，-7，9}，C={-7，3，9}，滿足集合中元素的互異性，符合題意。

綜上，b=±3或b=5。

小結：例1是有關集合的問題，一個元素屬于另一個含參數的集合，需探討兩個元素的關系，在進行分類時，先分為兩大類，第二類又可分為兩小類。

4.2分類思想在函數中的應用

函數是高中數學最主要的內容，分類思想是解決數學問題時經常使用到的思維方式之一，也被廣泛應用于函數當中。通過實例來剖析函數中分類思想的運用，有助于學生深入了解分類思想的基本知識，強化其分類討論意識。

例2：已知函數f（x）=x2-2ax+4，x∈［-2，2］，求函數f（x）最小值。

分析：定區間內二次函數的單調性與其對稱軸及開口方向有關，該題為動軸定區間問題，其對稱軸為直線x=a，且含參數，對稱軸位置不定，故應分類進行探討。

解：f（x）=x2-2ax+4=（x-a）2+4-a2的圖象開口向上，且對稱軸是直線x=a。

當-2＜a＜2，此時f（x）在［-2，2］上單調遞減后單調遞增，最小值為f（a）=4-a2；

當a＜-2，此時f（x）在［-2，2］上單調遞增，函數f（x）最小值為f（-2）=8+4a；

當a＞2，此時f（x）在［-2，2］上單調遞減，函數f（x）最小值為f（2）=8-4a；

綜上，當a＜-2，函數f（x）最小值為f（-2）=8+4a；當-2＜a＜2，最小值為f（a）=4-a2；當a＞2，函數f（x）最小值為f（2）=8-4a。

小結：該題為對稱軸變化、區間確定問題，可分為三大類，對稱軸在區間里，對稱軸在區間左右邊。

4.3分類思想在平面幾何中的應用

有些幾何問題因圖形的位置不能確定或形狀不確定，就必須分類全面討論。

例3：如圖1所示，已知直線l1和直線l2，以及一條線段AB，兩直線相交，假設兩條直線上存在一點p，在什么情況下，能夠使ΔPAB為等腰三角形？

分析：先分類假設AB為等腰三角形的底邊，作AB的垂直平分線，分別與直線l1和直線l2相交于點P1和P2；以及假設AB為等腰三角形的腰，此時，對于后種情況還需要進行分類討論，設∠A為頂角，再設∠B為頂角。

解：（1）設AB為等腰三角形的底邊。

如圖2，作線段AB的垂直平分線，分別與l1和l2相交于點P1和P2。

因為垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，即AP1=BP1，AP2=BP2。所以ΔP1AB和ΔP2AB為等腰三角形。

（2）設AB為等腰三角形的腰。

如圖3，設∠A為頂角，以點A為圓心，AB為半徑作圓，分別與直線l1和直線l2相交于點P3，P4，P5，P6。

因為圓上任意一點到圓心的距離相等，所以AB=AP3=AP4=AP5=AP6，所以ΔP3AB，ΔP4AB，ΔP5AB，ΔP6AB為等腰三角形。

（3）設AB為等腰三角形的腰。

如圖4，設∠B為頂角，以點B為圓心，AB為半徑作圓，分別與直線l1和直線l2相交于點P7，P8，P9，P10。

同理，ΔP7AB，ΔP8AB，ΔP9AB，ΔP10AB為等腰三角形。

小結：該題首先可分為兩大類，一類是假設AB為等腰三角形的底邊，另一類是假設AB為等腰三角形的腰，第二類還可進行分類討論，一小類為設∠A為頂角，另一小類為設∠B為頂角。

4.4分類思想在解析幾何中的應用

解析幾何在高中數學中涉及分類討論也是非常多的，比如圓的位置的討論、在直線中斜率的存在問題。

例4：以坐標軸為對稱軸的橢圓，其長軸長是短軸長的2倍，且經過點A（2，0），求橢圓的標準方程。

分析：由橢圓的圖象可得到分類的依據是焦點在于橫軸還是縱軸，求橢圓方程的問題時需注意根據焦點的位置設不同方程，要遵循分類的不重不漏原則，千萬不能把哪一種情況漏掉，否則得出的答案是不完整的。

解：（1）當橢圓的焦點在x軸上時，設它的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）。

由題意得2a=2×2b

4a2+0b2=1，解得a=2

b=1。

則橢圓的方程為x24+y2=1。

（2）當橢圓的焦點在y軸上時，設它的方程為y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）。

由題意得2a=2×2b

0a2+4b2=1，解得a=4

b=2。

則橢圓的方程為x216+y24=1。

綜上，橢圓的方程為x24+y2=1或x216+y24=1。

小結：該題可分為兩大類進行求解，一類是橢圓的焦點在x軸上，另一類是橢圓的焦點在y軸上。

5分類思想的反思

分類思想是針對同一個問題的不同情況需要采用不同的方法對待，但這對分類思想的認識是遠遠不夠的。其實，數學中的許多思想可以說是哲學思想，分類思想方法就能體現這一點。

分類思想作為解決數學問題最基本的思維方式之一，對于解決數學問題起著非常重要的作用，它對于增強學生綜合性、探究性、邏輯性以及條理性等思維能力起著至關重要的作用。［9］

分類思想就是根據一定的原則將問題劃分成不同的情況，對每種情況下的問題進行深入的處理，分類思想不只是從學生中學階段就要滲透的思想，而且是從數學學習生涯開始就應當去滲透的思想。

參考文獻：

［1］胡琳玲.對中考復習中數學思想方法教學的探究——以分類討論思想為例［J］.數理化解題研究，2022（29）：1416.

［2］馬宗華.解析高中數學教學中的分類討論思想［D］.山東師范大學，2017.

［3］G·波利亞.數學的發現［M］.劉遠圖，譯.北京：科學出版社，1982.

［4］楊淑芳.分類討論思想在高中數學教學中的滲透策略研究［D］.信陽師范學院，2016.

［5］劉江華.分類討論思想在高一數學教學中逐步滲透的實踐探究［D］.河北師范大學，2013.

［6］劉鵬.分類討論思想在高中數學中的應用現狀與研究［D］.洛陽師范學院，2022.

［7］彭恩.分類討論思想在高中數學中的研究與應用［D］.信陽師范學院，2017.

［8］辛長紅.高中常用數學思想方法的教學探究［D］.延邊大學，2010.

［9］張先波.中學數學思想的培養研究［D］.華中師范大學，2019.

作者簡介：史周晰（2001—），女，陜西寶雞人，碩士研究生，研究方向：數學教育與數學應用；趙臨龍（1960—），男，陜西西安人，碩士，二級教授，研究方向：數學教育。