淺談高等數學中巧用“數形結合”的幾個實例

摘要：數與形是數學中最基本的研究對象，繼初等數學中的數形結合，高等數學中的數形結合更是平常教學和解題中常用的一種思想與方法。在高等數學教學與解題中巧妙合理地運用數形結合的方法，可以恰到好處地銜接中學數學與高等數學之間的知識聯系，幫助學生盡快從初等數學向高等數學過渡。充分合理使用數形結合的方法，有效分析教學和解題中遇見的問題，提高了高等數學的教學和解題效率，加深學生對知識的理解與記憶，又能培養學生“數”與“形”的認知能力與思維轉換能力，為后續的專業課程的學習打下堅實的基礎。

關鍵詞：數形結合；高等數學；思維能力

數與形是數學中最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化——“以形助數”或“以數解形”。在高等數學解題過程中，巧妙地運用數形結合的方法與思想進行教學和解題時，會使復雜的內容變得通俗易懂，極大地提高教學效率和解題速率，加深學生對知識的掌握。本文就幾種常用的“以形助數”的巧妙使用給出實例說明。

1在極限計算中的運用

極限是高等數學的敲門磚，很多同學被函數極限的計算弄得不知所措。合理使用數形結合的方法與技巧，會使解題思路變得清晰，及時掌握重難點。

1.1左右極限中數形結合的巧妙使用

例1：計算函數極限limx→∞e1x及limx→0e1x。

解析：利用“以形助數”，首先我們畫出u=1x與y=eu的函數圖形。

（1）首先，在圖1中容易看出x→±∞時左右兩邊的圖像都趨于0，即u→0，再觀察圖2，u→0時，y=eu→1，所以limx→∞e1x=1（見表1）。

1.2無窮小和無窮大中的數與形

在學習極限時會遇見一種利用“抓大頭”思想的題型∞∞，大部分教師喜歡說“向0跑得快或慢，向∞跑得快或慢”等類似的話。學生初次聽到這樣的話其實并不是很理解，實際上就是函數中分子分母的增長速度不同，利用“以形助數”就一目了然了。

例2：求limx→+∞lnxx。

解析：這是∞∞型。利用洛必達法則：

limx→+∞lnxx=limx→+∞1x1=0

但是部分教師會直接說“分子分母同時向無窮跑，但分子比分母跑得慢，所以結果為0”。就從這句話而言，學生很難領悟到其表達的真正含義。這時只要在同一坐標系中畫出y=x和y=lnx的圖形進行對比即可。如圖3，直觀上就能對比出兩個函數的增長情況。通過數與形之間的完美結合，就很輕易地解決了問題。

例3：函數f（x）=xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）在下列哪個區間內無界（）。

A.（-∞，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，+∞）

解析：這是一個選擇題，考查的實質就是判斷端點處的極限是否存在。那如何快速判斷出端點處的極限是否存在呢？

例如，計算limx→-∞xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）∞∞，如果用洛必達法則將很復雜。這時巧妙地選擇數形結合的方法將很快對極限結果進行判斷。首先，化簡可得limx→-∞xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）=limx→-∞-e1x-1ln（x-1）2（x-1）（x-2）∞∞，其中利用函數圖像可以分析x→-∞，e1x-1→1。同時x→-∞時，x2→+∞，從圖4中可以看出ln（x-1）2增長速度比二次函數（x-1）（x-2）慢得多。即分母向無窮跑得快，所以limx→-∞xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）=0。

2微分中隱藏的數形結合的典型例題

2.1函數中不可導的點

學習導數時，會有一種判斷函數在某一點處是否可導的題型。

例4：f（x）=x，在x=0處的可導性。

解：limh→0f（0+h）-f（0）h=limh→0h-0h=limh→0hh.

當h＜0時，hh=-1，故limh→0hh=-1；當h＞0時，hh=1，故limh→0hh=1；所以limh→0f（0+h）-f（0）h不存在，即函數f（x）=x在x=0處不可導.

x，x＞0，學生通過數形結合（圖6）很快就能判斷函數在x=0處不可導。無需再用定義判斷，大大節省了時間。

2.2數形結合在數軸上的巧用

數形結合不一定總是局限于利用函數的圖形和特性，比如在解題中巧妙地利用數軸，同樣可以使解題思路清晰，達到目的。

例5：若函數φ（x）有二階導數，且滿足φ（2）＞φ（1），φ（2）＞∫32φ（x）dx，證明ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0。

證明：存在η∈［2，3］，使得∫32φ（x）dx=φ（η）（3-2），又φ（2）＞φ（η），故η∈（2，3］。

在［1，2］上，對φ（x）使用拉格朗日中值定理，有φ′（ξ1）=φ（2）-φ（1）2-1＞0，ξ1∈（1，2）；

在［2，η］上，對φ（x）使用拉格朗日中值定理，有φ′（ξ2）=φ（η）-φ（2）η-2＜0，ξ2∈（2，η）（2，3）；

在［ξ1，ξ2］上，對φ（x）使用拉格朗日中值定理，有φ″（ξ）=φ（ξ2）-φ（ξ1）ξ2-ξ1＜0，ξ∈（ξ1，ξ2）（2，3）。

注5：這是微分中值定理的一個應用，多次使用拉格朗日中值定理即可。在證明過程中，通過借助在數軸上描述相應點的位置，幫助我們更好地找到所需要的范圍與取值，理清點之間的位置關系，使證明的思路有條有理，這也是數形結合的一種巧妙應用。

3積分學中的數與形

3.1積分學中隨處可見的數形結合

例6：求不定積分∫1x2-a2dx（a＞0）。

解：利用三角換元x=asect，可解出∫1x2-a2dx=ln（sect+tant）+C，利用三角形（圖6）得：sect=xa，tant=x2-a2a，所以原積分=lnxa+x2-a2a+C。

注6：為了把x換回去，就巧妙地利用了數形結合的方法，結合直角三角形的性質，直觀又通俗易懂。學生很快就能接受這種做法，并應用到其他的三角換元中。

3.2其他可利用數形結合的題目類型

在定積分中數形結合的使用更是比比皆是，例如求曲線所圍成的面積，區域D需要通過數與形來表示找到積分的上下限；曲線積分中的曲線路徑；重積分中的空間立體圖形等都利用了數形結合的思想與方法，從而快速確定積分所需要的量。

結語

數形結合的巧用既能達到事半功倍的解題效率，還能鍛煉學生“數”與“形”之間的思維轉換與銜接。在平時的教學與解題當中，一定還會發掘出更多巧妙使用數形結合的方法的地方，從而減輕學生學習和解題上的困擾。

參考文獻：

［1］張建華.數形結合在高等數學教學中的應用探討［J］.江西電力職業技術學院學報，2022，35（01）：5152+55.

［2］曹雅芳.淺談數形結合思想在“高等數學”教學中的應用［J］.廣東職業技術教育與研究，2021（05）：8587.

［3］李偉勛，王丹.數形結合思想在高等數學教學中的應用［J］.高師理科學刊，2020，40（11）：9497.

［4］同濟大學數學系.高等數學（第七版上、下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

作者簡介：產麗鳳（1991—），女，安徽安慶人，碩士，講師，研究方向：數學物理，高等數學教育學。

*通訊作者：程春（1991—），男，安徽合肥人，博士，講師，研究方向：非線性動力學。