淺論如何在高中數學教學中利用導數工具指導學生解題

摘 要：函數中的導數是一個非常重要的概念，它不僅是高等數學中微積分的基礎，而且是數學建模中解決數學問題的強有力的工具。在高考數學中，導數在分析函數的特性中扮演著重要的角色。文章主要研究了導數在高考數學中的應用，通過理論探討和案例分析，將重點聚焦于導數在函數單調性、最值和極值點判斷中的作用，以及展示了遞推解題方法在處理復雜函數導數問題中的實用性。文章旨在揭示導數在解決具體數學問題中的實際運用，以及如何通過這些題目來有效地教授和學習導數。這為高中教師在課堂教學中引導學生掌握導數方法提供了寶貴的經驗和參考，同時也為提高學生解答導數問題提供了理論支持和實踐指導。

關鍵詞：導數工具；導數中的遞推；學生解題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2024）26-0065-04

一、 研究背景

在高中數學教學過程中，導數的概念是函數中非常核心的一部分內容。作為高等數學中微積分學的一個基本工具，導數不僅在理論數學中占有重要地位，同時也在解決現實問題和數學建模中發揮著關鍵作用。導數的重要性體現在諸多方面。首先，導數是一種衡量變化的方式，是研究函數變化規律的重要手段，它能夠提供函數在各個點的斜率信息，從而揭示函數的變化趨勢和特性，幫助學生理解和預測各種變化過程。這種對函數的變化進行細致而全面的分析，對于解決實際問題和探索數學規律至關重要。其次，導數的概念貫穿于高中數學課程的始終，從初步的導數定義和求導法則，到高級的導數應用和微積分基礎，學生需要逐步掌握導數的相關理論和方法，這不僅對于后續深入學習數學、物理和經濟學等學科有著重要的鋪墊，也培養了學生的邏輯思維和問題解決能力。

在高中階段，導數的教學不僅是為了傳授數學知識本身，更是為了培養學生的抽象思維能力、問題解決能力和舉一反三的能力，鍛煉學生能夠將本學科的知識運用到交叉學科的能力。通過學習導數，學生能夠更好地理解函數，可以將導數的知識進行靈活的運用，例如在物理學科中通過速度和加速度的計算就是導數具體應用的體現。此外，導數還是理解高等數學中微積分學概念的基礎，為學生未來的數學學習打下了堅實的基礎。

導數的應用廣泛而深入。在物理學中，它被廣泛地應用于力學、描述物體的運動等領域，例如加速度是速度對時間的導數、速度是位移對時間的導數等。在經濟學中，導數通常被用于解釋經濟現象以及進行經濟預測。例如在微觀經濟學中，導數可以用來分析邊際成本、邊際收益等與供求關系相關的概念。在宏觀經濟學中，導數可以被用來描述國民經濟的增長速度、通貨膨脹率等指標的變化趨勢。

綜上所述，導數作為描述變化率的一種數學工具，在各個學科都有著廣泛的應用，不僅為學生理解現實中的現象提供了良好的理論依據，還為解決實際問題提供了重要的解題工具。

二、 研究目的

1. 分析導數在函數單調性、最值和極值判斷中的作用；

2. 探討導數的遞推法在高考數學中的應用。

三、 研究意義

在高中生的數學學習中，函數貫穿高中數學的始終，而導數是他們接觸到的函數中的重要內容之一。本研究的意義在于，為高中生數學學習提供了新的思路和方法，通過深入地研究導數，可以提高他們的數學應用能力，更好地應對高考中類似的問題，迎戰高考。同時，本研究也為教師引導學生掌握導數方法提供了寶貴的經驗和參考，幫助他們更好地引導學生的學習，提升教學效果，讓學生不僅能夠深入理解導數的概念和性質，更能夠培養他們抽象思維能力和邏輯推理能力，增強他們的問題分析和解決能力，同時也為提高學生解答導數問題提供了理論支持和實踐指導。

四、 基礎知識

（一）導數的定義

在數學中，導數是描述某一點處的瞬時變化率。在形式上，函數f（x）在x=x0處的導數定義為f′（x0）=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0，這個極限如果存在也表示函數f（x）在x=x0處的切線的斜率。

（二）導數與函數的單調性

導數在函數的單調性分析中起著重要的作用，但是在應用導數來判斷函數的單調性時需要捋清楚以下幾點關系，本文以增函數為例講解導數與函數單調性之間的關系，前提條件都是函數y=f（x）在定義域內是可導函數。

1. f′（x）>0與增函數的關系

若函數y=f（x）在定義域內有f′（x）>0，則函數f（x）在定義域內是增函數；但是f（x）如果是增函數，不能夠得出f′（x）>0。例如，y=x3它在實數域R上單調遞增，但是f′（x）≥0。綜上，f′（x）>0是y=f（x）為增函數的充分不必要條件。

2. f′（x）≥0與增函數的關系

若函數y=f（x）為增函數，則一定能推出f′（x）≥0，但是反之不一定成立，因為f′（x）≥0，包括 f′（x）>0和f′（x）=0兩種情形，但是f′（x）=0時該函數為常數函數，不存在單調性。所以，f′（x）≥0是函數為增函數的必要不充分條件。

3. f′（x）≠0時，f′（x）>0與增函數的關系

此時為充分必要條件。

綜上，學生需要把握好以上三條關系才能更好地理解導數與函數單調性的關系，通過導數的正負性可以很輕松快速地判斷函數的單調性，更好地把握函數的變化規律。對于減函數的情形以此類推。

（三）導數與函數的極值點

極值點的定義：若y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義，如果對于該去心鄰域內的任何x，恒有 f（x）<f（x0）（或者f（x）>f（x0）），則稱f（x0）為f（x）的一個極大值點（極小值點）。

函數的極值點是一個局部的概念，它是指函數在局部取得的最大值和最小值點。導數也可以用于判斷函數的極值點。如果在某點f′（x）由正變為負，則該點為y=f（x）的極大值點；相反地，如果在某點f′（x）由負變為正，則該點為y=f（x）的極小值點。

五、 實例分析

本文選擇2018年高考數學全國3卷理科21題，這是一道涉及函數、導數、不等式等知識的綜合壓軸題，主要考查利用導數工具判斷函數的單調性、最值、極值點的方法，同時也考查了學生對復雜概念的理解和運算求解的能力，下面具體看一下這道例題。

（一）導數的應用

【例1】 已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x。

（1）若a=0，證明：當-1<x<0時，f（x）<0；當x>0時，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a。

解：（1）當a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，f′（x）=ln（1+x）-x1+x。

設函數g（x）=f′（x）=ln（1+x）-x1+x，則g′（x）=x（1+x）2。

當-1<x<0時，g′（x）<0；當x>0時，g′（x）>0。故當x>-1時，g（x）≥g（0）=0，且僅當x=0時，g（x）=0，從而f′（x）≥0，且僅當x=0時，f′（x）=0。

所以f（x）在（-1，+∞）單調遞增。

又f（0）=0，故當-1<x<0時，f（x）<0；當x>0時，f（x）>0。

（2）（ⅰ）若a≥0，由（1）知，當x>0時，f（x）≥（2+x）ln（1+x）-2x>0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點矛盾。

（ⅱ）若a<0，設函數h（x）=f（x）2+x+ax2=ln（1+x）-2x2+x+ax2。

由于當｜x｜<min1，1｜a｜時，2+x+ax2>0，故h（x）與f（x）符號相同。

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點當且僅當x=0是h（x）的極大值點。

h′（x）=11+x-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）（2+x+ax2）2=x2（a2x2+4ax+6a+1）（x+1）（ax2+x+2）2。

如果6a+1>0，則當0<x<-6a+14a，且｜x｜<min1，1｜a｜時，h′（x）>0，故x=0不是h（x）的極大值點。

如果6a+1<0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故當x∈（x1，0），且｜x｜<min1，1｜a｜時，h′（x）<0，所以x=0不是h（x）的極大值點。

如果6a+1=0，則h′（x）=x3（x-24）（x+1）（x2-6x-12）2。則當x∈（-1，0）時，h′（x）>0；當x∈（0，1）時，h′（x）<0。所以x=0是h（x）的極大值點，從而x=0是f（x）的極大值點。

綜上，a=-16。

評注：此題第（1）問也可以f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x2+x，令g（x）=ln（1+x）-2x2+x，因為2+x>0，判斷g（x）的符號即可，只需求導一次。第（2）問切入容易，但深入較難，答案法的技巧性強，特別是“故x=0是f（x）的極大值點當且僅當x=0是h（x）的極大值點”，學生難以想到。

（二）第（2）問的常規解法探究

已知極值點求參數，一般只需要代入f′（0）=0即可求出參數，再代入檢驗。但這道題f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+ax2-x1+x，f′（0）=0恰成立，無法求出參數。考慮到是極大值點，f′（x）在0附近要左加右減，于是f′（x）要在0附近單調遞減，考慮f（x）的二階導數f″（x）=2aln（1+x）+3ax2+（4a+1）x（x+1）2，即 f″（x）要在0附近為負值。但這題同樣有f″（0）=0，于是轉化為f″（x）要以0為極大值點，又回到了開頭的情形。用圖示表示為：

可見，0處的各階導數恰為0，導致問題進入了一個循環。若出現0處的某階導數不恰為0，則可令其小于（大于）0或等于0，小于（大于）0的時候不需要檢驗（是充要條件），而等于0的時候則需要再檢驗兩邊的符號。

我們接著看這道題，現在f″（x）要以0為極大值點，于是f（0）=0且要在0附近左加右減，f（x）=2ax2+（6a-1）x+6a+1（x+1）3，f（0）=6a+1，不再恰為0，結束循環，令f（0）=0得a=-16，代入檢驗，f（x）=-13x（x+6）（x+1）3，滿足在0附近左加右減，符合題意。綜上：a=-16。

類似題還有2016年高考數學山東文20題第（Ⅱ）問：

【例2】 設f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R。

（Ⅱ）已知f（x）在x=1處取得極大值。求實數a的取值范圍。

解：f′（x）=lnx-2ax+2a，f′（1）=0恰成立，于是需二次求導f″（x）=1-2axx，f″（1）=1-2a，不再恰為0。令f″（1）<0，即a>12，則f′（x）在1附近遞減，又f′（1）=0，于是滿足題意。

令f″（1）=0，即a=12，此時f″（x）=1-xx，經檢驗應舍去。

評注：這道題之所以比2018年高考數學全國3卷理科21題簡單，是因為f″（1）已經不再恰為0，不需要再次求導。

其實，在一些導數恒成立問題中也存在這種遞推關系。

（三）導數恒成立問題中的遞推

【例3】 （2011年高考數學新課標理科21題）設函數f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。

解：（1）a=0時，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。

當x∈（-∞，0）時，f′（x）<0；

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）單調減少，在（0，+∞）單調增加。

（2）f′（x）=ex-1-2ax。

由（1）知ex≥1+x，當且僅當x=0時等號成立。

故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而當1-2a≥0，

即a≤12時，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是當x≥0時，f（x）≥0。

由ex&gt;1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0），從而當a>12時，f′（x）<ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），

故當x∈（0，ln2a）時，f′（x）<0，而f（0）=0，于是當x∈（0，ln2a）時，f（x）<0，綜合得a的取值范圍為-∞，12。

答案中用到第一問的結論進行放縮，雖然這是合理的，但對大部分同學來說，仍然是難以想到的。若不用放縮，我們發現這題在端點0處函數值恰為0，思路用圖示表示為：

f（x）≥0在x∈［0，+∞）恒成立若f（0）=0恰成立f′（x）需在0右邊附近為正值，即 f′（0）≥0若f′（0）=0恰成立需f″（0）≥0若f″（0）=0恰成立需f（0）≥0……

可見，端點0處恰成立與0處的各階導數恰為0，導致問題進入了一個循環。

解：f（0）=0恰成立，求導得f′（x）=ex-1-2ax，發現f′（0）=0恰成立，于是二階求導，f″（x）=ex-2a，f″（0）=1-2a，不恰為0，于是不需要再求導，令f″（0）≥0，得a≤12（注意這只是必要條件，充分性還需要檢驗）。當a≤12時，f″（x）=ex-2a≥0，于是f′（x）=ex-1-2ax在［0，+∞）上單調遞增，又f′（0）=0，于是f′（x）≥0，即f（x）在［0，+∞）上單調遞增，又f（0）=0，于是f（x）≥f（0）=0。

下面的題目留給讀者練習：

1. （2010年新課標文科21題）設函數f（x）=x（ex-1）-ax2。

（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。（答案：（-∞，1］）

2. （2018年北京理科18題）設函數f（x）=［ax2-（4a+1）x+4a+3］ex。

（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍。（答案：12，+∞）

六、 總結與展望

導數在數學的學習中具有重要的作用，特別是在函數的單調性、最值和極值點的應用中，我們可以通過導數的正負性、零點和變化趨勢迅速地判斷函數具體的變化情況。恒成立問題是近幾年高考中常出現的問題，這類問題的難度較大，考查的知識點較綜合，可能會涉及函數與方程、分類與整合等數學思想。需要教師在平時的授課中注意引導學生總結與提煉解題方法，以提升學生的數學應用能力與解題能力。

參考文獻：

［1］杜中文.導數與函數的單調性［J］.考試周刊，2011（56）：78.

作者簡介：楊培斌（1985～），男，漢族，安徽潛山人，安徽省懷寧縣新安中學，研究方向：高中數學教學、高中教育教學管理。