基于數感培養的自然數概念教學素材思考與實踐

［摘 要］自然數概念素材的選擇與應用對數感的培養與發展具有重要影響。以“千以內數的認識”教學為例，先對比分析不同版本教材中的相關內容，厘清素材的不同類別，然后分解自然數概念和數感內涵，確定每個數感內涵的層級目標，最后挑選出與之對應的教學素材，設計不同層級的學習任務以培養學生數感。

［關鍵詞］教學素材；數感；自然數；概念

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）20-0032-04

素材是激發學生建構數學思維、發展數學能力的關鍵元素，探索學生核心素養的提升路徑離不開對數學素材的結構化整合與運用。整理和開發數學素材不僅能為新的教學設計提供靈感，還能激發教師在實踐過程中對數學素材的深入反思，幫助教師理解學生運用素材進行數學學習的過程，從而更加規范地選擇和使用相應的數學素材。在培養學生數感的層次性和深刻性方面，選擇合適的素材至關重要。同時，如何運用與數學內容相關的素材以實現每個層次的教學目標，也是教學設計中的關鍵問題。下面以“千以內數的認識”為例，闡述如何通過不同素材逐步培養學生的數感。

一、依據課標要求，對比分析教材，厘清素材類別

教學素材是教學內容的各種形式的載體，可以是來自現實生活、已學的數學知識，也可以是其他學科的知識。

“千以內數的認識”是二年級下冊的內容，為進一步厘清其素材類別，筆者統計了各版本教材在數的認識中使用的素材，并進行歸納整理。

第一類，實物素材：取材于生活真實情景，與數一一對應。

第二類，圖像素材：包括點子圖、手指圖、珠子、單根小棒、方塊等，與數一一對應，剝離了實物的外形特征，抽象出了事物表個數的表象。

第三類，結構化素材：包括計數器、算盤、成捆的小棒等，以一代多，不同形式或位置的素材對應不同計數單位。

第四類，順序化素材：包括數軸、直尺等，突出數的排列順序。

第五類，拓展性素材：包括人民幣、青豆、時鐘等，從貨幣、質量、時間等層面感知不同的計數單位。

第六類，發展性素材：包括算籌、結繩計數法、瑪雅數字等，展現不同計數法和不同進制。

另外，筆者對各版本教材如何使用素材進行對比發現：

第一，十進制計數法是自然數概念的核心。為使學生感悟位值制，各版本教材對于10，100，1000，10000等數選取了可以“以一代十”“以一代百”的模型，強調個、十、百等計數單位的區別。到了千以內、萬以內、萬以上數的認識，部分教材舍去了實物、圖像素材，只利用結構化素材構建對數的認知。

第二，各版本教材均借助直尺模型或數軸雛形來讓學生體驗數的順序。

第三，各版本教材的練習或課后實踐作業中均涉及拓展性素材，如人民幣、青豆、方格圖等模型，幫助學生從更多層面感知數的意義。

第四，各版本教材在課堂導入或練習、課外拓展等環節中均涉及對實物數量的估測。

第五，對于一千的認識，人教版、蘇教版、冀教版、浙教版教材都側重從結構化素材上塑造一千，重視“10個一百是一千”的教學，強調十進制概念。北師大版、青教版、北教版教材先編排了利用方塊或計數器展示九百九十九添1是一千的過程，再進行“10個一百是一千”的教學。

二、分解概念內涵，細化層級目標，找準對應素材

“數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟。”同時，自然數概念的內涵是豐富的。弗賴登塔爾提出，數的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數的數、數量的數、度量的數以及計算的數。教師可以結合教學素材，幫助學生更好地理解數的意義，培養他們的數感。

第一，針對學生對20以內數的熟悉程度，可以在百以內、千以內、萬以內數的認識中，引入實物素材或圖像素材，以豐富學生對大數的感知，幫助學生建立不同量級的數的表象。比如，可以通過實物或圖像展示百、千、萬的規模，給學生留下直觀的印象。

第二，利用數軸與圖像素材或結構化素材，幫助學生建立數的序數意義。例如，可以通過數軸展示十進制的概念，使學生更好地理解相鄰計數單位之間的關系。

第三，在教授新課時，可以適當加入拓展性素材，進一步豐富學生的數感。例如，可以通過一些實際生活中的例子，讓學生更好地理解數的意義和應用。

第四，估數是學生感知數量變化的重要方式，可以通過結構化整理和估數任務的設計，幫助學生更好地感知從一到十、從十到百、從百到一千的累積變化過程，培養他們的數感。

第五，“千”的概念構建需要實物或圖像素材的支撐，可以先通過“九百九十九添1是一千”的教學，使學生形成對千的具體表象，再通過結構化素材進行“10個一百是一千”的教學，幫助學生構建計數單位千的模型，更好地理解十進制中相鄰計數單位的關系。

基于這些思考，筆者將數感內涵對應每個層級自然數概念的目標及使用素材歸納如下（見表1）。

因為前兩個數感內涵有相互交叉的內容，所以可以將其內容融合到1個課時，后兩個數感內涵的相關內容可作為新課或課外拓展課，各安排1個課時。下面重點討論第1課時。

三、把握學生認知起點，挑選對應教學素材，設計不同層級學習任務

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，圍繞教學任務，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材；注重情境的多樣化，讓學生感受數學在現實世界的廣泛應用，體會數學的價值。在學習千以內數的認識之前，學生已經學習了一位數、兩位數和100。學生對三位數已經有了哪些認識？能用什么素材表示三位數？學生對千有什么認識？為此，筆者對某個班的48名學生進行了學前調研。

調查結果顯示，部分學生能將學習100以內的數的知識經驗遷移至三位數的學習，但僅能感知到三位數代表幾個計數單位的集合，且對其具體數量的感知較為片面，也難以聯想到數的其他意義。因此，在數的概念教學中，借助不同素材對數的意義進行建構顯得尤為重要。基于學生的認知水平、學習目標的具體要求以及對教學素材的選擇，本節課設計了三個層級的學習任務。

（一）多類素材表征，理解數意

為了幫助學生從更多層面建立數的組成模型，筆者選取了小方塊、小棒、計數器、人民幣、數軸等素材豐富學生對數的表征，讓學生多維度感受數的意義。

【學習任務1】多形式表征三位數，深化對計數單位和位值的理解

[活動1：用結構化素材、順序化素材表征數]

師（課件展示400 555 860 986）：老師給大家準備了小棒、小方塊、計數器、人民幣、數軸。請想辦法把這些數表示出來。

生1：我用1根小棒表示100，擺4根小棒，就是400。

生2：我用的是小方塊，1個小方塊代表100，擺4個就是400。

生3：我用的是計數器，在百位撥4顆珠子，表示4個一百，就是400。

生4：我用的是人民幣，4張100元就是400。

生5：我用的是數軸，一大格是100，4大格就是400。

師：有沒有表示其他數的？

生6：先擺5個百，然后擺5個十，再擺5個一，就是555。

師：誰能用計數器撥出555？

生7：先在個位撥5顆珠，再在十位撥5顆珠，最后在百位撥5顆珠，合起來就是555。

師：仔細看看555這個數，它是不是有點特別？

生8：對，它的個位、十位、百位都有5顆珠。

師：都是5顆珠子，它們表示的意思一樣嗎？

生9：不一樣。個位上的5顆珠表示5個一，十位上的5顆珠表示5個十，百位上的5顆珠子表示5個百。

[活動2：多維度表征數]

師：365可以表示生活中的什么？

生1：長度365米。

生2：365元。

生3：一年有365天。

師：數學中，365表示什么？

生4：365表示3個一百和6個十、5個一。

師（出示素材圖，略）：你們看圖中的365，有什么發現？

師：樓高365米意味著極高，收入365元則相對微薄，365天時間跨度較長，而365千克則顯得相當沉重。這表明，在學習千以內數值時，我們不僅需要掌握其組成和讀寫方法，還需要將數值置于生活情境之中，理解它們所承載的多元含義。

（二）由一一對應到結構表征

數數內涵豐富而深刻，它貫穿整個小學數學的教學。通過數數活動，學生能夠加深對不同計數單位的理解，同時構建不同三位數的形象，并鍛煉讀寫數的技能。學習任務2主要以數數活動為載體，利用結構化的素材來表征和呈現數的概念。

【學習任務2】點子表征，長度估計，方塊進位，感悟一千

[活動1：多種方法數數，體驗九百九十九添1是一千]

師（出示有999個點的點子圖）：怎么才能知道這里面有多少個點？

生1：一個一個地數。

生2：十個十個地數。

生3：一百個一百個地數。

師：誰的方法比較好？

生4：生3，因為一百一百地數比較快。

（生3上臺數數，他先數出一行10個點，10行就是100個點，圈出100，一百一百地數，100，200，300，…，900）

師：怎么停下來了？

生3：因為剩下的不夠100了。

師：那怎么辦？

生3：十個十個地數。10，20，30，…，90。

師：怎么又停下來了？

生3：因為剩下的不夠10了。

師：又該怎么辦？

生3：一個一個地數。1，2，3，…，9。因此，這幅點子圖一共有999個點。

師：還有比999更大的三位數嗎？

生4：沒有了。因為999再加1個一就是最小的四位數1000。

師：所以最大的三位數是九百九十九。剛才有同學說用計數器表示的話，九百九十九再添上1顆珠子就是四位數了，請試一下。

（學生邊說邊演示連續“滿十進一”的過程，最后只剩千位上有1顆珠子）

師：現在計數器表示的數是多少？

生5：一千。

[活動2：結合數軸，感受計數單位“千”]

師（出示一條線段，略）：如果這條線段表示100，那1000大約有多長呢？

生1：10個一百的長度。

師：請數數看。

生2：100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000。

師（出示一條線段，略）：如果這條線段表示10，那么1000大概有多長？

生3：100個10。

師（出示一條線段，略）：如果這條線段表示1，那么你能用手表示出1000嗎？

生4：不能，1000里有1000個一，太長了。

師（課件呈現：把線段變成數軸。如圖1所示）：數軸上有多少個圓點？估一估。

生5：1000。

師：你怎么知道是1000？

生5：圓點明顯比100多，一個框里有100個，每個框都有十行，每行10個，10個十是100。

師：你真會觀察，一個框里剛好有100個圓點的秘密被你發現了。那1000里有幾個10呢？

生5（邊數邊在課件上演示1個圓點、2個圓點……10個圓點蓋在方陣上：10個十、20個十、30個十、40個十、50個十、60個十、70個十、80個十、90個十、100個十）：1000里有100個十。

【活動3：方塊、計數器數數，再次感悟計數單位“千”】

師：你能從1數到1000嗎？一個一個地數到一千，你覺得怎么樣？

生1：太慢了。

生2：先一個一個地數，再十個十個地數。

師：一個小方塊代表1，接下來我們先一個一個地數。

生3：1，2，3，…，8，9，10。

師：10個一是一十。

師：接下來你們還是打算一個一個地數嗎？

生4：不，十個十個地數。10，20，30，…，80，90，100。

師：10個十是一百。接下來怎么數？

生5：一百一百地數。100，200，300，…，800，900，1000。

師：10個一百是一千。

師：你能在計數器上從1撥到1000嗎？

生6：個位上先撥1顆珠子，就是1；個位上再撥9顆珠子，滿十進一，就是10；百位上拔1顆珠子，就是100；百位上再撥9顆珠子，滿十進一，即向前一位進一。

師：你知道這一位是什么位嗎？

生6：千位。

師：通過三次滿十進一才得到一千，這說明一千很大。

在活動二中，學生被要求分別以100、10、1為單位，用線段來估計1000的長度。這樣做的目的是讓學生通過將數值轉化為長度，從而直觀地看到數值大小與數值之間進率的關系，進而體會和理解十進制體系。同時，估計的過程能使學生在簡單的情境中獲得合理估算的能力。若學生能對數量的多少有一個大致的感受，并估出物體的大致數量，就說明他們已經構建了1、10、100、1000等數值的表象。在后續的數數練習中，筆者又增加了先估計數值、再進行數數的訓練，以增強學生對數字的敏感度。為了引導學生進一步學習，筆者還開展了數方塊和撥計數器的活動。與點子圖相比，方塊和計數器更能清晰地表達出位值制的概念，并且能夠直觀地展示十進制中“千”這個計數單位的由來，以及它與之前學習的其他計數單位之間的關系。

綜上，對教學素材的整理和分類能夠幫助教師整合資源，有效地培養學生的數感，也回答了“如何對數學內容相關的素材進行結構化整合來實現數感每個層次的目標”的問題。“千以內數的認識”教學課例探索了如何在課堂教學實踐中有效利用教學素材，以助力學習目標的有效達成，在回答“有什么用”的同時也指明了“該怎么做”。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 劉加霞.小學數學概念實質分析：以自然數為例[J].新教師，2014（11）：31-32.

[3] 劉加霞.小學生數數活動的教育意蘊[J].湖北教育（教育教學），2021（6）：36-38.

（責編 吳美玲）