淺談三角形的外心和內心

三角形的外心和內心與軸對稱圖形、三角形、圓等都有一定的知識聯系，加上近年來比較熱點的“用無刻度直尺畫圖”與之也聯系甚密，成為初中數學考試中的高頻考點，引起了數學教師的高度重視。在初中階段，教學三角形的外心和內心時，必須抓住它們的本質和來源，注重靈活運用其他與之相關的數學知識和技能，采用變式的手段，加深學生對這兩個概念的理解。

一、確定三角形的外心和內心

依據三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，三角形的內心是三角形三個內角平分線的交點，可以確定三角形的外心和內心。

（一）作圖確定三角形的外心和內心

1.外心

作三角形兩邊的垂直平分線，其交點就是三角形的外心。如圖1所示，在△ABC中，分別作BC、AB的垂直平分線PQ、MN，PQ與MN交于點O，則點O就是△ABC的外心。

2.內心

作三角形兩個內角的平分線，其交點就是三角形的內心。如圖2所示，在△ABC中，分別作∠ABC、∠ACB的平分線BD和CE，BD與CE交于點I。則點I就是△ABC的內心。（二）借助網格圖找三角形的外心和內心

1.外心

（1）利用兩邊的垂直平分線的原理作出外心。

例1.如圖3所示，△ABC的頂點坐標分別為A（0，2）、B（1，3）、C（3，3），僅用無刻度的直尺作出外心的位置。外心的坐標為_______。

分析：BC的垂直平分線就是直線x=2;A（0，2）、B（1、3）兩點恰好在一個網格正方形的對角上，線段AB的垂直平分線為直線y=-x+3。用無刻度的直尺畫出來，兩條直線交于點O，則0點就是外心，其坐標為（2，1），如圖4所示。

（2）利用外心到三角形三個頂點的距離相等作出外心。

例2.如圖5所示，△ABC的頂點坐標分別為A（1，1）、B（7，3）、C（3，5）。在圖中找出△ABC外心D的位置。

2.內心

（1）在網格圖中，依據內心是角平分線的交戰，構造軸對稱圖形，作出角平分線，從而作出三角形的內心。

例3.如圖7所示，△ABC的頂點坐標分別為A（6，8）、B（0，5）、C（10，0）。在圖中找出△ABC內心，的位置。

分析：在圖中構造格點△BDE，根據三線合一得到∠ABC的平分線；為了畫∠ACB的平分線，構造一個格點四邊形CGHF，這個四邊形是一個軸對稱圖形，連接CH并延長便得到∠ACB的平分線。兩條角平分線的交點就是△ABC內心，的位置，I點的坐標是（5，5），如圖8所示。

（2）在網格圖中，依據內心是角平分線的交點，結合等弧所對的圓周角相等，作出角平分線，從而作出三角形的內心。

例4.圖9是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC為⊙O內接三角形，A、B、C均在格點上。僅用無刻度的直尺畫出△ABC的內心I。

分析：在圖中可以直接找到一個含有頂點C的格點等腰三角形，所以可以輕松地畫出∠ACB的平分線CD；可是要畫∠BAC或∠ABC的平分線就存在很大的困難了。需要先找出△ABC的外心O，再找出弦AC的中點M，連接OM并延長交⊙O于點E，連接BE，則BE為∠ABC的平分線。CD與BE的交點即為△ABC的內心I，如圖10所示。

二、求三角形外接圓的半徑

（一）直角三角形

直角三角形的外心是斜邊的中點，所以直角三角形的外接圓的半徑就是斜邊的一半。

（二）等腰三角形

等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形的外心在其頂角的平分線上。構造直角三角形，利用勾股定理可求出外接圓的半徑。

例5.如圖11所示，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm。求△ABC外接圓的半徑。

分析：等腰三角形外心在頂角平分線上，作出頂角平分線AD，則AD是等腰△ABC底邊BC的中線，同時也是高。則BD=5cm，可算出AD=12cm。當OA=OB=r時，易得r=169/24。

對于一般的三角形，求其外接圓半徑時，先畫出其外接圓，如圖13所示，然后利用直徑所對的圓周角是直角，畫出直徑，構造直角三角形。將原三角形一邊和它的對角轉化為直角三角形的一對邊和角，利用三角函數求外接圓的半徑。

例6.如圖13所示，已知：△ABC中，AB=13cm.BC=15cm.AC=14cm。求△ABC外接圓的半徑。

（二）一般三角形

給出一個三角形的三邊，先求出一邊上的高，計算出該三角形的面積，然后利用面積法求出三角形內切圓的半徑。