經歷探究過程，發展推理意識

［ 摘 要 ］為了讓學生經歷探究過程，發展推理意識，研究者以“有趣的乘法計算”為例，讓學生在探究活動中經歷猜想、驗證、歸納、運用等過程，逐步培養他們的獨立思考、邏輯推理以及解決問題的能力。

［ 關鍵詞 ］乘法計算；探索規律；推理意識

基于培養學生核心素養的數學教學，探究式學習與推理意識的培養已成為數學課堂的主旋律。在小學數學教學中，教師通過設計富有挑戰性的問題情境，引導學生主動參與解決問題的過程，不僅能夠幫助他們深入理解數學知識，更能有效發展其批判性思維、創新意識以及解決問題能力。

一、探究兩位數與11相乘的乘法規律

教材的第一個環節是引導學生探索兩位數乘11的計算規律。教師要求學生先用豎式計算24×11、53×11、62×11的積，將乘積的每位數字與原來的兩位數進行比較，在比較中初步發現：當一個兩位數乘以11時，乘積的個位就是原來兩位數的個位數，乘積的百位就是原來兩位數的十位數，而乘積的十位就是原來兩位數個位與十位上的數相加的和；然后，讓學生應用發現的規律完成一組兩位數乘11的計算，并用豎式計算進行驗證。由于這一系列計算中有兩道題原來兩位數個位與十位上的數相加后滿10了，所以乘積對應的十位、百位數字也發生了變化。通過這組試題的計算以及相應的討論和交流，學生可以進一步加深對兩位數乘以11的計算規則的理解。

1.觀察現象

師：（課前播放《最強大腦》的微視頻）同學們，看了這個視頻，你們有什么想說的？

生1：我覺得他們算得好快，一眨眼就算出結果了。

師：最強大腦用的是心算，通過這節課的學習，你們也能擁有最強大腦的超能力。同學們，在兩位數乘兩位數的計算中，有很多有趣的規律。（出示乘法算式：24×11、53×11、62×11）老師和你們比一比，老師用心算，你們用豎式計算，看看誰算得快？（教師已經做完3道題，很多學生連1道題都沒算好）你們可以用計算器來檢查一下老師做的題。

生2：24×11=264，53×11=583，62×11=684。

2.建立猜想

師：同學們，請你們仔細觀察三個算式的乘數，你們發現了什么？

生3：我發現三個算式都是兩位數乘11。

師：我們看24×11=264、53×11=583、62×11=684三個算式的結果，你們發現得數的個位、十位和百位是怎么得來的？你們能結合乘法算式來具體說說嗎？

生4：比如24×11，得數的個位是4乘1，得數的十位是2加4，得數的百位是2乘1；53×11，得數的個位是3乘1，得數的十位是5加3，得數的百位是5乘1；62×11，得數的個位是2乘1，得數的十位是6加2，得數的百位是6乘1。

師：你能用一句話來概括兩位數乘11的規律嗎？

生4：我發現兩位數乘11，乘積的個位就是原來兩位數的個位數，乘積的百位就是原來兩位數的十位數，乘積的十位就是原來兩位數個位與十位上的數相加的和。

3.驗證猜想

師：是不是所有的兩位數乘11都有這樣的規律？請你們根據剛才的發現算一算23×11、64×11、59×11，并通過豎式計算驗證結果。誰來說說你是怎么計算的？

生5：23×11=252，得數的個位是2乘1是2，得數的十位是2加3是5，得數的百位是2乘1是2；64×11=704，得數的個位是4乘1是4，得數的十位是6加4是10，得數的百位是6乘1是6，十位滿10要向百位進1；59×11=649，得數的個位是9乘1是9，得數的十位是5加9是14，得數的百位是5乘1是5。

師：這些結果和計算器得數一樣嗎？

生（齊聲答）：一樣。

師：誰再來總結一下兩位數乘11的規律嗎？

生6：我發現了兩位數乘11，乘積的個位就是原來兩位數的個位數，乘積的百位就是原來兩位數的十位數，乘積的十位就是原來兩位數個位與十位上的數相加的和。

生7：我還有補充，我發現哪一位滿10就向前一位進1。

在教學中，教師巧妙地用一段微視頻吸引學生的注意力，引發他們對乘法計算的興趣。為了促使學生深入探究兩位數乘11的計算規律，教師組織學生開展比賽活動，鼓勵學生通過觀察、思考和驗證來發現規律，這樣不僅激發了學生的主動性，還培養了他們的邏輯思維能力和科學探究精神。隨著探究的深入，學生不斷驗證自己的猜想，有的學生通過舉例來檢驗猜想的正確性，有的學生通過邏輯推理來完善自己的猜想。在這個推理的過程中，學生不僅學到了數學知識，還學會了科學探究、發現問題、提出問題和解決問題。

二、探究十位相同且個位和是10的乘法規律

教材的第二個環節是引導學生探索十位相同且個位上的數相加都等于10的兩個兩位數相乘的計算規律。教師繼續引導學生經歷猜想和驗證的過程，并出示22×28、35×35、56×54等一系列試題，要求學生說出這些算式的共同特點，學生在計算、觀察、比較后初步發現：當十位相同且個位上的數相加等于10的兩個兩位數相乘，乘積的后兩位是兩個乘數的個位數字相乘的積；后兩位前面的數等于原來的兩個十位上的數與比它大1數的乘積。在此基礎上，教師讓學生先應用發現的規律直接寫出一組算式的得數，然后通過豎式計算加以驗證，從而進一步確認規律和初步體會規律的應用價值。

1.自主驗證

師：同學們，剛才老師帶著大家探究兩位數乘11的規律，現在請你們先獨立探究，然后在小組里分享你們的探究成果。（教師巡視并觀察學生的探究情況，指導探究有困難的學生）

師：每個小組都在積極分享自己的研究成果，哪個小組來說一說你們是怎么研究的？

生1：我們先用豎式計算了22×28=616、35×35=1225、56×54=3024，然后發現這三道乘法算式的特點是兩個乘數十位上相同，而且兩個乘數的個位上的數相加等于10。這三道乘法算式的得數是后兩位等于兩個乘數個位上的數相乘，后兩位前面的數等于原來的兩個十位上的數與比它大1數的乘積。比如22×28=616，后兩位是2乘8等于16，后兩位前面的數是2乘3等于6；35×35=1225，后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數是3乘4等于12；56×54=3024，后兩位是6乘4等于24，后兩位前面的數是5乘6等于30。所以我們小組總結出的規律是：當十位相同且個位上的數相加等于10的兩個兩位數相乘，乘積的后兩位是兩個乘數的個位數字相乘的積；后兩位前面的數等于原來的兩個十位上的數與比它大1數的乘積。

生2：我們小組還舉了一些例子，比如47×43，后兩位是7乘3等于21，后兩位前面的數是4乘5等于20，所以47×43=2021；26×24，后兩位是6乘4等于24，后兩位前面的數是2乘3等于6，所以26×24=624；79×71，后兩位是9乘1等于9，后兩位前面的數是7乘8等于56，但是我們對79×71估算結果大約是5600，所以不滿兩位的數要在前面補0，79×71=5609。

生3：比如乘法算式34×36，按照剛才我們發現的規律要這樣計算：后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數是3乘4等于12，所以34×36=1224。我們小組還通過畫圖來驗證十位相同且個位上的數相加等于10的兩個兩位數相乘的規律，畫了每行有34個小正方形和每列有36個小正方形的大長方形，并分成了這樣四部分：左上角部分表示30×30，右上角部分表示4×30，左下角部分表示30×6，右下角部分表示4×6。我們把右下角部分4×6保持不變，這就是后兩位是4乘6等于24；把30×30、4×30和30×6合并起來是40個30，也就是后兩位前面的數是3乘4等于12。

2.運用規律

師：（出示題目：15×15、43×47、69×61）大家從不同角度猜想并驗證了十位相同且個位上的數相加都等于10的兩個兩位數相乘的計算規律，現在我們就運用剛才發現的規律來算一算。

生4：15×15，后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數是1乘2等于2，所以15×15=225；43×47，后兩位是3乘7等于21，后兩位前面的數是4乘5等于20，所以43×47=2021；69×61，后兩位是9乘1等于9，后兩位前面的數是6乘7等于42，所以69×61=4209。

師：同學們，學到這里，你們能總結十位相同且個位上的數相加都等于10的兩個兩位數相乘的計算規律嗎？

生5：當十位相同且個位上的數相加等于10的兩個兩位數相乘，乘積的后兩位是兩個乘數的個位數字相乘的積；后兩位前面的數等于原來的兩個十位上的數與比它大1數的乘積。

在教學中，教師精心設計了一份學習單，列出了一組十位數字相同且個位上的數相加等于10的兩個數相乘的乘法算式，鼓勵學生從獨立發現并總結數學規律。學生經歷觀察現象、提出猜想并驗證猜想等過程，通過對結果進行分析對比，逐步形成了自己的初步猜想。在整個自主探究的過程中，學生的推理意識得到了充分鍛煉和發展，不僅學會了細致觀察、大膽猜想，還學會了嚴謹求證，反復驗證自己的想法是否符合所有同類問題的規律。在經歷了一番深入思考和反復驗證后，學生成功發現了這類乘法運算的規律，并能夠運用自己發現的規律快速準確地解答類似的問題。

三、探究（a-1）（a+1）和a×a的乘法規律

教材的第三個環節是引導學生進一步探索如（a-1）（a+1）的乘法算式與如a×a的乘法算式的關系。教師完全放手，鼓勵學生通過觀察、計算、比較，在明確此類計算的共同特征的基礎上，主動發現此類計算的規律，在探索規律和鍛煉數學思維中進一步積累學習經驗。

師：（出示題目：24×26和25×25，44×46和45×45，74×76和75×75）同學們，請你們直接寫出各題的得數，并比較每組的兩道題，說一說有什么發現？

生1：這六道乘法算式都是十位相同且個位上的數相加等于10的兩個兩位數相乘。24×26的后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數是2乘3等于6，所以24×26=624；25×25的后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數是2乘3等于6，所以25×25=625；44×46的后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數是4乘5等于20，所以44×46=2024；45×45的末兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數是4乘5等于20，所以45×45=2025；74×76的后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數是7乘8等于56，所以74×76=5624；75×75的后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數是7乘8等于56，所以75×75=5625。

師：同學們，請你們觀察這里的三組算式，你們發現了什么？

生2：我發現了每組每一題的兩個乘數分別比第二題的乘數少1。

生3：我發現了每組兩道題的乘積都相差1。

生4：我認為可以看成24×26=25×25﹣1，44×46=45×45﹣1，74×76=75×75﹣1。

在這個教學片段中，教師采用了啟發式和實踐性的教學方法。首先，教師讓學生分別嘗試計算幾組這樣的乘法題目，引導學生運用十位相同且個位上的數相加等于10的兩個兩位數相乘的規律計算得到結果；然后，進一步引導學生比較每組算式中乘數和積的變化規律，逐漸發現這類乘法運算背后的規律，并依據這個規律快速準確地推算出其他同類算式的答案。這個學習過程不僅鍛煉了學生應用數學知識的能力，還培養了他們的觀察力、歸納推理意識和數學建模思維；同時激發了學生對數學規律探索的熱情和興趣，使他們在解決具體問題的過程中體驗數學的邏輯之美。

數學教育倡導“做中學”“發現式學習”的理念，教師要引導學生從被動接受知識轉向主動建構知識體系，幫助他們形成良好的思維習慣和終身學習能力。實踐證明，讓學生經歷探究過程對發展其推理意識十分重要。教師要意識到發展學生的推理意識是一個持續的過程，在每一節數學課中對學生不斷進行強化訓練。教師要創設富有挑戰性的問題情境，激發學生的內在學習動機和探究欲望，讓學生經歷觀察現象、提出猜想、驗證結論等過程，鼓勵他們積極提問和大膽假設，并以嚴謹的態度進行驗證，逐步培養他們的獨立思考、邏輯推理以及解決問題的能力。