以學(xué)科促整合，以問題促思考

［摘 要］在小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動“體育中的數(shù)學(xué)問題”一課中，研究者將多學(xué)科知識整合在一起，通過創(chuàng)設(shè)問題情境來培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

［關(guān)鍵詞］學(xué)科整合；主題活動；問題情境；體育中的問題

學(xué)生生活的世界是多元的，他們要通過學(xué)習(xí)學(xué)科知識實現(xiàn)學(xué)會求知、學(xué)會做事、學(xué)會共處和學(xué)會生存。因此，筆者根據(jù)學(xué)生的已有知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗設(shè)計了綜合實踐主題活動“體育中的數(shù)學(xué)問題”一課，創(chuàng)設(shè)世界杯比賽的教學(xué)情境，衍生出“一共比賽幾場、積分可能是多少、一共要進(jìn)行幾場淘汰賽”等數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在探索與互動中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。

一、以體育活動為情境，培養(yǎng)學(xué)生提問能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“四能”是指發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。教師以學(xué)生熟悉的體育活動“世界杯”作為綜合實踐主題學(xué)習(xí)課的教學(xué)情境，能快速拉近師生之間的距離，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生親近感。在課堂開始時，教師引導(dǎo)學(xué)生提出有關(guān)世界杯中的數(shù)學(xué)問題，并快速進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，提出很多具有價值的數(shù)學(xué)問題。

師：同學(xué)們，體育中有很多競技比賽活動。你們知道哪些體育競技比賽？

生1：有足球賽、排球賽、籃球賽、世界杯、游泳比賽……

師：每一種體育運動在比賽中體現(xiàn)出“更快、更高、更強、更團結(jié)”的精神?？矗@是2018年的世界杯比賽。同學(xué)們，我們今天就來研究“體育中的數(shù)學(xué)問題”。請想一想世界杯比賽中藏著什么數(shù)學(xué)問題？

生2：世界杯一共有多少個國家參加比賽？

生3：要決出最終的冠軍，一共要打多少場比賽？

生4：每次踢球的時候，我們要計算自己隊和其他隊得了多少分，還要再得幾分才能從小組出線？

師：世界杯有那么多的數(shù)學(xué)問題，這節(jié)課我們就選一些數(shù)學(xué)問題來研究。

在這個教學(xué)片段中，教師通過學(xué)生感興趣的話題引出許多數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生圍繞這個話題學(xué)會從不同角度提出數(shù)學(xué)問題，并對這些問題進(jìn)行探索和多元思考，從而形成積極的情感、態(tài)度與價值觀。

二、聚焦單循環(huán)賽問題，培養(yǎng)學(xué)生多元表征

數(shù)學(xué)中的多元表征包括符號表征、語言表征、動作表征、情境表征、畫圖表征等多種表征，這些表征能體現(xiàn)學(xué)生用顯性化的方式呈現(xiàn)自己的思考過程，有利于他們加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，也有利于他們構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維體系。教師引導(dǎo)學(xué)生解決“世界杯比賽一共要踢多少場”的問題時，讓學(xué)生先把這個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變成“一組4支球隊要比賽多少場”，再思考“32支球隊要比賽多少場”，學(xué)會把問題化繁為簡和多元表征問題的結(jié)果。

師：同學(xué)們，我們先來解決“世界杯比賽一共要踢多少場”這個大問題，你們覺得解決這個問題需要哪些條件？

生1：我們要知道有多少支球隊參加這屆世界杯比賽，還要知道其賽制是怎樣的。

師：老師告訴你們，這次有32個國家參加比賽。剛才有同學(xué)說到“賽制”，我們一起來看看世界杯的比賽規(guī)則：第一輪是小組賽，32支球隊通過抽簽分成8個小組，每個小組進(jìn)行單循環(huán)比賽，每兩支球隊比賽一場。勝、平、負(fù)分別積3、1、0分；第二輪是淘汰賽，每個小組積分前兩名的球隊勝出進(jìn)入淘汰賽，直到冠軍產(chǎn)生。同學(xué)們，你們能看懂世界杯的比賽規(guī)則嗎？

生2：先是預(yù)賽，預(yù)賽分成幾個小組，小組內(nèi)單循環(huán)比賽，每個小組選出前兩名；然后是決賽，確定冠軍球隊。

師：剛才說的“單循環(huán)比賽”就是每兩支球隊要進(jìn)行一場比賽。

看，這是2018年俄羅斯世界杯比賽的分組情況，32支球隊一共要進(jìn)行多少場小組賽？具體是哪些比賽場次？

生3：先算出每個小組要比賽多少場，再乘8個小組就可以了。比如說我們先算出阿根廷、冰島、克羅地亞、尼日利亞這四支球隊所在的小組一共要比賽的場次分別是：阿根廷和冰島、阿根廷和克羅地亞、阿根廷和尼日利亞，冰島和克羅地亞、冰島和尼日利亞、克羅地亞和尼日利亞，一共有3+2+1=rOi2M+04PxtxcGv2Ztil1hZ7HjsNgorA1uCs4eP8iDY=6（場）；這屆世界杯一共有8個小組，所以總的小組賽場次是6×8=48（場）。

師：大家同意嗎？生3不僅告訴我們每個小組賽是6場，還告訴我們是哪六場比賽。我們在記錄的時候要做到不能重復(fù)，也不能遺漏。你們能把剛才說的這6場比賽在黑板上用磁鐵有條理地擺出來，并用連線的方法記錄嗎？

學(xué)生在黑板上擺好后，并用線連起來。

師：剛才我們用文字、畫圖的方式將所有的比賽場次全部列舉出來了，還用算式表示了結(jié)果。我們可以先用對陣表把所有的比賽場次都列舉出來，然后用打勾的方式表示要比賽的場次。

在這個教學(xué)片段中，學(xué)生面對這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，嘗試將其化解為多個數(shù)學(xué)問題，并借助直觀的操作活動抽象出文字、連線和算式表示等方法，深刻地理解單循環(huán)比賽的計算方法。

三、聚焦計算積分問題，培養(yǎng)學(xué)生有序思考

有序思考有助于學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行思考，做到不重復(fù)、不遺漏。有序思考本質(zhì)上是利用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理解決數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)。

師：剛才我們說小組比賽的積分制是贏了積3分，踢平積1分，輸了積0分?？肆_地亞隊踢完一場球，可能積多少分？

生1：有3種情況，克羅地亞隊如果贏了得3分，如果踢平了得1分，如果輸了得0分。

師：如果克羅地亞隊踢完兩場球，最多得多少分？

生2：最多得6分，這兩場球他們都贏了。

師：如果他們兩場球都輸了，就是0分。那么6分到0分之間一共有多少種不同的得分情況？用“√”表示比賽場次，每列只畫兩個“√”，請大家在表格里全部記錄下來。（學(xué)生獨立完成）剛才這位同學(xué)提的問題很好，如果兩場都贏了，兩場都平，兩場都輸，怎么打勾？我們可以在一個方格里打兩個勾。

生3：如果兩場都贏了，得6分；如果兩場都平，得2分；如果兩場都輸了，得0分；如果一場贏一場平，得4分；如果一場贏一場輸，得3分；如果一場平一場輸，得1分。一共有6種情況。

在這個教學(xué)片段中，學(xué)生用有序思考解決“踢完兩場球可能得幾分”的問題。學(xué)生采用的表格記錄方式直觀簡潔，比賽結(jié)果一目了然。

四、聚焦淘汰賽問題，培養(yǎng)學(xué)生一題多解

“一題多解”是指學(xué)生用多種方法解決同一道數(shù)學(xué)題目。在平時的練習(xí)中，通過一題多解可以拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高他們靈活解決數(shù)學(xué)問題的能力。

師：每組積分前兩名的隊勝出進(jìn)入下一輪比賽叫淘汰賽，現(xiàn)在我們一共有8個組（16支球隊）進(jìn)行比賽，從第二輪淘汰賽到最終決出冠軍，一共要比賽多少場？世界杯淘汰賽的規(guī)則是A組的第一名和B組的第二名進(jìn)行比賽，B組的第一名和A組的第二名進(jìn)行比賽，你們能在學(xué)習(xí)單上把所有的比賽對陣圖畫出來嗎？畫完以后數(shù)一數(shù)有多少個大括號，有多少個大括號就有多少場比賽。

生1：我覺得是14場。

生2：我覺得應(yīng)該是15場?，F(xiàn)在16支隊伍，每兩支隊伍打一場比賽，贏的就晉級進(jìn)入前八強，留下的隊伍是16÷2=8（支）；前八強每兩支隊伍打一場比賽，贏的就晉級為前四強，留下的隊伍是8÷2=4（支）；前四強每兩支隊伍打一場比賽，贏的就晉級為前兩強，留下的隊伍是4÷2=2（支）；兩支隊伍再打一場比賽，就決出1個冠軍了。一共是8+4+2+1=15（場）。

生3：我的答案也是15場。我是這樣想的：有16支隊伍參加比賽，最后留下1支隊伍是冠軍，那么必然要淘汰掉15支隊伍。比賽1場，就淘汰掉1支隊伍；那么淘汰15支隊伍，就要比賽15場。

師：這兩位同學(xué)的方法都不錯，我們只要數(shù)一數(shù)有多少個大括號就知道要比賽多少場。（出示2018年俄羅斯世界杯淘汰賽對陣圖）實際上世界杯還有一場淘汰賽是爭奪第三名季軍，這場比賽加在下面。所以要決出冠軍需要15場再加上爭奪第三名的這1場，一共16場。

在這個教學(xué)片段中，面對同一道淘汰賽問題，有的學(xué)生采用正向的畫圖來解決，有的學(xué)生采用逆向的說理來解決。不同的解題思路交織在一起活躍了課堂氛圍，能促使學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)上更好地理解淘汰賽問題。同時，教師結(jié)合世界杯淘汰賽賽制的補充情況，能讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)與真實情境之間的不同。

五、以互動游戲為載體，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力

互動游戲不僅能豐富學(xué)生參與數(shù)學(xué)課堂的形式，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣；還能鍛煉學(xué)生的合作能力，讓學(xué)生與同伴之間一起愉快地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教師借助“模擬世界杯”設(shè)計了互動游戲，讓學(xué)生親身經(jīng)歷淘汰賽的過程。同時，教師非常注重培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，巧妙地設(shè)計了兩道對比題目，讓學(xué)生用多元表征辨析解題的過程。

師：接下來，我們來玩互動游戲——模擬世界杯。游戲規(guī)則是每組用“剪刀石頭布”的方法決出前兩名，一共8個組。16支隊伍按照黑板上的圖分別站在大力神杯左右兩邊，贏的留下輸?shù)幕厝?，最后勝利的贏得大力神杯，可以嗎？

學(xué)生先在小組內(nèi)決出前兩名，再參加班級活動。

師：現(xiàn)在我們回過頭來思考一下，第一輪叫小組賽，有48場比賽；第二輪叫淘汰賽，有15場比賽，再加上1場季軍賽，可以算出世界杯一共比賽多少場？

生1：48+15+1=64（場）。

師：球員們踢完球后要相互握手告別和互贈禮物。請你們拿出學(xué)習(xí)單，自己做一做。（出示題目：（1）A、B、C、D四名球員每兩人握手一次告別，他們一共握手多少次？（2）A、B、C、D四名球員互相贈送一件禮物作為紀(jì)念。四個人一共送了多少件禮物？）

生2：第（1）題是3+2+1=6（次），因為A要和3個人握手，B要和2個人握手，C要和1個人握手。第（2）題是3+2+1=6（件），因為A要送給3個人禮物，B要送給2個人禮物，C要送給1個人禮物。

生3：第（2）題我不同意，題目是說“互相贈送”，意思是說“A送給B禮物”和“B送給A禮物”是不一樣的，所以單向贈送是6件，互相贈送是6×2=12（件）。

在這個教學(xué)片段中，教師通過互動游戲和對比練習(xí)幫助學(xué)生鞏固“單循環(huán)比賽”和“淘汰賽”這兩種賽制的不同解決方法，促使學(xué)生能更好地在理解題意的基礎(chǔ)上通過畫圖解決問題。

總之，生活中處處都有數(shù)學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界和發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)。在這節(jié)數(shù)學(xué)課中，學(xué)生一直處于主動學(xué)習(xí)中，從提出問題到解決問題，從獨立思考到小組合作，從互動游戲到對比練習(xí)，他們發(fā)現(xiàn)了“單循環(huán)比賽”和“淘汰賽”之間的聯(lián)系和區(qū)別：兩者都可以用操作、畫圖和算式等多元表征的方法來解決，但是兩者的計算方法不同。在這節(jié)數(shù)學(xué)課中，學(xué)生一直處于積極思考中，共同解決了“世界杯一共比賽多少場”的數(shù)學(xué)問題，掌握了有序思考的方法，培養(yǎng)了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維。