靈活應用題組練習提高學生數學能力

［ 摘 要 ］為了充分發揮練習課在鞏固知識、強化技能、發展學生數學素養等方面的價值，教師要設計針對性題組，讓學生在題組比較中明晰問題的本質，提高數學能力。在“圓柱的表面積”練習課中，教師結合教材實例巧妙地對相關練習進行整合，充分展示了題組訓練在練習課中的價值，提高了學生靈活應用知識解決問題的能力。

［ 關鍵詞 ］練習課；題組；整合

圓柱在生活中隨處可見， 學生應用圓柱表面積可以解決許多生活中的實際問題。在解決這些問題的過程中，學生不僅可以理解圓柱的基本特征及其表面積、體積計算公式，而且可以發展幾何直觀素養與空間觀念，提高數學核心素養。教材提供了豐富多樣的問題，教師應引導學生比較、分析、解決這些不同的問題，讓他們經歷知識發生、發展的過程，掌握解決問題的方法，提高數學應用水平。在“圓柱的表面積”練習課中，教師以教材中的習題為抓手，通過對習題的適當整合形成涉及圓柱表面積不同計算方式的題組。通過題組練習，學生掌握了圓柱表面積的計算公式，提高了解決問題的能力。

一、汽油桶和水桶的制作

問題 1：李師傅欲用鐵皮制作一個底面直徑為0.6m、高為0.8m的圓柱形汽油桶，問制作這個汽油桶至少需要多少鐵皮？

問題 2：張師傅欲用鐵皮制作一個底面直徑為0.6m、高為0.8m的圓柱形水桶，水桶上面沒有蓋，制作這個水桶至少需要多少鐵皮？

師：以上兩個問題中，汽油桶和水桶有何共同之處？

生 1：它們都是圓柱形，且圓柱的底面直徑及高分別相等。

師：在生活中，制作哪種桶需要的鐵皮多一些？是汽油桶，還是水桶？

生 2：我認為一樣多，要求需要多少鐵皮就是計算圓柱的表面積。根據已有知識可知，影響圓柱表面積大小的因素是圓柱的底面直徑和高，底面直徑和高分別相等，所以需要的鐵皮一樣多。

生 3：如果水桶和汽油桶都有蓋或都無蓋的情況下，它們的表面積確實相等。但是汽油桶一定是有蓋的，水桶是無蓋的，因此制作汽油桶需要的鐵皮多一些。

師：哦？題中已告知水桶無蓋，但沒有指出汽油桶并是否有蓋，你是如何判定它一定有蓋的？

tRDMUB1YifZQ2hW651smoPHQd+91DYglA9LyQijd0Ds=生 3：汽油容易揮發，如果沒有蓋慢慢就沒有了。

生 4：汽油屬于易燃易爆品，如果不蓋蓋子，會很危險。

師：說得非常有道理，具體說一說該如何計算呢？

生 5：求制作汽油桶需要多少鐵皮，就是先分別計算它的側面積和底面積，然后將側面積與兩個底面積相加；求制作水桶需要多少鐵皮的方法與求制作汽油桶的方法相同，不過因為水桶沒有蓋，只要將側面積和一個底面積相加即可。

生6：可以先求出制作水桶所需要的鐵皮，然后加上一個底面積。

教師鼓勵學生分別應用以上兩種方法列式計算，然后投影展示學生的計算過程。

教學思考：練習課前，學生已經初步認識了圓柱的側面積和表面積的概念，掌握了相應的計算方法，設計該題組的目的一方面是進一步強化學生對相關概念和計算方法的理解，另一方面是讓學生體會在應用圓柱表面積解決問題時要根據實際情況進行具體分析，明確需要計算的面積。此外，該題組中的相關數據相同，便于學生通過對比發現兩道習題的區別與聯系，從而找到解決問題的不同方法，初步感知解題方法的多樣性和靈活性，提高解題積極性。

二、花柱和廊柱的粉刷面積

問題3：某公園有4根圓柱形的花柱，工人準備在它們的表面粉刷一層水泥。已知該花柱的底面周長為 3.14m，高為 3m，問粉刷面積共多少平方米？

問題 4：某校圖書館門前有四根圓柱形廊柱，現準備將這四根圓柱形廊柱的表面粉刷一層水泥。已知廊柱的底面周長為 3.14m，高為3m，問粉刷面積共多少平方米？

給出問題后，教師讓學生先獨立思考形成解題方案，然后組織學生互動交流。

師：誰來說一說，問題 3 是怎樣列式計算的？

生 1：我是先計算一根柱子的粉刷面積，然后再乘以4。

師：你是如何計算的？

生 1：解決這個問題首先要知道粉刷幾個面，因為花柱的底面是埋在地下的，所以只要粉刷圓柱的側面和一個底面。根據已知列式是：3.14 × 3 + 3.14 × （3.14 ÷ 3.14 ÷2） = 10.205m 2 ，所以四根花柱的面積為： 10.205 × 4=40.82m 2 。

師：你們贊成生 1 的說法嗎？（生紛紛點頭）

師：很好，這樣計算出一根花柱的粉刷面積后，問題迎刃而解。

誰來說一說問題 4 該如何計算呢？廊柱的粉刷面積與花柱的粉刷面積相比，哪個更小一些呢？

生 2：應該是廊柱的粉刷面積更小一些，因為廊柱上面的緊貼天花板，下面緊貼地面，所以廊柱的上面和下面都不需要粉刷，只要粉刷側面就可以了。

師：具體該如何計算呢？

生 2：列式是： 3.14 × 3 × 4 =37.68m 2 。

師：很好，還有其他計算方法嗎？

生3：也可以在問題3的基礎上減去四個底面積，即： 40.82 - 3.14 ×（3.14 ÷ 3.14 ÷ 2）2 × 4= 37.68m 2 。

師：大家利用不同的方法解決了問題，非常好。比較以上兩種方法，你們認為哪種方法更簡便呢？生 4：第一種方法比較簡便，運算量小，效率高。

生5：利用生3的方法來檢驗也是一個不錯的選擇。

教學思考：通過以上題組的練習讓學生體會在解決實際問題時，有的時候需要計算一個側面和兩個底面，有的時候需要計算一個側面和一個底面，有的時候僅需要計算一個側面。因此，想要正確解決問題，明確需要計算幾個面是重中之重。通過以上題組的設計，讓學生在對比分析中體會在解決一些特殊的圓柱表面積的問題時，僅計算圓柱的側面積是合理的，以此消除學生思維障礙，提升思維的靈活性。在解決以上問題的過程中，教師先預留時間讓學生獨立思考、獨立解答，然后組織學生互動交流，以此充分發揮學生的主體性，加深學生對圓柱的表面積計算方法的理解，幫助學生積累豐富的活動經驗，提高分析和解決問題的能力。

三、博士帽與禮帽的制作

問題 5：某班學生準備用黑色卡紙制作一些博士帽 （如圖 1） 用于藝術節演出。博士帽的上面是邊長為 4分米的正方形，下面是底面直徑為2分米、高為1分米的圓柱，計算制作10頂同樣大小的博士帽至少需要多少平方分米的黑色卡紙？

問題 6：在學校藝術節上，某班學生想用黑色卡紙制作一些禮帽（如圖 2）。禮帽的上面是一個底面直徑為2分米、高為1分米的圓柱，下面連著一個寬為 1分米的環形帽檐，問制作10頂同樣大小的禮帽至少需要多少黑色卡紙？

問題給出后，教師沒有急于讓學生呈現答案，而是先讓學生獨立思考，然后再進行互動交流。

師：大家先估一估，制作哪種帽子所需的卡紙可能更少一些呢？

生 1：我認為制作博士帽所需的卡紙可能更少一些，因為博士帽中的圓柱無蓋無底，而禮帽有一個蓋，所以博士帽更省紙一些。

生 2：我不這么認為，雖然博士帽的圓柱無底無蓋，但是它的上面有個長方形的面，這個面積可能比禮帽圓環的面積大，如果是這樣的話，顯然制作博士帽所用的紙會更多一些。

師：這兩個同學的分析都有一定的道理。認真分析這兩個圓柱，看看你們有什么發現？（生積極思考）

生3：其實仔細分析不難發現，以上兩個圓柱都可以看成無底無蓋的圓柱。

師：哦，不是只有博士帽是無蓋無底的嗎？禮帽的帽頂怎么不見了？

生 4：可以將禮帽的帽頂移到下面，博士帽的面積是一個無底無蓋的圓柱表面積與一個邊長為 4分米的正方形面積之和，而禮帽的面積是一個無底無蓋的圓柱表面積與直徑為4分米的圓的面積之和。

師：很棒的發現，那么若想知道制作兩種帽子所需材料的多少，我們實際上是比較哪兩個面積的大小呢？

生5：就是比較邊長為4分米的正方形的面積與直徑為 4分米的圓的面積的大小，哪個的面積大，所需的材料就越多。

師：你們同意這種說法嗎？大家可以嘗試用不同的方法算一算、比一比，看看哪種方法更簡單呢？教師先預留充足的時間讓學生進一步思考、計算，學生結合以上發現很快計算出制作博士帽所需的卡紙多，每頂多3.44平方分米。然后，教師讓學生通過不同的方法對比、驗證，并通過對比分析讓學生感悟轉化在解決問題中的優越性，培養其良好的思考習慣。

教學思考：以上題組的設計既有很強的實用性，又有很強的趣味性和探究性，讓學生充分體驗了適時轉化的簡潔性、合理性，有利于培養學生的轉化意識。從教學反饋來看，部分學生在解題時習慣于直接計算，在解決問題 5時，學生根據題設信息先計算無蓋無底的圓柱的表面積，然后計算正方形的面積，最后將計算結果相加；在解決問題 6時，學生先計算無底有蓋的圓柱面積，然后計算圓環的面積，最后將計算結果相加。為了改變這一局面，教師沒有直接讓學生給出計算結果，而是讓學生思考“制作哪種帽子所需的卡紙更少”。通過深入的思考與交流讓學生體驗轉化在解決組合圖形中的優勢，讓學生充分體會解題方法的靈活性和轉化的便捷性，能在很大程度上激發學生學習的積極性，提升課堂教學效率。

四、探索不同切法中的秘密

問題 7：現有一根底面直徑為20cm、長為1.8m的圓柱形木料，若將該木料平均分成大小完全相同的兩部分，可以怎么分？每個部分的表面積分別是多少？

師：如果讓你們分，你們想怎么分呢？

生 1：我想橫著分，在 0.9m 處做好標記，然后橫向切開，這樣一個圓柱就變成了兩個等大的小圓柱。

生 2：還可以豎著切，將圓柱變成兩個半圓柱。

師：非常好，切割后，圓柱的表面積發生了怎樣的變化呢？

生（齊聲答）：變大了。

師：是嗎？請大家算一算，比一比，看看你們有什么發現呢？教師預留時間讓學生動手算，很快學生就有了答案。

師：誰來說一說，沒有切割前，圓柱的表面積是多少呢？

生3： 3.14 × 20 × 180 + 3.14 ×10 2 × 2=11932cm 2 。

師：如果橫著切，該如何計算呢？

生4：橫著切就是將這個大圓柱分成等大的兩個小圓柱，其長由原來的1.8m變成了0.9m，小圓柱的面積為3.14 × 20 × 90 + 3.14 × 10 2 × 2=6280cm 2 。兩個圓柱的面積為6280 ×2 = 12560cm 2 。

師：結合已有經驗和上式，誰來說一說，圓柱的表面積發生了怎樣的變化？

生 3：橫著切相當于增加了兩個 底 面 ， 也 就 是 增 加 了 3.14 ×10 2 × 2 = 628cm 2 ，所以在計算時，可 以 直 接 用 3.14 × 20 × 180 +3.14 × 10 2 × 2 × 2 = 12560cm 2 。

師：非常好，豎著切又會發生怎樣的變化呢？

生 4：豎著切就是將圓柱變成兩個半圓柱，其表面積為 3.14 ×20 × 180 ÷ 2 + 3.14 × 10 2 + 180 ×20 = 9566cm 2 。

師：你能一步一步給出具體的解釋嗎？

生4：3.14 × 20 × 180 ÷ 2 是圓柱半個側面積，3.14 × 10 2 是兩個半圓的底面積，180 × 20 是切割后得到的長方形的面積，這樣將它們合起來就是半個圓柱的表面積。

師：生4的解題思路非常清晰，將半圓柱進行分解，然后逐面計算。還有其他方法嗎？如果從整體的角度去分析，你會得到怎樣的結果呢？

生 5：這樣豎著切就相當于增加了兩個長方形的面積，即 3.14 ×20 × 180 + 3.14 × 10 2 × 2 + 180 ×20 × 2 =19132cm 2 。

師：非常好。除了以上兩種切法外，還有其他切法嗎？

生 6：還可以這樣斜著切 （如圖 3），不過這樣切的截面是橢圓，我不知道該怎么求它的面積。

師：非常有創意的切法，橢圓的面積是我們后面學習的內容，感興趣的同學可以查閱資料試一試。

教學思考：問題 7 具有一定的開放性，教師將切割的主動權交給學生，學生結合已有經驗得到了不同的切割方法，以此將一題轉化為多題，形成題組。通過不同切割方法的對比，能讓學生感受物體表面特征的變化對表面積計算方法的影響。學生不僅深化了知識，而且發展了空間想象能力，提升了數學學習品質。從教學反饋來看，學生不僅想到了橫著切和豎著切，還想到了斜著切。雖然學生應用已有知識和已有經驗難以計算橢圓的面積，但是這種切法增加了探究性和趣味性，讓學生感受了數學的魅力，增強了學習信心。

總之，在練習課教學中，教師要善于從教學實際出發，設計一些有效的題組，讓學生通過對比分析達到鞏固知識、強化技能、提高思維靈活性與變通性的目的。