“內隱性課程資源”的基本要素與開發措施的研究

［ 摘 要 ］內隱性課程資源包含了數學文化、過程性知識、材料背景、數學邏輯知識與教學環境等元素。文章從“創設問題情境，營造良好氛圍”“突出思想方法，彰顯數學文化”“借助猜想歸納，厘清數學邏輯”“設計變式訓練，引申推廣知識”四個方面探索內隱性課程資源的開發與應用。

［ 關鍵詞 ］內隱性課程資源；教學；數學文化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：課程資源既包括教材、教輔、教師教學用書、教學設計、教學案例、課外讀物等紙質資源，又包括音頻、視頻、數學軟件等數字化資源；既包括用于鞏固練習的資源，又包括用于拓寬視野的數學科普類資源 ［1］ 。其中，教材、教輔、課外讀物等是外顯性內容，用于鞏固練習的資源 （如學生的錯誤認知） 和拓寬視野的數學科普類資源 （如數學文化、材料背景、數學邏輯思想等） 是內隱性內容。課程資源是課程設計、實施與評價的支持體系，不同標準可將課程資源分為不同的種類。筆者著重研究內隱性課程資源的構成元素以及開發利用措施。

一、內隱性課程資源的概述

內隱性課程資源是指潛藏在知識深層的內容，與外顯性課程資源相反，內隱性課程資源缺乏可視性，需要師生用心去體會 ［2］ 。如圖 1，外顯性課程資源是波浪線 （水面）上可以用肉眼察覺到的內容，而波浪線 （水面） 以下則為內隱性課程資源，雖然無法用肉眼去識別，但是它們真實存在，對學生的教學學習有很大的影響。

二、內隱性課程資源的基本元素

1.數學文化元素

從數學本身來看，它既是一門學科又是一種文化。為什么說數學是一種文化呢？一方面，從文化的定義出發，任何科學均屬于文化的一部分，數學對推動人類社會的發展起到重要作用，因此可以將數學作為一種文化來推廣；另一方面，數學學科可向社會滲透其他類別的文化，轉化后的數學能給社會生產帶來很大的經濟效益。

在數學文化這一內隱性課程資源中值得教師關注、開發與利用的重要元素包括數學思想方法、數學價值觀、數學精神、數學美等，這些都是構成數學文化的重要因素。

數學思想方法的內隱性主要體現在思想潛藏在人的思維的深層，方法浮于表面，數學思想與方法互相依存；數學價值觀是指人們對數學學科價值的認可程度，對促進人類發展具有全方向、多方位的推動作用。

2.過程性知識元素

絕對主義數學觀認為數學理論形成后就成了一種真理，這種真理與時代、地域毫無關系；數學是一種結論或產品，表現形式為靜態、外顯的；數學教學就是教師將知識傳遞給學生，讓學生精準接受的一種結論式教學范式。

可誤主義數學觀認為數學真理屬于一種相對性的內容，受其結構與邏輯的制約；認為數學產生于問題，而問題的描述離不開語言建構與模型應用，這是流動的過程；數學教學是知識的過程性教學，教師既要傳遞結果，還要引導學生厘清數學問題、語言、方法與命題的邏輯鏈。

3.材料背景元素

材料背景元素包括現實生活背景與其他學科背景。一般而言，這兩個背景并不會以明確的形式表述，因此，材料背景元素屬于內隱性課程資源 ［3］ 。數學概念、命題等與人們的生活有著千絲萬縷的聯系，教師將與之相關的生活背景有意識地應用到課堂中，往往能將它作為知識的“先行組織者”，幫助學生從情感上更好地理解、同化、順應新知。

材料背景元素的開發既要厘清知識背景，又要讓學生學會選擇與辨別背景。每一個概念或命題的形成都有著更多的背景因素，教師要學會辨認這些背景，擇取最適合的材料作為課堂應用的素材，并避免一些不切實際、華而不實的材料。

4.數學邏輯知識元素

邏輯元素是指滲透在數學內容中的一些邏輯，數學知識與邏輯屬于不可分割的共同體。從表現形式上來看，知識具有外顯性，邏輯屬于內隱的部分，邏輯支撐著整個數學理論體系。一些學困生看似是對數學知識的理解困難，實則是數學邏輯思維能力不夠，導致學習的障礙。因此，開發知識邏輯元素可以有效清理學生在數學邏輯上的不足，起到促進學生思維發展的作用。

5.教學環境元素

教學環境是典型的內隱性課程資源，建構促進學生學習的良好環境就是對這種資源的開發。從情境學習論來看，知與行是交互的，情境可以是現實中的生活背景，也可以是學生已掌握的知識背景。情境學習理論充分揭示了學習與環境的依存關系，反映了內隱性課程資源在教學中的重要性。

當然，教學環境的開發可從多維度開展，比如開發知識背景中的問題情境，建立師生平等關系的對話情境，營造師生互動的社會情境等，這些都是營造良好學習氛圍和提高教學成效的重要舉措。

三、內隱性課程資源的開發措施

1. 創設問題情境，營造良好氛圍

數學課堂中的情境主要包括生活實際情境、問題情境、科學知識情境等，教師設計時要考慮如下幾個因素：

（1）與教學內容息息相關

有些教師情境創設得很好，有豐富的場景、畫面等，也能激發學生的學習興趣，但與教學內容大相徑庭，存在“去數學化”的現象，這種情境看似熱鬧，實則無法達到預期的教學效果。

（2）要有情節和問題

缺乏情節的情境無法激發學生的參與意識，缺乏問題的情境稱不上教學情境。創設情境的目的在于激發學生的學習動機，創設的情境要同時具備情節與問題兩個條件。 比如，在應用題教學中，教師可以將一些問題進行適當改造，讓問題體現在豐富的情境中，讓教學既具生活意義又蘊含教育價值。

（3）需體現教育價值

情境創設還要具有真實感與教育意義。真實、可信的情境能引發學生的共鳴，讓學生對學習產生興趣。當前數學教學以培養學生的數學核心素養為目標，即讓學生在數學學習中形成正向的品格與持續發展的能力，因此在情境中融入一些富含教育意義的素材是促進學生個體發展的重要措施。

案例1 “角的度量”的教學

“角的度量”教學是讓學生自主應用三角尺來測量120°的角，大部分學生能借助三角尺中的30°與60°的角獲得結論，但是利用45°的三角尺無法測量出120°的角。由此可以看出，測量角的度數憑借三角尺還遠遠不夠，量角器才是解決測量角的度數問題的重要工具。

以上教學過程讓學生理解“量角器”形成的必要性，但對小學生而言，此情境不夠豐富，難以從真正意義上調動學生的學習興趣。因此，筆者創設了一個情境：借助信息技術展示一個傾斜度較小的滑梯和一個傾斜度較大的滑梯，問學生想要玩哪個滑梯？學生不約而同地選擇了第二個滑梯，因為它看起來更刺激一些。然后，筆者展示第三個滑梯，這個滑梯的傾斜度更大，接近一個展開的梯子。（學生依然表示喜歡第二個滑梯）

設計意圖：滑梯是小學生最喜歡的娛樂設施之一，這是一個貼近學生生活實際的情境，具有豐富的情節與問題，成功地引發了學生的探索欲。顯然，該情境屬于內隱性課程資源，學生通過圖片的識別，能確定自己喜歡玩的滑梯。學生通過對滑梯角度的探索，成功地將注意力轉移到本節課的知識探索中來。 這樣，就使得“量角器”的引入水到渠成。

2. 突出思想方法，彰顯數學文化

數學思想方法、史料、數學美與數學精神等屬于數學文化的范疇。

教學時，教師應有意識地將數學文化潤物細無聲地滲透在教學的每個環節，讓學生在潛移默化中感知數學美，提升審美情操；體驗數學思想方法，提升解題能力；領悟數學精神，提升人格品質等。

就數學思想方法來說，它猶如“流淌的血液”，存在于數學教學的每一個環節，忽略數學思想方法滲透的課堂不是成功的課堂。小學數學涉及的數學思想主要有模型思想、數形結合思想、符號思想、化歸思想等，它們更多地體現在解決問題的過程中。

案例2 “分數的運算”的教學

問題：求1/2+1/4+1/8+1/16+ …的值。

設計意圖：本題意在讓學生通過觀察發現分母的規律，但小學生的邏輯思維能力較弱，他們以直觀思維為主。因此，在教學指導時，教師鼓勵學生通過畫圖的方式來解決這道題，即將一條直線視為 1，取其一半為1/2 ，再取剩下的一半為1/4 ；經過多輪取值后，學生驚喜地發現式子1/2+1/4+1/8+1/16+ … 的本質實則為對一條直線不斷取其一半，其結論為1。

學生畫圖的過程屬于知識外顯的過程，但應用化歸思想、數形結合思想的過程則為內隱性課程資源的利用。本案例說明數學思想方法的應用是復合的，合理應用好數學思想方法不僅能提升學生的數學文化，還進一步凸顯了課程隱性資源的重要性。

3. 借助猜想歸納，厘清數學邏輯

推理、判斷等屬于典型的數學邏輯內容，它們一般不會以文字的形式呈現在教材中，而是以一種內隱的形式隱含于教學過程中。教學中教師常常用不完全歸納法來進行數學猜想與推理，雖然這并不嚴謹，但是對學生而言異常重要，它能讓學生更好地理解教學內容。

案例 3 “三角形三邊關系”的探索

如圖 2，學生以小組合作的方式從 4 根小棒中任選 3 根擺成三角形，對操作過程進行記錄、歸納、猜想。在此基礎上，教師引導學生畫任意三角形，以測量、計算的方式驗證猜想，獲得結論 — —三角形的任意兩邊之和大于第三邊?；诖?，要求學生思考：為什么兩邊之和不能等于或小于第三邊呢？

學生通過小棒的擺放探索三角形三邊關系的過程屬于不完全歸納，此過程雖然只是讓學生形成初步猜想，但是這個猜想相當重要，為接下來的驗證、思考與反思奠定了基礎。由此可以看出數學邏輯雖然看不見、摸不著，但真切地存在于數學知識中，每一個知識的形成都離不開數學邏輯的輔助。

4. 設計變式訓練，引申推廣知識

數學學習若局限于知識的表面，則無法達到深度學習的目的，學生一旦遇到綜合程度高的問題就無從下手。數學知識的引申就是從縱橫兩個角度拓展知識的過程，引申的目的在于擴大問題本身的教育價值，讓學生通過對問題的探究，提高解題能力，塑造正向的數學觀 ［4］ 。

變式訓練是引申推廣知識的重要方法之一，它通過對原有問題條件或結論的改變，發散學生的思維，讓學生感知數學學習中的“變與不變”，這是促進學生形成舉一反三能力的關鍵。

案例4 根據信息回答問題

問題：已知28元能購買4千克橘子，蘋果的單價為5元/千克，哈密瓜的單價為8元/千克，12元能購買2千克桃子。若各買1千克這4種水果，需支付多少錢？

變式1：小明帶了20元錢去購買橘子與蘋果，請問他有哪些購買方式？

變式2：從以上4種水果中任選至少 3種搭配果籃，讓水果的價格恰巧為60元，有幾種搭配方法？寫出算式。

變式 2 對于學生而言確實有一定難度，教師應做好引導與點撥工作，為學生的思路指明方向。這是提升學生思維的契機，學生通過對問題的深入探索，不斷深化對各種組合的認識，為后續學習奠定了基礎。值得注意的是教師應充分關注學生的個體差異，盡可能設計難易程度適中的變式訓練，以拓展學生的視野，提高學生的參與度。

總之，開發內隱性課程資源是教學設計必須思考的內容，也是實施數學教學不可或缺的環節。教師應從整體的角度思考教學方式方法，注重結構化教學，充分挖掘內隱性課程資源，以提升學生的數學核心素養。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部 . 義務教育數學課程標準 （2022 年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］華志遠 . 整合內隱性課程資源，促進學生的自我構建 — —“空間幾何體 的 表 面 積 ” 教 學 實 錄 與 評 析［J］.中小學數學 （高中版），2019（06）：38-41.

［3］喻平 .論內隱性數學課程資源［J］.中國教育學刊，2013（07）：59-63.

［4］吳永軍 . 關于深度學習的再認識［J］.課程·教材·教法，2019，39（02）：51-58+36 .