任務驅動法在高等數學教學中的應用

摘"要：高等數學是高校數學專業的專業課，是理工類專業的一門公共基礎課，學生學習該課程存在畏難、缺乏學好的自信心及缺少積極性的情況。基于此，本文將任務驅動法運用到高等數學的課堂教學中，提高學生的課堂參與度，提升學生自主學習、合作交流和團結協作的能力。

關鍵詞：任務驅動法；高等數學；課堂教學

一、概述

高等數學是高校數學專業的專業課，是理工類專業的一門公共基礎課，是理工類專業學生學習其他專業課的前導課程，該課程可以提高學生的學習能力、邏輯推理的能力、抽象思維能力和問題解決能力，其知識、方法和思想在經濟學、自然科學和工程技術等領域應用廣泛，但是本課程的教學內容以概念、定理居多，且證明推理過程抽象和煩瑣，給人感覺枯燥難懂。教學方法多采用教師講授、學生聽講的傳統教學方式，這種單向信息交流方式導致學生只能被動接受信息，難以體驗知識的內涵，使學生認為學習高等數學很困難，缺少學好的自信心，失去學習的熱情，沒有主觀能動性。另外，課中缺少與其他專業知識的銜接、思政元素的挖掘和滲透，學生難以體會到高等數學的應用價值，從而消減了學習的興趣和動力。因此，為了達到育人目標，教師應該不斷改進教學方式、手段和思路，將思政元素有效地融入課程思想，以喚醒學生學習的熱情，激勵他們積極參與，使他們能夠更好地理解數學知識，培養他們的數學素養。

二、任務驅動法的概述

任務驅動法是一種以建構主義學習理論為基礎的教學法，與傳統的師講生聽的方法不同。特點一：以解決問題、完成任務為主的多維互動式的教學理論代替傳統的以知識傳授為主的教學理論。特點二：重新設計“觀眾”，讓學生在“主演”中發揮主導地位，激發他們的自主學習激情，并積極投身到教學活動中來，重視自主學習、協同學習以及探索學習。特點三：對于提出的任務，學生可以根據自己的知識積累和獨特的經驗提出方案，找到解決問題的方法，完成任務，提高學生自主學習、合作交流和團結協作的能力。采用任務驅動法的教育方式，可以把復雜的課程內容拆解為更加簡單易懂的小步驟，讓學生在實踐中掌握所需的技能，并且能夠從中受益，提高學習的效率和質量。通過實踐操作，讓學生將所掌握的知識、技能以及實際運用融為一體，從而更加清晰地認識到，數學是一種與日常生活息息相關的技術。另外，在學生完成任務的過程，教師提供相關的參考資料，對于其方法、思路和完成的形式并不做要求，使學生有充分的空間發揮想象和創作，使學生的綜合能力得到發展。

在使用任務驅動教學法的過程中，首先授課教師要根據解決的問題提出一系列的任務，不能隨便布置，任務提出需要以本節課的教學目標為出發點，貼合本節課的教學內容，并且學生根據已學過的知識和具備的思維能力能夠完成。在學生完成任務的過程中，根據學生討論分析的問題，教師可適當提供解決問題的線索。通過自主學習和合作交流，我們鼓勵學生不斷探索新的知識，并且幫助他們更好地理解當前的問題。最終，我們將通過兩個方面來評估學生的學習成績，一方面是學生解決當前問題的過程和結果的情況，另一方面是學生自主學習與合作交流及探究能力。

使用任務驅動法進行教學的注意如下：第一，選擇合適的教學內容，任務驅動教學法注重學生的自學與合作交流，重視學生在學習過程中建構知識，形成能力，所以并不是所有的教學內容都適合用任務驅動法教學。有些知識使用傳統的教學方法教學效果會更好，教師不能盲目使用此教學方法，夸大任務驅動法的作用。第二，注意任務設計的環節。任務設計是任務驅動法使用效果的關鍵環節，在設定任務時，教師應該考慮難易程度，并且應該按從簡單到困難的順序來進行。初期的任務應該適中，否則會影響學生的學習興趣，同時，過于復雜的內容可能會阻礙他們的思考和探究。第三，使用任務驅動法進行的過程中，注意挖掘內容的思政元素并巧妙地融入。高等數學是一門具有深遠影響力的理工類公共基礎課，其內容涵蓋了豐富的科學文化知識，同時也蘊藏著豐富的育人元素，因此，在任務設計的過程中，除了要求學生掌握本節課的知識與技能外，還應該重視培養他們的思想道德品質、人生觀和世界觀，以及提升他們的專業素養。第四，教師應當充分了解任務驅動法，仔細研究其理念、優點以及操作過程中應當注意的事項，以便更好地實現教學目標。同時，也要求教師知道知識的產生與發展、前后知識之間的內在聯系和教學目標等，了解各部分知識與實踐相結合的程度，探索更好與實踐結合的方法等。要求教師認真備課，各方面進行研究，多閱讀，多積累，對于所教的概念的內涵、外延，知識的產生的背景和發展有清楚的認知。同時，課前要分析學情，了解學生學習本內容的難點，課中爭取進行針對性的突破。

三、任務驅動法在高等數學教學中的應用

通過使用微積分，我們可以解決四類復雜的問題：第一類是計算物體的軌跡，即計算任意時刻的速度、加速度以及其他參量；第二類是繪制曲線，確定它的切點；第三類則是計算出函數的最值；第四類則包括面積、體積以及重心。“導數的概念”被視為高等數學“微分學”的基礎，而且“導數的概念”進一步地拓寬了我們的視野，將函數的概念、性質和圖像等深入探討，使我們能夠更好地理解和掌握微分學的基本概念，還可以幫助我們更深入地探索函數的本質和特性。因此，下面以“函數的概念”為例，介紹任務驅動法在高等數學教學中的應用。

引例1：自由落體運動問題。

伽利略的“各種重力物品落下速率差異”被認為是古代物理學中的重要理論，伽利略通過在著名的比薩塔進行的“各種重力物體落下速率差異”實驗，將“各種重力物體落下速率差異”理論應用到物理學中，使物理學的范疇不再受到固定模式的束縛，使物理的范圍得以擴展。17世紀的科學家們一直在尋找一種方法來確切地描述和計算變速運動每一瞬間的速度，這也成為他們的一大難題。

對此可以做出以下假設：假設物體自由落體運動的距離s（單位：米）和時間t（單位：秒）之間存在一種函數關系s=s（t）=12gt2，求物體在t0時刻的瞬時速度？

學生分組學習，可能會想到計算平均速度。物理學家們發現，當物體保持勻速直線運動時，它的速度會保持不變。因此，我們可以使用一段時間的平均速度來估算它在特定時刻的速度。然而，當物體進行變速運動時，它的速度會隨著時間的推移而發生變化，因此我們無法使用平均速度來估測它的速度。如果一個物體以一個恒定的速度運動，而其他因素都沒有改變，那么它的瞬時速度將會與整個運動期間的平均速度保持一致，這就需要我們去探索一個能夠保持恒定速度的運動模式？

任務一：如何尋找一個速度不變的運動過程？

當取值范圍［t0，t0+Δt］很小，接近0（Δt→0）時，我們可以假定這一段時間速度保持不變，并使用這一段時間的平均速度來描述瞬時速度。

任務二：如何用平均速度表示瞬時速度？

教師播放割圓術，讓學生體會對圓內多邊形的邊數不斷進行成倍增加的過程，利用極限思想，借助圓內多邊形的面積求圓的面積。類似地，平均速度表示為v-=ΔsΔt，利用前面所學的函數極限的定義，t0時刻的瞬時速度可以表示為：v（t0）Δ=limΔt→0v-=limΔt→0ΔsΔt。

引例2：切線的斜率問題。

人們一直在探索導數的概念，其中涉及三個重要的問題：一是如何確定光學傳感器對曲線的反射；二是如何確定曲線的運動速度方向；三是如何計算相交的兩條曲線之間的夾角？要解決這三個截然不同的問題，最根本的一步便是解決曲線的切線問題，這一點無可置疑。

設曲線C是函數y=f（x）的圖像，求曲線C在點M（x1，y1）處的切線斜率。

任務三：切線是如何定義？

盡管“與曲線（圓）只有一個交點的直線”被認為是圓的切線，但它并未涵蓋普通的彎道。比如阿基米德螺線，它的每個點處的切線均具有無數個相似的點。

借助勻速運動的經典范例——阿基米德螺線，阿基米德螺線上任意一點處的切線都與螺線有無數個公共點，可以讓學生體會到古人的智慧，增強文化自信，同時為下面切線的動態定義以及切線和割線的聯系設下鋪墊。

切線的一般定義：如圖，當點N朝著曲線C的方向移動到點M，并且當點N朝著曲線C的方向移動到其的最大值MT的位置時，就可以將MT視為曲線C上點M的切線.

由上面切線的定義可知，平面曲線上M點的切線是動點N沿曲線無限趨近定點M割線變化的極限位置。

任務四：有什么方法可以求曲線切線的斜率？

學生分組學習。根據學生已有的知識經驗，可能會出現以下兩種思路：第一種是利用k=tanα，但是切線的傾斜角α題目沒有給出，所以此方法不適用。第二種方法是根據兩點公式k=y2-y1x2-x1進行求解，但是本題目只有一個已知點M，引導在點M附近取一個點N（x，y），連接MN形成一條割線，進而引出割線的斜率。割線MN的斜率可以表示為：kMN=y-y1x-x1。

任務五：需要滿足什么條件，割線的斜率才能表示切線的斜率呢？

多媒體播放曲線的割線變切線的動態過程。通過觀察和思考，我們希望能夠激發學生的興趣，并且讓他們想到如何用割線的斜率來表示切線的極限狀態，也就是采用極限取值的方法，并通過小組交流和匯報來展現學生的成果。

當點N朝著曲線C的方向移動到點M，即當x→x1，由割線的斜率取出最大值來確定切線的斜率k=limN→MkMN=limx→x1y-y1x-x1，如果這個值是一個恒定的值，那么曲線上M點的切線斜率就可以用這個值來表示出來。如果Δx=x-x1，Δy=y-y1，則曲線C上M點的切線的斜率可表示為k=limΔx→0ΔyΔx。

任務六：分析以上兩個引例，形成概念。

撇開以上兩個引例的實際意義，就數量關系有什么共同點。學生獨立思考，小組交流，小組代表匯報。

（1）通過計算一個變量與其他變量之間的差異，可以獲得它們之間的變化速率。

（2）都是函數的改變量和自變量的改變量之比，當自變量的改變量趨近于0的極限。

在天然科學研究和工程技術研究領域中，很多理論都是可以歸結為這個差商的極限，比如線密度、電壓高度、角速率等。所以，人們就將這個差商的極限進行數學化處理，經過抽象、概括得到了所要學習的導數定義。

定義：設函數y=f（x）在點x0的某個領域內有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx時，相應地，函數y取得的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。

若極限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx存在，則函數f（x）在點x0處可導，并稱此極限值為函數y=f（x）在點x0的導數，記為f′（x0）=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx，也可記作y′x=x0，dydxx=x0或df（x）dxx=x0。

所以，引例1的瞬時速度就可以運用導數表示為s′（t0），其實際意義是物體在t0時刻的瞬時速度。引例2的切線斜率就可以運用導數表示為f′（x0），其實際意義為曲線C：y=f（x）過點M（x1，y1）處的切線的斜率。

如果該極限的差商的分母為Δx=x-x0（Δx稱為自變量的增量），則f′x0=limh→0f（x0）-f（x0-Δx）Δx，令Δx=h，則f′（x0）=limh→0f（x0+h）-f（x0）h。

這三種極限式均表示函數的變化量與其自身變化量之間的比值，因此它們都可以被用來表示導數的定義。

說明：①點x0的導數可以用來衡量因變量與自變量之間的關系，它能夠反映出兩者之間的關聯性，以及變化的快慢程度。②如果極限不存在，那么函數y=f（x）就在點x0處不可導，如果不可導的原因是由于Δx→0時，比式ΔyΔx→0，方便起見，y=f（x）在x0的導數為無窮大。③如果一個函數y=f（x）能夠在開區間I內的任何一個位置被求解，那么函數f（x）在開區間I內就可以被認為是可導的。④對于任意x∈I，對應著f（x）的一個不確定的導數值，都可以用一種新的方式表示出來，這種方式被稱為導函數，記作y′、f′（x）或df（x）dx。⑤f′（x0）是f（x）在x0處的導數或導函數f′（x）在x0處的值f′（x0）=f′（x）x=x0。

由上面的分析可以看出，求導數其實本質上是求差商的極限，這樣可運用前面講過的求00不定型的極限的各種技巧和方法。利用無窮小思想及其相關的極限技術，不僅能夠計算出物體的瞬時運動，還能夠通過計算割線的斜率來推斷出切線的斜率，并且能夠從平均變量中獲得其相應的變換量，從而將微積分的基本原理——導數抽象出來。

導數可以說是一種精確的量度，它可以把自變量和因變量之間的數量關系表達得淋漓盡致，而且不受經濟、幾何或物理等實際因素的影響。因此，當我們探究問題時，應該從多個角度來思考，以便更好地把握問題的本質。

四、教學總結

通過采取以任務驅動為主的教學方法，讓學生充分體驗自主學習、協作交流的樂趣，激發他們對新事物的好奇心，讓他們真正感受到導數的重要性，從而更好地理解它的本質。此外，教學還要注重培養學生的道德觀和價值觀，以期達到更好的教學效果，從而更好地培養學生的素養。

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作者簡介：鄧樣琴（1994—"），女，漢族，江西鷹潭人，碩士，講師，研究方向：數學教育。