波利亞解題思想在初中平面幾何教學中的應用研究

摘 要：平面幾何內容一直是初中數學教學中的重點，也是學生學習的難點.本文基于波利亞解題思想，以“平行四邊形的判定”為例，從波利亞解題思想的四個階段出發，對其在數學教學中的應用進行了研究，旨在為教師的教學方法改革提供參考，促進學生解題能力的提升和良好解題習慣的養成.

關鍵詞：波利亞解題思想；平面幾何教學；應用

“圖形與幾何”是初中數學四大內容之一，也是除“數與代數”外課時占比最多的內容.在“圖形與幾何”內容下的三大主題中，“圖形的性質”內容占比最高，其強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理.［1］尤其是對相關問題的證明，是初中數學圖形與幾何教學中的重點和難點，也是學生發展推理能力核心素養的關鍵.但在實際教學中，由于教師往往重結果而輕過程，不少學生對定義、定理采取的是死記硬背，理解不深，所以學生在解題時常常出現沒有思路、證明條件不充分、證明過程不嚴謹等情況.

美國數學家喬治·波利亞（G.Polya）認為，中學數學教育的根本目的就是“教會學生思考”.而數學解題也從來不是機械地套用公式或死記硬背，而是通過啟發學生思考，發展學生的數學思維.波利亞鼓勵學生獨立思考、積極探索，他通過“怎樣解題表”中一系列的問題引導學生思考，發展學生的數學思維，進而培養學生分析、解決問題的能力.

鑒于此，本文以“平行四邊形的判定”為例，對波利亞解題思想在初中平面幾何教學中的應用進行研究，以期為教學方法的改革、教學質量的提升提供參考.

1 波利亞解題思想介紹

問題是數學的心臟，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，波利亞專門研究了解題的思維過程，并把研究所得著成《怎樣解題》一書.該書的核心即“怎樣解題”，包括“理解問題”“擬定計劃”“實行計劃”和“回顧”四個步驟.［2］在這四個步驟中，波利亞把解題的思維過程分解成5條建議和23個具有啟發性的問題，將解題的思維過程清晰地展現了出來.

1.1 理解問題

理解問題即審題，只有將問題先厘清，才能去解決問題.在這一階段波利亞認為應當從以下三個方面進行.

（1）明確問題的條件和結論，波利亞認為首先要從題干中分析問題的已知量和未知量，有哪些顯性和隱性的條件.

（2）對問題的結論進行猜想，并從猜想反推可能滿足的條件.

（3）將問題進行重新表征，將文字語言用圖形或符號語言來表示.

1.2 擬定計劃

擬定計劃是“怎樣解題”的關鍵與核心環節，其實質是對解題思路的探索，形成解決問題的一套方案，該環節決定著問題解決的成敗.在這一階段波利亞認為應當從以下三個方面進行.

（1）建立已知和未知間的聯系，通過對已學過知識的回顧，明確解決問題所需的知識范圍.

（2）聯系相同或相似的題目，從未知數的角度出發，回憶曾經是否解決過相同或相似的題目，通過知識的正遷移，利用已有的經驗和類似的方法解決問題.

（3）對問題進行必要的變更或修改，對問題進行改述，通過回到定義、考慮相關問題，激發解題思維.

1.3 實行計劃

根據已明晰的解題方案進行解題，注意每一個步驟的思考都要保持耐心，要有理有據、邏輯清晰，保證不出現任何含糊、錯誤之處.

1.4 回顧

回顧是解題的最后一步，也是最容易忽視的一步.在實行計劃后，還應當對整個解題過程進行全面的回顧和反思，這也是提高學生解題能力的重要環節.具體應從以下三個方面進行.

（1）對解題結果進行檢驗，并對每一步驟進行檢查.

（2）對解題方法進行創新，思考是否還有其他解法.

（3）擴大解題方法的應用范圍，思考能否在其他問題中應用該解題方法.

總而言之，波利亞的解題思想其實就是波利亞對自己思考問題時思維過程的總結，這種思想為學生提供了一種可視化、可操作的解題方法，避免了學生陷入面對問題無法下手的困境中.

2 基于波利亞解題思想的“平行四邊形的判定”教學案例

在明確波利亞解題思想的基礎上，下面通過兩個教學片段，來展示具體的實踐過程，感受波利亞解題思想在解題教學中的優勢.

2.1 案例1：證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

如圖1，已知四邊形ABCD，AC、BD交于點O，且OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

2.1.1 理解問題

（1）題目已知條件是什么？

從題干中可以明確已知OA=OC，OB=OD，即四邊形的對角線互相平分.

（2）通過理解已知條件，你能推出哪些隱藏條件？

因為AC、BD交于點O，所以對頂角是相等的，即∠AOD=∠COB，∠COD=∠AOB.

2.1.2 擬定計劃

（1）怎樣證明四邊形ABCD是平行四邊形？

回顧已學過的知識，明確可借助平行四邊形的定義，即兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形來證明.

（2）怎樣證明兩組對邊分別平行？

采用平行線的判定方法，可以用同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補，從而證明對邊平行.

（3）想要證明兩個三角形的內角相等，你之前是否見過與此相關的題目？

在之前學習全等三角形判定的時候就已經見過相關的題目.

（4）回到定義，有哪些三角形全等的判定方法？

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）.

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（HL）.

（5）通過已知條件是否可以先證明AD∥BC？

可以根據已知條件證明△AOD≌△COB，從而證明∠OAD=∠OCB，即可證明AD∥BC.

（6）另一組對邊呢？

可以利用類似的方法證明AB∥CD.

2.1.3 實行計劃

根據上述解題方案，寫出證明過程如下.

證明：在△AOD和△COB中，

OA=OC，

∠AOD=∠COB，

OD=OB.

∴△AOD≌△COB（SAS）.

∴∠DAC=∠ACB.

∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）.

同理可得AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

2.1.4 回顧

（1）檢查證明的步驟是否有錯誤.

（2）是否還有其他證明方法？

2.2 案例2：平行四邊形判定定理的應用

如圖2，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F是 AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

2.2.1 理解問題

（1）題目中的已知條件是什么？要求證什么？

已知條件是四邊形ABCD是平行四邊形，AE=CF.求證四邊形BFDE也是平行四邊形.

（2）你是否還能發現其他隱藏的條件？

與上一題一樣，對頂角是相等的，即∠AOD=∠COB，∠COD=∠AOB.

2.2.2 擬定計劃

（1）如何證明四邊形BFDE是平行四邊形？

①可以借助剛剛證明的平行四邊形判定定理，即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②可以借助平行四邊形的定義.

（2）如果采用平行四邊形的判定定理，如何證明BD和EF是互相平分的？

已知四邊形ABCD是平行四邊形，所以AC和BD是互相平分的，則OA=OC，OB=OD.

又由于AE=CF，所以OE=OF.

2.2.3 實行計劃

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO.

∵AE=CF，

∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.

又BO=DO，

所以四邊形BFDE也是平行四邊形.

2.2.4 回顧

（1）檢查證明的步驟是否有錯誤.

（2）是否還有其他證明方法？

從之前的擬定計劃中可以發現，還可以借助平行四邊形的定義來證明，證明的思路和方法與案例1類似，由學生獨立思考并證明.

2.3 反思與感悟

上述兩個案例，從波利亞解題的四個步驟，清楚地展示了其在平面幾何教學中的優勢.回顧兩個案例的解題過程可以發現，在進行解題時，教師首先必須引導學生弄清楚題意，從題干中提煉出有用的條件，關注一些隱藏的條件.在擬定計劃階段，教師需要啟發學生去聯想，并有意識地讓學生感悟轉化、類比等數學思想方法.這也要求學生對數學知識要形成系統性的認識，才能更好地從認知結構中找到相關聯的知識.在擬定計劃時，還要啟發學生從不同角度去尋求問題解決的思路，為其他解法的探索奠定基礎.在實行計劃時，教師應當先讓學生按照解題計劃獨立思考，這也是發展學生推理能力核心素養的應有之意.在回顧階段，教師有意識地培養學生自我回顧、反思的數學學習習慣，對解題的方法和經驗進行總結，并對問題的其他解法進行探索.波利亞的解題思想為學生解題提供了指導，也為教師的教學提供了新的思路，在教學過程中，教師需要有意識地引導學生去經歷這樣的解題過程，才能逐漸將這種科學的解題方法內化成學生的一種思維習慣.

3 結語

本文結合具體的案例，對波利亞解題思想在初中數學平面幾何教學中的應用進行了研究和探討.事實上，波利亞解題思想在其他數學知識的學習和解題中，也有著重要的指導作用.今后，我們還需要繼續對波利亞解題思想的內涵進行研究，并將其與最新的數學教育理念相結合，幫助學生養成良好的思維習慣，為學生今后的發展奠定良好的基礎.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］喬治·波利亞.怎樣解題［M］.北京：科學出版社，1982.