以字母推理發展學生代數推理素養的策略探析

摘要：推理作為數學邏輯思維的基本形式，是學生重要的數學核心素養之一。教師引領學生經歷用字母式表示問題情境中蘊含的規律、通過字母式運算獲得一般性結論的過程，有利于培養學生的歸納與概括思維，發展學生的代數推理素養。在小學階段，教師要培養學生的代數推理素養，解決學生在小學與初中數學學習中表現出來的代數思維發展斷裂的問題。

關鍵詞：數學邏輯思維；核心素養；字母式運算；代數推理

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）提出，“在義務教育階段，數學思維主要表現為：運算能力、推理意識或推理能力。”其中，“符號意識、推理能力和模型思想”都被列為重要的數學核心素養。“數與代數”領域的推理通常與數和運算相關，包括對數字與計算進行總結，將所得結論用有意義的符號進行表達并加以探索驗證。小學數學中的代數推理具體可表現為對數的屬性、符號意義、運算規律等的發現和概括，如奇數、偶數的特點，和的奇偶性規律等。經歷發現較復雜規律并嘗試用字母表示規律、推理一般性結論的過程，有助于學生從代數視角看問題，把握問題結構以及蘊含規律，將規律一般化，培養概括歸納與代數推理能力。下面，筆者以“用字母式推理一般性結論”教學為例，談談如何在小學階段培養學生的代數推理能力，解決學生在小學與初中數學學習中表現出來的代數思維發展斷裂的現象。

一、用字母表示一類數，喚醒代數推理意識

代數思維是對數量關系、規律的符號化運算，其運算具有結構化、去情境化、一般化、形式化的特點。發展代數思維并非單純地局限在“用字母表示數量關系”這部分內容，而是貫穿小學階段數學學習的始終。新課標在修訂中非常重視代數領域的關鍵特征——關系思維，特別增加了新的主題——“數量關系”，引導學生的思維轉向以關系、表示關系的方法和涉及這些表示的操作為中心。例如，在激發學生潛在的推理意識方面，設計了用字母表示一類數的活動，喚醒了學生從字母表示具體數量走向用字母表示一類數的代數思維。

（一）課前游戲，喚醒推理意識

游戲導入：上課之前我們先玩一個小游戲。教師引導學生拿出兩張小紙片，其中一張紙片上寫一個偶數，另一張紙片上寫一個奇數。提示：兩只手分別握一張紙，不要讓別人看到你寫的數，請你把左手里的數乘2、右手里的數乘3，記住兩個積相加的和。

學生左手里的數乘2，結果永遠是偶數，此時，和的奇偶性由右手的積決定。之所以設計這樣的游戲，旨在讓學生感受到數學充滿著推理，溫習和的奇偶性規律，為學生后面的學習埋下伏筆。

（二）情境導入，喚醒早期代數思維

情境導入：數形結合是一種非常重要的數學思想，這堂課，我們借助形來研究數。

教師出示一組圖形：

師：從這組圖形中你看到了哪些數？任意一個自然數可以怎么表示呢？

借助方塊圖表示數量，直觀形象，有利于幫助學生從具體走向抽象。學生借助方塊圖，很容易抽象出自然數可以用一個字母n來表示，為后面用字母表示奇數和偶數以及任意有特征的數提供了思維的支撐。

二、用字母式推理一般性結論，培養代數推理能力

抽象、推理和建模是重要的數學核心素養，如何培養學生的數學抽象能力與推理能力是教師關注的問題。代數是培養學生抽象能力的重要載體，隨著代數學習研究的不斷深入，教師對小學生代數能力的內涵理解發生了轉變，意識到僅僅會用方程解決問題并不代表具有高水平的代數思維，“一般化”和“符號化”才是代數思維的核心，而這些思維體現在代數推理的過程當中。

代數推理是形式化與符號化的，演繹的推理證明對于小學生而言更是十分抽象，通過清晰簡潔的圖示表征，可以幫助學生將抽象的數學推理過程外顯化。因此，在小學階段，教師應該充分發揮學生的主觀能動性，讓他們用自己的方式來表征和解決問題，包括使用畫圖和表格等非正式的表征方式。只有從真實的實物操作，抽象到數學圖式，最后到字母表征，才能完成嚴謹的演繹推理。

（一）用字母式表示偶數

教師提示：從這些圖式中你能看到哪些數？任意一個偶數用字母怎么表示？

學生往往由用字母n表示自然數的經驗，遷移到用字母m表示偶數。學生雖然已經意識到要用不同的字母來區別于自然數的表達，但顯然這樣的表達不能直觀表示出偶數的特征。教師要根據方塊圖的直觀特征，引導學生用2n表示所有的偶數，讓學生初步感悟用字母表示數，關鍵要體現數的特征；偶數的特征是2的倍數，外顯的結構是2 × □。

（二）用字母式表示奇數

師：這列數又有什么特征？用字母式如何表示出這列數的特征？

學生在用字母表示自然數以及偶數的基礎上，初步學會了抓住數的特征，用字母來表示。教師要引導學生學會正確地表示出奇數的特征，把奇數和偶數的直觀圖示相對照，從而自然生發出用字母式2n + 1或者2n - 1表示奇數。

（三）用字母式表示任意有特征的數

觀察下列數列，用字母式表達。

3，6，9，12…… 字母式（ ）

1，4，7，10…… 字母式（ ）

設計用字母式表示3的倍數和被3除余1的兩列數，能幫助學生提高用字母式表示有特征的數的能力。題目沒有提供直觀圖示，學生自己可以畫方塊圖、想象方塊圖，呈現數的特征。特別是被3除余1的數，可以有兩種表示方法：3n + 1或者3n - 2。

（四）用字母式推理兩個偶數相加的和的一般性結論

師：任意選兩個偶數，求出它們的和，判斷和是奇數還是偶數，并通過列表或用字母式表示結論。

生：我通過列表發現，兩個偶數相加的和是偶數，而且沒有找到反例（見表1）。

生：我用字母式相加的方法，2n + 2n = 4n，4是偶數，所以4n是偶數；

生：我用字母式來推理出任意兩個偶數相加，和一定是偶數，因為2n + 2m = 2（n + m）。

學生匯報后，教師組織比較有代表性的表達，其中用列舉的方法研究和的奇偶性，這種不完全歸納法對于發現規律起到很重要的作用。但是，如果僅僅停留在合情推理的階段，那么學生抽象邏輯思維的發展不會走向深入，所以，在高年級引入演繹推理很有必要。用字母式進行計算所獲得的結論，概括了所有的情形，數學上稱為一般性結論。教師要讓學生感悟字母式可以像數一樣進行運算和推理，任意兩個偶數的和結果都能表達為2 × □的模型，所以和一定是偶數；要讓學生經歷從合情推理走向演繹推理，提升思維的抽象水平。

三、推廣字母推理方法和策略，形成代數推理素養

在數學化的過程中，學生經歷“特例—猜想→歸納—猜想一般性結論→驗證或者證明一般性結論”的思維過程，可以獲得直接的經驗和體驗，建立真正的數學理解。對數量關系和變化規律的數學表達，是學生通過符號運算和形式推理表達現實世界中事物的本質、關系與規律的重要載體。

（一）用字母式推理任意兩個自然數相加的和的結論

師：剛才我們研究了兩個偶數的和，如果換成其他的任意自然數，又有什么結論？你會說明嗎？

探究活動：（ ）數 + （ ）數 = （ ）數，用字母式說明這個結論，把你的想法在組內說一說。

基于學生用字母式推理兩個偶數相加的和是偶數的經驗，生發出奇數與奇數、奇數與偶數相加的和的規律推理，使學生在推理的過程中獲得推理經驗，經歷嚴謹的驗證過程，提升抽象思維水平。

（二）用字母式推理任意連續奇數相加的和的結論

師：如果是更多的數相加呢？我們不妨回頭看看剛剛研究的奇數列，如果從1開始有n個奇數，那么最后一個奇數是（ ），這n個奇數的和是（ ），你會用字母式說明你的發現嗎？

課堂將要結束時，教師設計了一道從1開始的連續n個奇數相加的和的探索題目，讓學生經歷“抓住數的特征，用字母式來表達，然后用字母式通過運算獲得一般性結論”的整個演繹推理的過程。這樣，學生在驗證中獲得驗證方法和策略，不斷提升思維的歸納和概括水平。

高級心理機能的發展需要依賴各種中介工具，如語言、數學符號、特定的行為模式等。因此，發展學生的數學思維就應當讓他們在豐富的活動中掌握方塊圖模型、字母算式模型等“心理中介工具”。這些工具能幫助學生更好地理解問題中隱含的結構關系。為了幫助學生對代數推理的操作過程進行記錄，筆者引入豐富的直觀圖示，以其作為“心理中介工具”，幫助學生在完成數學表征的過程中，感受字母表達的一般性以及通過字母的運算或推理得到結論的一般性，形成代數推理素養。

參考文獻：

［1］吳立寶，劉穎超.從意識到能力：代數推理認知發展的進階理路［J］.課程·教材·教法，2023（4）.

［2］李樹臣，陳剛.加強代數推理能力訓練不斷提高學生數學素養：“數與代數”中的數學推理問題例解［J］.中學數學雜志，2021（4）.

（責任編輯：楊強）

作者簡介：宋泉妹，江蘇省啟東市蝶湖小學高級教師。

課題項目：本文系江蘇省中小學教學研究第15期課題“基于新課標的小學代數推理課程的開發與實踐研究”的階段性研究成果。課題編號：2023JY15-L154。