在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域建構(gòu)問題解決模型的路徑探析

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和推理意識(shí)建構(gòu)問題解決模型是一項(xiàng)重要學(xué)習(xí)任務(wù)。教師在教學(xué)中可以運(yùn)用以下策略，幫助學(xué)生建構(gòu)“圖形與幾何”問題解決模型：采用問題引領(lǐng)，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究；在具身體驗(yàn)中，培養(yǎng)學(xué)生有序思考；利用數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化解決問題策略；在類比推理中，建構(gòu)解決問題模型。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；具身探索；類比推理；問題解決模型

小學(xué)階段，學(xué)生的思維以具體形象思維為主。在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中，教師可利用可視化材料，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，以觀察為基本手段，充分感悟圖形的特征。幾何直觀、觀察思考是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的基本方法，其作用是為探索過程奠定基礎(chǔ)，同時(shí)也可以讓學(xué)生更好地體會(huì)圖形知識(shí)的生成過程。同時(shí)，教師也要清醒地認(rèn)識(shí)到，對(duì)想象力和思維的培養(yǎng)不僅是通過觀察形成的，抽象幾何的性質(zhì)、關(guān)系和度量，還必須通過讓學(xué)生具身操作來獲得。同樣，對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)，由直觀辨認(rèn)到系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，都是經(jīng)歷觀察、比較、歸納、總結(jié)、概括特點(diǎn)的認(rèn)知過程。基于以上思考，我們建構(gòu)了“運(yùn)用幾何直觀，在具身探索推理中建構(gòu)問題解決模型”的教學(xué)路徑（通稱“圖形與幾何”問題解決教學(xué)路徑），以期待對(duì)這類課的教學(xué)有一定的借鑒作用（如圖1）。

下面以“包裝中的學(xué)問”一課教學(xué)為例，談一談“運(yùn)用幾何直觀，在具身探索推理中建構(gòu)問題解決模型”的思考與實(shí)踐。

一、問題引領(lǐng)，探究由“被動(dòng)”到“主動(dòng)”

問題引領(lǐng)可以幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更深入、更清晰、更全面、更合理地思考。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視問題設(shè)計(jì)。在“包裝中的學(xué)問”一課中，教師應(yīng)立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)起點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生在問題引領(lǐng)下經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，有感悟才能有圖分析、有話可說、有理可推。本節(jié)課主要圍繞以下幾個(gè)問題引發(fā)學(xué)生思考與交流。

問題1：如圖2，這個(gè)牛奶盒類似于長(zhǎng)6 cm，寬 4 cm，高13 cm的長(zhǎng)方體。要包裝這盒牛奶，至少需要多少包裝紙？就是求長(zhǎng)方體的什么？由于把一個(gè)牛奶盒實(shí)物圖轉(zhuǎn)化為類似的長(zhǎng)方體，并引導(dǎo)學(xué)生通過觀察平面圖與相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，他們立刻理解了求包裝1盒牛奶需要多少包裝紙，就是求長(zhǎng)方體的表面積。學(xué)生及時(shí)計(jì)算出牛奶盒的表面積，既復(fù)習(xí)了舊知，又為后面的探究驗(yàn)證埋下伏筆。

問題2：如圖3，一箱牛奶有12盒，只能這樣擺放嗎？為什么生產(chǎn)廠家要這樣擺放？有的學(xué)生說這樣擺放是因?yàn)樽罟?jié)省包裝紙，是這樣嗎？下面我們要做什么？（驗(yàn)證）。12盒牛奶如何擺放才最節(jié)省包裝紙，請(qǐng)大家閉著眼睛在腦海里擺一擺，想一想，你有什么感覺？我們可以怎樣做？（從簡(jiǎn)單出發(fā)，先研究2盒、3盒、4盒，看看能否從中找到最節(jié)省包裝紙的規(guī)律）。

問題3：說說4盒牛奶可以怎么包裝？你能根據(jù)剛才擺放的方法給這些包裝分分類嗎？為什么這樣分？

問題4：請(qǐng)大家猜一猜哪種擺放方法最節(jié)省包裝紙，我們應(yīng)怎樣驗(yàn)證自己的猜想？通過計(jì)算比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題5：遇到包裝問題時(shí)是否都要把所有包裝方法一一列舉出來，再進(jìn)行計(jì)算比較，才能找到最佳包裝的方法？能不能探究出一種最節(jié)省包裝紙的方法？

以上問題均能借助可視化實(shí)物和草圖，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，引發(fā)學(xué)生充分觀察、深度思考、暢所欲言，彰顯思維顯性化。教師要讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、計(jì)算、推理、建模等活動(dòng)過程，使學(xué)生真正在問題引領(lǐng)中思考，在思考中感悟，在感悟中深入，以此提升思維層次。

二、具身體驗(yàn)，思考由“零亂”到“有序”

在探究由4個(gè)相同長(zhǎng)方體組合成新的長(zhǎng)方體時(shí)，雖然大部分學(xué)生通過小組合作動(dòng)手?jǐn)[4盒牛奶，并根據(jù)擺的實(shí)物圖畫出相對(duì)應(yīng)的草圖，一共得到6種包裝方案，但此時(shí)學(xué)生的思維還是零亂無序的，思考還是片面的。為了讓學(xué)生的思考從零亂到有序，思考由片面到全面，筆者展開了如下具身體驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)。

先讓學(xué)生想一想4盒牛奶可以怎么擺。

合作要求：1人邊說邊擺，組員邊觀察邊在表格里動(dòng)手畫圖（輪流拼擺），比一比哪一組擺的方法多。

小組匯報(bào)補(bǔ)充，說一說是怎么擺的，小組一邊展示所畫的草圖，一邊說擺的方法（如圖4）。

師：你能根據(jù)剛才匯報(bào)的擺法，給這6個(gè)圖形分分類嗎？說說為什么這樣分？

學(xué)生通過觀察交流發(fā)現(xiàn)：這6個(gè)圖形的體積相等，都是由4個(gè)相同長(zhǎng)方體組成的，即4 = 4 × 1 × 1 = 1 × 4 × 1 = 1 × 1 × 4 = 2 × 2 × 1 = 2 ×1 × 2 = 1 × 2 × 2，學(xué)生根據(jù)不同的排列組合方法，把6種疊放方法分為以下兩類（如下頁圖5）。

師：你能依據(jù)剛才4盒牛奶疊放的分類方法，快速探究出6盒牛奶一共有多少種包裝方法嗎？12盒呢？（學(xué)生先獨(dú)立嘗試，再小組交流匯報(bào)）

教師在教學(xué)過程中，沒有讓學(xué)生僅僅停留在動(dòng)手?jǐn)[實(shí)物、畫草圖得出6種包裝方案這一層面上，而是讓學(xué)生繼續(xù)思考并闡述擺的方法和特點(diǎn)，清晰感受到6種擺法的真實(shí)畫面。接著，教師繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考，根據(jù)6種擺法給圖形分分類，再一次激起學(xué)生思維的火花。由于學(xué)生對(duì)疊放的方法理解到位了，加上6個(gè)圖形體積不變，通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)、寬、高4，1，1分為一類，1，2，2分一類，這樣對(duì)多種擺法就做到了不重復(fù)、不遺漏，有序思考就水到渠成了。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合4盒牛奶擺的方法和分類策略，獨(dú)立解決6盒、12盒的擺法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用、舉一反三的能力。這樣，學(xué)生在腦海中自然而然地建構(gòu)起多個(gè)相同長(zhǎng)方體組合成新的長(zhǎng)方體疊放的方法。

三、數(shù)形結(jié)合，策略由“多樣”到優(yōu)化

學(xué)生通過擺牛奶盒、畫草圖、標(biāo)出新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高等數(shù)形結(jié)合的策略，使得新的長(zhǎng)方體示意圖鮮活地呈現(xiàn)在每個(gè)學(xué)生的面前。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生充分觀察包裝示意圖，通過猜想、計(jì)算驗(yàn)證、比較、發(fā)現(xiàn)，揭示最節(jié)省包裝紙包裝方法的本質(zhì)特征，發(fā)展學(xué)生優(yōu)化的思想。下面以探索4個(gè)長(zhǎng)方體哪種疊放方法最節(jié)省包裝紙為例（如圖6）。

猜一猜哪種方案最節(jié)省包裝紙？大部分學(xué)生都猜第3種，因?yàn)樗睾系拿娣e最大，共重合了4個(gè)大面和4個(gè)中間，所以包裝的面積應(yīng)該是最小。是不是這樣呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算驗(yàn)證、比較再下結(jié)論。學(xué)生以小組為單位開展合作探究學(xué)習(xí)，在小組匯報(bào)時(shí)，出現(xiàn)了3種驗(yàn)證比較方法。第一種是：根據(jù)表面積計(jì)算公式計(jì)算出6種新的大長(zhǎng)方體的表面積；第二種是：用總表面積-重合面積=新的表面積來計(jì)算出6個(gè)圖形的表面積； 第三種是：先用推理方法排除表面積比較大的①②④三種圖形，再計(jì)算驗(yàn)證剩下的③⑤⑥三個(gè)圖形的表面積。

A組學(xué)生匯報(bào)：我們組根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算公式，每人分工算出一種新圖形的表面積，再把6種不同包裝的表面積進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)3號(hào)包裝的表面積最小，即（12 × 8 + 12 × 13 + 8 × 13） × 2 = 712 cm2。通過整體比較分析，我們還發(fā)現(xiàn)了其中的兩條規(guī)律：（1）長(zhǎng)寬高越接近，表面積越小；（2）長(zhǎng)寬高加起來的和越小，表面積越小。學(xué)生邊聽A組學(xué)生的匯報(bào)，邊觀察思考，發(fā)現(xiàn)他們的探究有理有據(jù)。

B組學(xué)生匯報(bào)：我們組根據(jù)4個(gè)小長(zhǎng)方體總的表面積 - 重合面積 = 新長(zhǎng)方體的表面積，每人分工算出一種包裝圖形的表面積，再進(jìn)行比較，也發(fā)現(xiàn)3號(hào)表面積是最小的，它重合了前后面和左右面，即308 × 4 - （12 × 13 × 2 + 8 × 13 × 2） = 712 cm2，從中我們發(fā)現(xiàn)，重合面積越大，拼成的新長(zhǎng)方體表面積越小，越節(jié)省包裝紙。學(xué)生對(duì)B組方法和發(fā)現(xiàn)充分肯定。

C組學(xué)生匯報(bào)：我們組先根據(jù)每個(gè)小長(zhǎng)方體的大面、中面、小面去觀察6種圖形，因?yàn)橹睾厦嬖叫。砻娣e越大。1號(hào)重合面是6個(gè)中面，2號(hào)重合面是4個(gè)小面和4個(gè)中面，4號(hào)重合面是6個(gè)小面，這3個(gè)圖形包裝面積一定大的，所以直接排除。另外3個(gè)圖形重合面比較接近，所以通過計(jì)算3個(gè)圖形表面積后再比較，也發(fā)現(xiàn)3號(hào)表面積是最小的。我們也發(fā)現(xiàn)“重合面積越大，表面積越小，最節(jié)省包裝紙。”學(xué)生聽完C組學(xué)生的比較方法后，一致認(rèn)可，并響起了掌聲。

教師總結(jié)：剛才同學(xué)們呈現(xiàn)的3種策略證實(shí)了我們的猜想。通過觀察比較，大家都喜歡第3種策略，理由是C組的驗(yàn)證方法是通過觀察圖形的特點(diǎn)，根據(jù)重合大面、中面、小面的情況，快速把表面積大的包裝圖形通過推理的方法排除。然后，把表面積相近的3種包裝圖形進(jìn)行計(jì)算比較并發(fā)現(xiàn)結(jié)果。這種解題策略直觀、簡(jiǎn)潔、高效，從中學(xué)生可以深刻理解“重合面積越大，拼成的新長(zhǎng)方體表面積越小，越節(jié)省包裝紙”這一規(guī)律。

教師讓學(xué)生猜測(cè)哪種方案最節(jié)省包裝紙，激起了學(xué)生探究驗(yàn)證的熱情，通過可視化的圖形，引領(lǐng)學(xué)生觀察、思考、計(jì)算、發(fā)現(xiàn)、匯報(bào)，為不同層次學(xué)生搭建解決問題的舞臺(tái)；引導(dǎo)學(xué)生比較三種解題策略的優(yōu)劣，闡述自己的見解，分享別人的智慧，使他們?cè)诮忉屩欣斫庾罟?jié)省包裝紙的本質(zhì)屬性，提高了分析思考能力，發(fā)展優(yōu)化思想。

四、類比推理，建模由“個(gè)例”到“一般”

在探究最節(jié)省包裝紙的活動(dòng)中，每一環(huán)節(jié)學(xué)生的思考都離不開幾何直觀的支撐，教師通過引領(lǐng)拼擺2盒、4盒牛奶方法，且畫出每一種包裝方案示意圖，使學(xué)生經(jīng)歷猜想、計(jì)算、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)了“重合面積越大，拼成的新長(zhǎng)方體表面積越小，越節(jié)省包裝紙”這一規(guī)律。那是不是以后遇到包裝問題都要把所有包裝方法一一畫出來，再觀察比較計(jì)算，才能得出最節(jié)省包裝紙的面積呢？能否根據(jù)1盒牛奶，比較2盒、4盒牛奶最節(jié)省包裝紙的示意圖，直接探究推理找出最節(jié)省包裝紙的方法呢？這樣的問題打開了學(xué)生的思維，學(xué)生紛紛通過觀察示意圖發(fā)表自己的見解。

大部分學(xué)生討論交流后認(rèn)為，不需要把所有的包裝方法都擺或畫出來，可以根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，每次包裝時(shí)，只要想辦法把最大面重合，這樣包裝面積就最小了。例如，1盒牛奶，前面最大，包2盒時(shí)就把1盒前面重合蓋住，這樣2盒最節(jié)省包裝紙方案就出來了。教師出示思考題，讓學(xué)生把4盒牛奶最節(jié)省包裝紙圖在草稿本上畫一畫，比一比誰能最快推導(dǎo)出來。

學(xué)生快速推理出4盒最節(jié)省包裝紙示意圖（如圖6），而且剛剛探究過4盒牛奶最節(jié)省包裝紙是712 cm2，所以，這個(gè)每次“找新大面，蓋新大面”直接逼近最節(jié)省包裝紙的方法讓全班學(xué)生心服口服，欣然接受。教師再次引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)示意圖推理：如果繼續(xù)往下推，能推出6盒、9盒、12盒的最節(jié)省包裝紙方案嗎？大家在草稿本上接著找一找、蓋一蓋、推一推、看誰第一個(gè)推出來？

在4盒的基礎(chǔ)上，學(xué)生運(yùn)用“每次找新大面，蓋新大面”的方法解決問題。一些空間觀念強(qiáng)的學(xué)生，把6盒、9盒、12盒牛奶最節(jié)省包裝紙示意圖都畫出來了（如圖7）。

教師提問：“如果給你充足的時(shí)間，你還能繼續(xù)往下推嗎？推得完嗎？從剛才推理當(dāng)中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)：找最節(jié)省包裝紙方案，要畫示意圖，從1盒開始，每次“找新大面，蓋新大面”，所形成新的長(zhǎng)方體表面積最小，最節(jié)省包裝紙。

總之，在“圖形與幾何”問題解決教學(xué)過程中，教師要充分運(yùn)用幾何直觀，巧用問題引領(lǐng)，激活學(xué)生思維，使其感受數(shù)學(xué)的趣味性和挑戰(zhàn)性，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷解決問題模型的構(gòu)建過程。類比推理的培養(yǎng)要由例及法，由例及類，教師應(yīng)讓學(xué)生舉一反三，觸類旁通，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，發(fā)展高階思維能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鄭毓信.以“深度教學(xué)”落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（9）.

［2］ 趙銷燕.關(guān)注模型建構(gòu) 凸顯深度學(xué)習(xí)［J］.教學(xué)月刊，2022（1-2）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）

作者簡(jiǎn)介：孫衣云，浙江省常山縣教育局教研室高級(jí)教師。江紅梅，浙江省常山縣天馬鎮(zhèn)第一小學(xué)高級(jí)教師。