基于范希爾理論培育幾何思維的教學實踐研究

摘 要 幾何思維培育對幾何教學具有重要意義。范希爾理論是以學生思維發展為基礎，并結合幾何教學實踐提出的實踐教學理論。以“垂直于弦的直徑”為例，經歷觀察、實踐、猜想、證明、應用等數學活動，培養學生的幾何推理能力，促進學生幾何思維的養成。

關鍵詞 范希爾理論 幾何教學 思維水平 垂徑定理 教學實踐

一、范希爾理論概述

（一）范希爾理論的內涵

范希爾理論是20世紀50年代，由荷蘭人范希爾夫婦提出的。范希爾夫婦基于學生學習幾何的現狀，以皮亞杰認知發展理論為基礎，提出了幾何“五階”思維水平，分別是視覺水平、分析水平、非形式化演繹水平、形式化演繹水平和嚴密性水平。范希爾夫婦將上述研究成果應用于幾何課堂教學中，把幾何學習分成五個階段，分別是學前咨詢、定向引導、闡明、自由定向、整合。幾何“五階”思維水平和幾何教學五個階段的對應關系，如表1所示。

表1 幾何“五階”思維水平和幾何教學五個階段的對應關系

[幾何“五階”思維水平 幾何教學五個階段 水平1 視覺 階段1 學前咨詢 水平2 分析 階段2 定向引導 水平3 非形式化演繹 階段3 闡明 水平4 形式化演繹 階段4 自由定向 水平5 嚴密性 階段5 整合 ]

學前咨詢是指教師與學生間進行互動交流，了解學生的已有知識儲備水平或認知結構，并滲透學習目標，學生基于自己的困惑提出問題；定向引導是指教師基于學前咨詢所獲得的信息，設計有序的學習活動，形成直觀感受；闡明是指通過交流討論和規范化的數學語言表達看法、驗證猜想等；自由定向是指通過相對自由的探索空間來獲得新的知識經驗；整合是指通過分析、解決幾何問題，形成新的認知結構，并納入已有知識結構中。[1]6

（二）范希爾理論在幾何教學中的價值

1.基于學生認知發展規律促進學生幾何思維發展。幾何思維是一種科學的思維過程[2]43，是在進行幾何知識學習或解決幾何問題時所表現出來的思維加工過程，如觀察、分析、歸納、推理等。范希爾夫婦以學生認知發展規律為基礎，充分考慮了幾何知識學習的特殊性，提出了幾何“五階”思維水平。幾何“五階”思維水平的發展過程需要綜合運用觀察、分析、綜合、歸納、演繹、推理等科學思維方法，從一個水平進階發展到更高層級水平。

2.基于認知結構發展促進幾何知識內化。知識內化是在原認知結構基礎上，通過知識學習的不斷深入，在頭腦中形成新的知識體系，并逐步建構新的認知結構的過程。范希爾理論的“學前咨詢”階段目的是了解學生的已有知識水平或認知結構，通過逐級遞進過程，在“整合”階段形成新的認知結構。因此，范希爾理論為促進幾何知識內化提供了重要途徑。

（三）基于范希爾理論的課堂教學實踐路徑

實踐需要理論的指導，實踐也是檢驗理論合理性的唯一場所。如何應用范希爾理論指導課堂教學實踐呢？將幾何教學五個階段演繹為課堂教學環節，從而發揮其理論指導功能。基于范希爾理論的課堂教學實踐路徑，如表2所示。

表2 基于范希爾理論的課堂教學實踐路徑

[范希爾理論（幾何教學五個階段） 課堂教學實踐路徑 階段1 學前咨詢 環節1 復習回顧，激活舊知 階段2 定向引導 環節2 關聯比較，提出猜想 階段3 闡明 環節3 驗證猜想，習得新知 階段4 自由定向 環節4 運用新知，解決問題 階段5 整合 環節5 總結提升，發展認知 ]

從表2可以看出，范希爾理論的階段性與課堂教學實踐環節是一一對應的。基于范希爾理論的課堂教學實踐路徑體現了建構主義思想，是促進學生的思維發展和認知結構發展的重要途徑。

二、基于范希爾理論的教學實踐

本研究以人民教育出版社《義務教育教科書·數學》（九年級·上冊）中第二十四章的“24.1 圓的有關性質”第2課時“垂直于弦的直徑”為例進行教學實踐。[3]81-83在學習本節課內容前，學生已經學習過圓的圓心、半徑、直徑、弦、圓弧、半圓、等圓、等弧等基本概念，這為本節課知識學習奠定了知識基礎。

（一）教學目標

（1）通過對折等腰三角形紙片，了解其對稱性特征，初步形成軸對稱圖形的感性認識。

（2）通過對折圓形紙片和理論證明，掌握圓形的對稱性特征，實現從感性認識到理性認識的能力提升。

（3）通過計算趙州橋主橋拱的半徑，感受數學知識的應用價值，發展科學態度和社會責任意識。

（4）通過課堂教學回顧，初步形成垂徑定理的認知結構，發展模型認知素養。

（二）教學環節

【環節1】復習回顧，激活舊知

[師]同學們，手中現在有兩張圖形紙片，分別是什么？

[生]等腰三角形和圓形。

問題1：等腰三角形是我們已經熟悉的圖形，請同學們先拿出等腰三角形紙片，沿底邊上的高進行對折，你能得出什么結論呢？

學生活動：沿底邊上的高所在直線對折等腰三角形。

[生]等腰三角形沿底邊上的高對稱。

設計意圖：問題1的目的是通過學生親手實踐活動，激活已經學習過的等腰三角形知識，了解其是軸對稱圖形。為驗證圓形的軸對稱性特征做鋪墊，促進“視覺”思維發展。

【環節2】關聯比較，提出猜想

問題2：請同學們拿出圓形紙片，沿不同直徑進行對折，重復做幾次，你能得出什么結論呢？

學生活動：多次沿不同直徑對折圓形紙片。

[生]圓也是軸對稱圖形。

追問1：對稱軸在哪？

[生]圓的直徑所在直線。

追問2：通過折紙發現等腰三角形和圓形都是軸對稱圖形。那么，如何證明圓是軸對稱圖形呢？

設計意圖：問題2的目的是通過折疊圓形紙片活動，基于實踐得出圓是軸對稱圖形的結論；追問1的目的是通過明確對稱軸進一步確認圓是軸對稱圖形。追問2的目的是通過等腰三角形和圓形的關聯比較，為理論驗證做鋪墊，發展“視覺”“分析”“非形式化演繹”等幾何思維。

【環節3】驗證猜想，習得新知

[師]請同學們結合等腰三角形的特征，證明：圓上任意一點關于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點也在圓上。

問題3：根據題中描述，如何證明結論成立？先畫出相應的圖形，再證明。

學生活動1：分析題意，嘗試將文字轉換成數學語言和幾何圖形，并標點。

設CD為⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上除點C、D以外的任意一點，過點A做AA′⊥CD，交⊙O于A′，垂足為M，連接OA、OA′，如圖1所示。

[師]根據已學過的等腰三角形相關知識，證明結論是否成立。

學生活動2：根據學習活動1所畫的圖形進行分析、推理、證明。

在ΔOAA′中，因為OA = OA′，所以ΔOAA′為等腰三角形；

又因為AA′⊥CD，所以AM = MA′。結論得證。

[師]根據證明，圓形是軸對稱圖形。

設計意圖：在環節2折紙實踐得出結論基礎上，問題3的目的是進行推理證明，初步形成分析、推理能力，感悟“非形式化演繹”“形式化演繹”思維。

【環節4】運用新知，解決問題

[師]通過折紙實踐和理論推理，都證明了圓形是軸對稱圖形。趙州橋是隋代建造的石拱橋，它的跨度（弧所對的弦的長）為37 m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23 m，如圖2所示。

問題4：根據圓的相關知識，趙州橋主橋拱的半徑是多少呢？（結果保留小數點后一位）

[師]根據題意和圖2所示，畫出趙州橋的幾何圖形并進行求解。

學生活動1：畫出趙州橋的幾何示意圖，如圖3所示。

學生活動2：根據圖3所示，求解趙州橋主橋拱的半徑。

如圖3所示，AB = 37 m，MN = 7.23 m，求OB的長度。

根據垂徑定理，OM ⊥ AB，OB2 = （OM － MN）2 + NB2

即OB2 = （OB － 7.23）2 + 18.52，所以OB ≈ 27.3 m。

設計意圖：通過引導學生運用垂徑定理求解趙州橋主橋拱的半徑，發展學生基于所學數學知識解決真實問題的能力，感受數學知識的價值，發展“形式化演繹”思維。

【環節5】總結提升，發展認知

[師]知識學習是一個從感性到理性的過程，也是實踐、認識、再實踐過程。垂徑定理的認知結構圖，如圖4所示。

設計意圖：通過垂徑定理的建構思路的重現，引導學生學習知識建構的策略方法，從已知走向未知，最終形成新的認知結構，發展學生“嚴密性”思維。

三、總結與反思

本研究是以范希爾理論為基礎，幫助學生形成促進幾何思維發展的分析框架，提高幾何知識學習和運用的能力，促進新的認知結構發展。

（一）關注學生已有知識經驗降低認知難度

學生已有知識經驗是學生進行新知識學習的基礎。在本節課中，教師抓住了等腰三角形和圓形都是軸對稱圖形的特征，通過圖形折紙實踐，引導學生形成了圓形是軸對稱圖形的感性認識。激活已有知識，在新舊知識之間尋找相互關聯的要素，引導學生經歷分析、比較等活動在新舊知識之間建立關聯，以降低新知識的認知難度。

（二）解決真實問題感悟知識價值

知識價值是知識存在和發展的先決條件。在理論證明垂徑定理的基礎上，通過引導學生求解趙州橋主橋拱的半徑，不僅滲透了中華民族優秀傳統文化，還引導學生感悟了垂徑定理的價值，初步形成了分析問題、解決問題的能力。

（三）總結提升形成新的認知結構

認知結構是對客觀知識的結構化認知圖示。本研究通過課堂總結，把知識的建構和運用過程進行結構化處理，以思維導圖的形式呈現出來，這是基于范希爾理論培育幾何思維的再現，也為學生未來新知識學習做了準備和鋪墊。

范希爾理論是以學生認知發展規律為基礎，并結合幾何學科特點提出的促進幾何知識學習的實踐教學理論。該理論對于降低學生認知難度和規范教學過程具有重要價值，在教學過程中，教師可以根據具體學科知識特征，有針對性地加以運用。

[參 考 文 獻]

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]張大均.教育心理學[M].北京：人民教育出版社，2015.

[3]林群 主編.義務教育教科書·數學（九年級·上冊）[M].北京：人民教育出版社，2023.

（責任編輯：姜顯光）