“小數”概念建構的兩個視角：“1”和“單位”

摘 要 概念建構是數學知識學習的重要組成部分。數學概念的抽象特征和小學生的具象認知特點是影響數學概念建構的重要因素。“小數”概念的抽象性決定了其概念建構是小學數學的教學難點。“小數”概念建構應該以十進制作為認識“小數”的基礎，基于“1”和“單位”兩個視角進行建構。

關鍵詞 小學數學 小數 十進制 建構視角

“數與代數”是義務教育階段學生數學學習的四個重要領域之一[1]16-17?；诓煌膽眯枨螅瑪悼煞譃檎麛怠⑿怠⒎謹档炔煌问健Ｔ谕ǔＧ闆r下，小數是與整數相對應的一種數的表達形式。小數最早是我國提出和使用的，公元3世紀，我國數學家劉徽提出把整數個位以下無法標出名稱的部分稱為“徽數”，公元13世紀，我國數學家朱世杰提出“小數”名稱。在教學過程中，如何理解“小數的意義”呢？教師需要采取什么樣的教學策略呢？

一、課標及教材分析

（一）課標分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出小學3 ～ 4年級要“了解十進制計數法”[1]20?！斑M制”是數進行劃分的重要基礎，而“十進制”是小數概念產生的基礎。

（二）教材分析

本節課內容位于人教版《義務教育教科書·數學》（四年級·下冊）“第4章 小數的意義與性質”第一課時[2]32-33。本節課教學內容是以三年級“小數的初步認識”為基礎，同時為小數的性質、運算的學習等做鋪墊。教材中主要是以測量1 m為例，分為能夠測量1 m和不足1 m兩種情況，本研究正是在此啟發下，提出從“1”和“單位”兩個視角促進“小數”概念本質理解。

基于課標和教材分析可以看出：（1）小數概念建構的基礎：十進制；（2）小數概念建構的視角之一：1；（3）小數概念建構的視角之二：單位。

二、“小數”概念建構

（一）小數概念建構的基礎：十進制

數的進制是認識數的基礎。基于不同的現實需求，不同領域采取了不同的進制方式，如小時與分、分與秒之間是六十進制，年與月之間是十二進制，周與天之間是七進制等。

十進制是數的運算進制，即滿十進一。例如，1 m等于10 dm，1 dm等于10 cm，1 cm等于10 mm。明確了數的運算進制，就明確了如何把最小整數“1”進行等分。

（二）基于視角“1”建構“小數”概念

“1”是最小的整數，不能再劃分出整數。但是，“1”并不是最小的數，按照不同的進制，“1”仍然可以進行等分?？紤]到小學生的認知發展特點，在實際教學過程中，小數概念建構應該是從具象到抽象的過程。

1.基于尺度“1”建構小數。尺度“1”是基于工具測量的單位長度，如1 m、1 dm、1 cm。首先，用格尺在紙上畫出10 cm的線段，然后將線段10等分，每一份是1 cm。然后，把1 cm繼續10等分。格尺上標的刻度是“厘米”，如果把1 cm線段10等分，無法用整數表示。那么，應該如何表示呢？以此引發學生的認知沖突。因此，1是問題的“節點”。如何解決這一問題呢？必須采用新的計數方式：小數。

2.基于單位“1”建構小數。單位“1”是把一個完整的物體的長或寬看作“1”。例如，把一張書桌的長度定義為“1”。把書桌的長度進行10等分，每一份怎么表示呢？1是學生認識的最小整數，因此在進行等分時也無法用整數來表示。以此拓展學生對“1”的認識。

尺度“1”和單位“1”有具體物體作為參照，學生很容易理解。如果脫離開具體物體，小數應該如何建構呢？

3.基于數字“1”建構小數。數字“1”是抽象的，但是有具象事物作為參照，也很容易理解。數字“1”作為最小的整數，如果按十進制把1分成十等份，每一份就是十分之一，把分數再轉變成小數。

因此，對于“1”的不同理解，數的表示形式將發生變化。上面對“1”的理解和認識過程是按照由具象到抽象的順序，這符合知識學習規律和學生的認知發展規律，有助于學生建構“小數”概念。

（三）基于“單位”視角建構“小數”概念

單位是數字表示方式轉變的又一個重要因素。選擇不同的單位決定了數字不同的表達形式，而單位的選擇又需要結合實際需要。例如，測量教學樓的長度常用米作單位，測量書本的長度常用厘米作單位。以測量數學書的長度為例進行說明。

1.以毫米為單位表示測量結果。通過實際測量后，數學書的長度是258 mm。從數值可以看出，以毫米為單位表示數學書長度時，其結果是整數。

2.以厘米為單位表示測量結果。通過實際測量后，數學書的長度在25 cm與26 cm之間，無法準確表達數學書的實際長度。因此，在表示時就需要引入新的計數形式，即小數。格尺的規格能精確到毫米，毫米與厘米是十進制的關系，引入小數表達方式后，數學書的長度表示為25.8 cm。

3.以分米為單位表示測量結果。1 dm等于10 cm，因此數學書的長度將更難以表達，通過十進制關系轉換后，數學書的長度表示為2.58 dm。

從上面分析可以看出，采用何種單位表示測量結果決定了數的表達形式。以毫米、厘米、分米為單位表示數學書的長度分別是整數、整數加一位小數、整數加兩位小數的表達形式。如果以米為單位將出現整數加三位小數的表達形式，即0.258 m。

（四）基于“單位”認識小數的數位

數位表示數的精確程度。基于單位認識小數的數位劃分，例如，以數學書長度的表示為例，用不同的單位表示數學書的長度分別為：258 mm、25.8 cm、2.58 dm、0.258 m。

1.以毫米為單位表示數學書的長度。沒有對最小單位毫米進行再分，因此沒有小數部分。

2.以厘米為單位表示數學書的長度。在25與26之間把1 cm均分為10份，因此出現了一位小數，稱為“十分位”。

3.以分米為單位表示數學書的長度。在2 dm與3 dm之間均分為10份，每一份為0.1 dm，在2.5和2.6之間進行十等分，每一份為0.01 dm，出現了兩位小數，分別稱為“十分位”“百分位”。

4.同理，以米為單位表示數學書的長度，進行三次十等分，將會出現三位小數，分別稱為“十分位”“百分位”“千分位”。

從上述分析可以看出，表達同一事物時，其數位與十等分的次數有關，等分的次數越多，小數的位數越多，依次分別稱為“十分位”“百分位”“千分位”等。

三、教學啟示

素養導向的數學課堂教學就是讓學生在學習過程中體驗知識的獲得過程，在學習活動中建構知識、應用知識。通過創造良好的學習機會激發學生的學習欲望[3]，這是教師在進行教學設計時必須面對的課題。通過“小數”概念建構研究得到如下教學啟示。

（一）理解概念建構的內在機制

內在機制是進行概念建構的核心。小數作為一種新的數值表示形式，需要以整數為基礎進行建構學習，因此明確整數和小數之間的關聯，即數的進制，是進行小數概念建構的核心。在進行數的運算時，整數與小數的內在關聯機制是“十進制”，這是對“1”進行十等分的依據。

（二）抓住概念的關鍵特征

概念的關鍵特征是概念間最本質的區別?！靶怠备拍畹奶卣髟谟凇靶怠迸c“整數”的區別，因此最小整數“1”是問題解決的關鍵。另外，用數值進行表達時，單位是影響數值表達形式的核心要素。只有抓住關鍵特征，才能把握知識的本質，本研究就抓住了“1”和“單位”兩個關鍵特征進行“小數”概念建構。

（三）認識概念的基本構成

概念建構除了了解概念建構的內在機制和關鍵特征外，還要認識概念的基本構成。與整數一樣，小數部分的位數也可以無限地排列下去。每一位小數是如何得來的呢？文中從“單位”視角進行了分析，通過十等分的形式建構出了小數的數位概念。

在數學教學過程中，由于數學概念的特點，概念建構需要綜合考慮概念特征和學生認知等多方面因素，因此教師對概念建構策略的選擇至關重要。學習路徑是豐富多元的，需要教師在教學實踐過程中積極開拓教學資源，采取適切的教學策略，讓概念建構學習在課堂教學過程中真正發生。

[參 考 文 獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]小學數學教材編委會.義務教育教科書·數學（四年級·下冊）[M].北京：人民教育出版社，2022.

[3]趙映松.小學數學課堂教學創新學習實踐探索：以“平行四邊形面積的計算”教學為例[J].中小學教學研究，2023，24（2）：19-23.

（責任編輯：姜顯光）