“二元一次方程組”單元整體設(shè)計(jì)

編者按

2023年7月，東營市勝利第六中學(xué)入選首批山東省中小學(xué)大單元教學(xué)培育學(xué)校. 學(xué)校將大單元教學(xué)范式的構(gòu)建與實(shí)施作為攻關(guān)項(xiàng)目.

項(xiàng)目實(shí)施半年多來，切實(shí)提升了教師的業(yè)務(wù)素質(zhì)，培育了學(xué)生的核心素養(yǎng)，為學(xué)校的內(nèi)涵提升貢獻(xiàn)了“教研力量”. 東營市勝利第六中學(xué)數(shù)學(xué)教研組先行先試，在“學(xué)校—教研組—備課組，理論學(xué)習(xí)—實(shí)踐推進(jìn)—反思提升，單課時研討—連續(xù)課研討—復(fù)習(xí)課研討”三輪驅(qū)動的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了“大立意設(shè)計(jì)、大情境引領(lǐng)、大任務(wù)驅(qū)動、大概念統(tǒng)攝”的大單元教學(xué)范式，以期通過“大立意：意在課先，落實(shí)立德樹人第一要務(wù)；大情境：真實(shí)情境，架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁；大任務(wù)：自主建構(gòu)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性；大概念：聚焦核心，明確單元教學(xué)的主題”的實(shí)施，實(shí)現(xiàn)“塑整體觀 育完整人”的預(yù)期目標(biāo).

本組文章以“二元一次方程組”為依托，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，分別從單元整體設(shè)計(jì)和課時設(shè)計(jì)（定義、解法、應(yīng)用）的角度進(jìn)行案例呈現(xiàn)，重點(diǎn)關(guān)注相關(guān)理論在常態(tài)課堂的“落地生根”，以期引導(dǎo)更多的教研團(tuán)隊(duì)參與進(jìn)來，開發(fā)出更多的優(yōu)秀教學(xué)案例，推動初中數(shù)學(xué)學(xué)科高質(zhì)量發(fā)展.

［摘 要］ 文章以“二元一次方程組”為例，從內(nèi)容及其解析、教學(xué)目標(biāo)及其解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)支持條件分析、單元整體設(shè)計(jì)、教學(xué)評價(jià)幾個角度給出其“大立意設(shè)計(jì)、大情境引領(lǐng)、大任務(wù)驅(qū)動、大概念統(tǒng)攝”的大單元教學(xué)設(shè)計(jì)，并對分課時內(nèi)容（定義、解法和應(yīng)用）進(jìn)行簡單說明.

［關(guān)鍵詞］ 二元一次方程組；大單元；大概念；方程

寫在前面

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡稱《課標(biāo)2022》）將義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容分為四個領(lǐng)域，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐. 其中，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域（第四學(xué)段）由數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)三個主題構(gòu)成，前面的內(nèi)容是后面學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)，后面的內(nèi)容是前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的延伸.

數(shù)與式是學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，而在方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中又能鞏固數(shù)與式的相關(guān)內(nèi)容，所以它們相輔相成. 方程、不等式、函數(shù)等是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系（相等關(guān)系、不等關(guān)系、變量關(guān)系）的有效模型，學(xué)習(xí)時遵循相同的學(xué)習(xí)思路，主要從“定義（含相關(guān)概念）、解法、應(yīng)用”三個角度展開. 可見，方程的學(xué)習(xí)將為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式和函數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 而不等式和函數(shù)的學(xué)習(xí)又能鞏固方程的相關(guān)知識，所以需要一線教師引起足夠的重視.

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的有效模型. 在初中階段，學(xué)生主要學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程這四類方程. 同上面的分析一致，這四類方程的學(xué)習(xí)同樣遵循相同的學(xué)習(xí)思路，也是主要從定義、解法、應(yīng)用三個角度展開，前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供思路和方法，后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)又能鞏固前面內(nèi)容的知識和思想.

魯教版數(shù)學(xué)教材在編寫過程中遵循螺旋上升的理念，將四類方程根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和年齡特點(diǎn)，分布在不同的分冊中，為學(xué)生構(gòu)建了邏輯一致、前后連貫的“學(xué)材”，指明了方程學(xué)習(xí)的路線圖：定義、解法、應(yīng)用. 教材編排順序如表1.

內(nèi)容及其解析

（一）內(nèi)容

通過對大單元教學(xué)的研究，我們將初中階段的教材進(jìn)行重新整合，把四冊書中的“方程”作為大單元提取為一個整體，遵循“定義、解法、應(yīng)用”的學(xué)習(xí)思路，將每部分的方程分為定義、解法、應(yīng)用來學(xué)習(xí). 方程這一大單元主要依托杭州亞運(yùn)會這一大情境，確立培養(yǎng)學(xué)生愛國情懷、頑強(qiáng)刻苦的拼搏精神的大立意，通過一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程學(xué)習(xí)中的大問題，最終讓學(xué)生形成“方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”這一大概念. 本次的單元課為二元一次方程組，依托杭州亞運(yùn)會這一情境，將二元一次方程組（1課時）、解二元一次方程組（1課時）、二元一次方程組的應(yīng)用（1課時）新授課共計(jì)3節(jié)3課時串聯(lián)為一個整體，使學(xué)習(xí)邏輯更為連貫.

（二）內(nèi)容解析

“二元一次方程組”是一元一次方程等相關(guān)內(nèi)容的延續(xù)，本章的學(xué)習(xí)將繼續(xù)滲透方程學(xué)習(xí)的基本套路（定義、解法、應(yīng)用），為后續(xù)學(xué)習(xí)其他方程（分式方程、一元二次方程）奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 教學(xué)時，首先，通過杭州亞運(yùn)會的相關(guān)情境引導(dǎo)學(xué)生抽象出二元一次方程（組）的基本概念，引導(dǎo)學(xué)生感悟二元一次方程（組）也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的有效模型，強(qiáng)調(diào)模型觀念等核心素養(yǎng)；接著，探索其解法，引導(dǎo)學(xué)生感受轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，重在體會與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，同時強(qiáng)化運(yùn)算能力的培育；最后，再次引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中加以應(yīng)用，切實(shí)培育學(xué)生的應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)，為培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)貢獻(xiàn)力量.

第1節(jié)，通過杭州亞運(yùn)會相關(guān)情境，在類比一元一次方程的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生抽象出二元一次方程（組），并掌握二元一次方程（組）及其解的概念，體會模型思想.

第2節(jié)，解決第1節(jié)中提出的問題，順理成章地提出二元一次方程組的解法問題，并在類比一元一次方程的基礎(chǔ)上獲得代入消元和加減消元兩種方法，初步體會兩種方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

第3節(jié)，給出更多有關(guān)杭州亞運(yùn)會的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生掌握用二元一次方程組解決實(shí)際問題的基本步驟，進(jìn)一步構(gòu)建模型思想. 并在問題解決過程中，提高學(xué)生求解二元一次方程組的能力，提高學(xué)生的解題技能.

教學(xué)本章內(nèi)容時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在類比一元一次方程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主動構(gòu)建二元一次方程（組）學(xué)習(xí)的“基本套路”；需要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)感受方程（二元一次方程）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，并在培養(yǎng)“分析問題和解決問題”能力的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生自主“提出問題或發(fā)現(xiàn)問題”的能力，從而實(shí)現(xiàn)從“兩能”到“四能”的突破.

（三）教學(xué)重點(diǎn)

通過上述分析，可將本章的教學(xué)重點(diǎn)確定為：

在具體情境和問題解決過程中，掌握二元一次方程（組）的相關(guān)概念；會用消元法解二元一次方程組；會解決與二元一次方程組有關(guān)的實(shí)際問題.

教學(xué)目標(biāo)及其解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

通過上述分析，可確定本章的教學(xué)目標(biāo)為：

1. 能根據(jù)具體問題的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程（組），理解其意義，并掌握相關(guān)概念.

2. 能根據(jù)二元一次方程組的特點(diǎn)，靈活選擇代入消元法或加減消元法求解.

3. 能利用二元一次方程（組）的知識解決相關(guān)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，感受二元一次方程（組）也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的有效模型，建立模型觀念.

（二）目標(biāo)解析

目標(biāo)1達(dá)成的標(biāo)志是：能清晰辨別出二元一次方程（組），并且能夠說出原因.

目標(biāo)2達(dá)成的標(biāo)志是：能夠準(zhǔn)確求出二元一次方程的解，能夠在嘗試使用不同方法的求解過程中，感受到不同方法之間的區(qū)別與聯(lián)系. 同時，初步感受到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

目標(biāo)3達(dá)成的標(biāo)志是：能夠在具體情境中獲得等量關(guān)系，列出二元一次方程（組），并準(zhǔn)確求解，模型觀念和運(yùn)算能力有明顯提升.

教學(xué)問題診斷分析

（一）學(xué)生已有基礎(chǔ)分析

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型. 學(xué)習(xí)方程可以培育學(xué)生模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識等多種核心素養(yǎng)，同時這些素養(yǎng)又為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式和函數(shù)提供了思路和方法.

學(xué)生在一元一次方程的學(xué)習(xí)中對方程有了初步的認(rèn)識，基本掌握了研究方程的“基本套路”，因此學(xué)生對二元一次方程（組）的提出不會陌生，并會在教師的引導(dǎo)下對二元一次方程（組）有整體的認(rèn)識，從而順利解決相關(guān)問題. 同時，《課標(biāo)（2022）》將“方程”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)移至第四學(xué)段（7～9年級），這與學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知情況相匹配，有助于學(xué)生更好地掌握這部分內(nèi)容.

學(xué)生雖然在一元一次方程的學(xué)習(xí)中掌握了相關(guān)知識和思想，但是二元一次方程組的學(xué)習(xí)對相關(guān)內(nèi)容提出了更高的要求，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的實(shí)際情況可能與預(yù)期目標(biāo)存在差距，教師教學(xué)時需要“具體問題具體分析”.

（二）教學(xué)難點(diǎn)

通過上述分析，可確定本章的教學(xué)難點(diǎn)是：

在真實(shí)情境和具體問題中，結(jié)合多元表征發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系（一般是兩組等量關(guān)系），并利用二元一次方程組的知識順利解決.

教學(xué)支持條件分析

關(guān)于方程的學(xué)習(xí)，從“一元”過渡到“二元”對學(xué)生來說會是個難點(diǎn)，教師需要關(guān)注學(xué)生解決問題時的思路和想法. 此外，正確尋求等量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題更是“難上加難”，因此教學(xué)中教師應(yīng)借助多媒體等多種手段（比如表格分析法）解決上述難點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)二元一次方程組提供支持和幫助.

單元整體設(shè)計(jì)

為了更好地進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)，體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，我們以杭州亞運(yùn)會為大情境，對本章內(nèi)容進(jìn)行整體規(guī)劃，并結(jié)合教材，遵循定義、解法、應(yīng)用的學(xué)習(xí)思路，給出二元一次方程組的單元整體設(shè)計(jì)（如圖1）.

（一）起始課：定義（1課時）

為學(xué)生設(shè)置具體的杭州亞運(yùn)會問題情境，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)一元一次方程的學(xué)習(xí)路徑，為學(xué)習(xí)二元一次方程（組）提供思路和方法；通過情境2使學(xué)生感受二元一次方程（組）在解決復(fù)雜問題中的優(yōu)越性，通過等量關(guān)系獲得二元一次方程（組），并類比一元一次方程，給出其概念和解的定義.

（二） 精學(xué)課1：解法（1課時）

解決精學(xué)課1中的問題，通過情境1列出的二元一次方程組的求解探究，在對比一元一次方程求解的基礎(chǔ)上使學(xué)生分別掌握代入消元法和加減消元法，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；在后續(xù)問題的解決中能夠體會兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系，會根據(jù)二元一次方程組的特點(diǎn)靈活選擇方法解方程.

在此基礎(chǔ)上，增加分解課1（1課時），用于鞏固二元一次方程組的解法，進(jìn)一步體會兩種方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，同時感受同一種消元方法中哪種方法（消去x與消去y）更好，以及體會整體消元等多種消元思路.

（三）精學(xué)課2：應(yīng)用（1課時）

引入大量的杭州亞運(yùn)會相關(guān)實(shí)際問題，讓學(xué)生在問題解決中體會方程思想，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，形成模型觀念.

在此基礎(chǔ)上，增加分解課2（1課時）和分解課3（1課時），此時教師為學(xué)生提供更多的現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，將“亞運(yùn)會”情境拓展至“數(shù)學(xué)文化”情境或其他情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受二元一次方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.

最后，對上述學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)回顧和梳理，給出小結(jié)課（1課時），進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)而提出更多相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并在解決學(xué)生自主“提出問題”的基礎(chǔ)上，形成數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言.

上述單元整體規(guī)劃構(gòu)建了更加完整的知識體系，將二元一次方程組的學(xué)習(xí)體系和一元一次方程學(xué)習(xí)體系融為一體，構(gòu)建了更加完整的“方程”知識網(wǎng)絡(luò)，能更為系統(tǒng)地呈現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，加深學(xué)生的認(rèn)識. 并根據(jù)大單元設(shè)計(jì)理念，結(jié)合上述分析，將大立意、大情境、大任務(wù)、大概念分別界定如下.

大立意：培養(yǎng)學(xué)生愛國情懷、頑強(qiáng)刻苦的拼搏精神.

大情境：杭州亞運(yùn)會.

大任務(wù)：如何利用二元一次方程（組）解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題？

大概念：方程（二元一次方程組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.

教學(xué)評價(jià)

（一）單元評價(jià)

評價(jià)方式一：單元測試.

評價(jià)方式二：學(xué)生單元小結(jié)自評表.

評價(jià)方式三：通過“作業(yè)單”評價(jià)學(xué)習(xí)質(zhì)量.

（二）課時評價(jià)

以過程性評價(jià)為主，評價(jià)形式多樣化，如課堂觀察、課后訪談、成長記錄、口頭測驗(yàn)、活動報(bào)告、實(shí)踐活動等. 過程性評價(jià)拆分一級指標(biāo)為數(shù)學(xué)價(jià)值觀念、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，細(xì)化二級指標(biāo)，采用等級評價(jià)與描述性評價(jià)相結(jié)合的方式.