新課標背景下初中數學幾何作圖價值與方法的探索

[摘 要] 《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出圖形與幾何是發展數學核心素養不可或缺的一部分. 但實際教學中，仍有些教師只關注學生邏輯推理的培養，卻忽略作圖教學的重要性，導致學生在解決實際問題時常束手束腳. 文章從數學幾何作圖的價值與方法等方面展開實踐與探索，與同行交流.

[關鍵詞] 作圖;幾何;圖形

圖形是平面幾何的核心，是數學符號系統的重要成員之一. 初中階段對圖形的研究，從最基本的點、線、面、體出發，發展到兩條直線之間的關系，再逐漸過渡到對多邊形的探索，作圖是該過程中不可或缺的一部分. 但在實際教學中，仍有些教師還沒有充分認識到作圖的價值. 事實證明，作圖過程承載著“做數學”的基本理念，學生通過手腦協作，經歷觀察、分析、理解與感悟，可有效促進數學建模、幾何直觀與邏輯推理等素養的發展.

數學幾何作圖的價值

1. 轉變育人方式

新課標強調核心素養背景下的數學教學要轉變教學方式，根據不同教學內容的特點與學生的實際認知經驗設計教學方案. 幾何作圖需要學生親自動手操作，屬于“做數學”與“發現式學習”的范疇，教師為學生提供明確的作圖方向，引導學生自主設計作圖方案，即將學生的“被動式學習”轉化成“主動式學習”. 學生在一些關鍵性問題的啟發下開動腦筋、積極參與，完成作圖的同時發展核心素養，體現了作圖的育人價值.

2. 增強學習體驗

動作表征、表象表征、符號表征是人類對數學事物的三種表征方式，三者聯合起來形成完整的表征系統，學生通過不同的表征方式全方位地認識數學事物. 這三種表征方式互相作用、相輔相成，是促進學生認知發展的核心. 處于初中階段的學生，對數學事物的表征仍需要動作與表象的支持，而幾何作圖恰好需要學生手腦協作，屬于整合間接經驗的過程，學生調動學習經驗與思維方式，借助已有的知識結構來解決作圖問題，對發展數學核心素養具有重要意義.

3. 自我知識建構

每一個學生都是獨立的個體，都有自己獨特的思想. “做數學”的幾何畫圖過程，需要學生發揮自身特長，配合積極思考進行作圖分析與操作. 從本質上而言，這也是促進學生進行知識自我建構的過程. 以實操的方式來認知并理解圖形基本特征，以推理論證來辨析作圖的合理性等，都是促進學生個體思維發展的舉措. 當然，幾何作圖也離不開團體協作模式的應用，學生通過合作學習，可進一步拓寬思維，發現作圖的基本邏輯順序，這是進一步鞏固知識基礎，發展數學直觀的過程.

幾何作圖的方法

1. 自然、合理是作圖的基礎

觀察現行的各個版本的初中數學教材，發現有很多幾何作圖都以直接告知的方式呈現，即在教材中直接展示規范的作圖方法. 這種呈現方式對于初中階段的學生而言直接明了，但每一個學生的思維方式不一樣. 在這種作圖方法的引導下，有幾個學生能做到知其然且知其所以然呢？作為一線數學教師，首先要將學生的思維發展放在教學首位，教材呈現的方式針對的是大眾，那么作為執教者則需要根據學情特點，引導學生在自然、合理的背景下主動去作圖，對作圖產生探索欲.

案例1 作一個角與已知角相等.

探究1：如果想要做一把扇子與圖1展示的折扇一樣，該怎么操作呢？

探究2：根據探究1的操作，若想在草稿紙上畫一個與∠AOB相等的角，該如何操作？

探究3：若你只有一把沒有刻度的直尺和一個圓規，能否畫一個角與已知角相等？

設計意圖 以上三個探究活動的設計，由淺入深地揭露了如何作一個與已知角相等的角，學生的思維隨著每一個問題難度的加深而深化. 幾個探究活動的設計意在引導學生從生活實際中的物品出發，體會生活中所存在的擁有相同大小角的物品，并由此聯想到如何“復制角”，學生的思維隨著探究的深入自然地過渡到借助工具繪制角中來. 思維隨著探究的深入而明朗，對畫角的認識愈發明確.

師：要畫一個角和某已知角完全相等，能否不通過扇形的“復制”，而通過對其他圖形的“復制”來完成呢？

在這個問題的引導下，引出圖2（《幾何原本》介紹的作圖方法）.

學生通過對自己所熟悉的情境探索，思維經歷了從特殊到一般的轉化過程，深化了對“復制”這個詞的理解. 接下來引發學生進一步思考：究竟該怎樣應用尺規作出一條線段的長度與已知線段相等呢？為了幫助學生探尋到解決問題的方向，筆者在此處設計了問題串，達到啟發點撥的作用.

問題1：如何用一把有刻度的直尺測量一條線段的長度？

問題2：如何用一把刻度不清的直尺測量一條線段的長度？

問題3：怎樣應用尺規作圖法，作出一條線段的長度與已知線段相等？

設計意圖 循序漸進的問題讓尺規作圖法的形成更加自然、合理. 一般情況下，學生都將教材作為作圖學習的參考，但關于作圖過程涉及的一些思想方法需要經過分析、理解與思考才能產生，自主操作往往能有新的突破. 因此，追求幾何作圖的自然、合理是形成良好作圖能力的基礎，也是發展數學核心素養的基石.

2. 思辨、綜合是作圖的關鍵

新課標背景下的尺規作圖并非單純地作圖，而是結合實際問題展開作圖與分析. 基于每一個學生的知識經驗與思維方式的差異性，面臨同一個問題時，不同個體會產生不同的解題方案，那么作圖方法也就會出現差異. 因此，幾何作圖需從思辨、綜合的角度去分析，同一個問題，或許存在多種作圖方法，我們應正確地對待每一種作圖方法.

案例2 垂線的作圖法.

如圖3，線段AB與點C為已知條件，如何用圓規與刻度模糊的直尺過點C作出線段AB的垂線呢？

關于這個問題，有學生以圖4的方法來解決，也有學生以圖5的方法來解決（將AC作為圓的直徑，根據“直徑所對的圓周角為直角”的定理順利解決問題）.

圖5這種作圖方法在課堂預設之外，卻又在情理之中. 從學生的作圖方法來看，確實是以問題結論為出發點進行思考，只是另辟蹊徑，從另一個角度靈活作出了圖形. 這是學生的創新思維，充分體現了作圖的思辨性與靈活性，這也是作圖教學所追求的目標之一.

3. 多樣、靈活是作圖的靈魂

隨著時代的發展，作圖工具也越發豐富，限制使用尺規作圖顯然已經不符合時代的發展需求，根據實際情況選擇合適的作圖工具是提高作圖效率的基礎. 在教學中，教師要突破尺規作圖的思維束縛，鼓勵學生選擇靈活、多樣的作圖工具實施作圖，以更好地發揮幾何作圖“教”與“學”的功能.

案例3 方格紙內作圖.

已知△ABC的三個頂點A，B，C分別落在邊長為1的方格紙的格點上（見圖6），若想借助一把刻度不清晰的直尺輔助作圖，如何作出點E位于BC邊上，同時滿足EB ∶ EC=1 ∶ 3;并讓點F位于AB邊上，且滿足∠AEC=∠FEB. 簡要說說你是怎樣找到點E，F的位置的（不需要證明）.

設計意圖 本題綜合性較強，涉及三角形相關的眾多知識點，如勾股定理、相似性等. 本題目測為作圖問題，從本質上來說意在綜合考查學生的數學思維水平與應變能力.

如圖7，在格點上分別取點M，N，連接MN與CB相交于點E（獲得點E）;連接A′E并延長，與AB相交于點F（獲得點F）;連接AE，點E，F滿足∠AEC=∠FEB.

案例4 正方形ABCD的邊長為4，E為正方形DC邊的中點，現有一把沒有刻度的直尺，該如何將圖8中的線段AC圍繞正方形的中心逆時針旋轉45°？怎樣將線段AC向上平移1？

設計意圖 這也是一道綜合性較強的作圖題，涉及圖形旋轉、平移等基礎知識. 設計本題意在引導學生學會分析題設條件，充分理解題意，并從正方形的性質與全等三角形的判定定理等著手進行作圖，以發展數學反思能力與邏輯推理能力.

案例3、案例4均符合高立意、巧設計的思想. 帶領學生從不同的維度探索作圖過程，不僅促使學生積累了相應的經驗，還讓學生實現了思維從感性向理性的成功轉變，發展了數學創新意識. 因此，我們應注重作圖的靈活性與多樣性，這也是發展數學核心素養的關鍵.

對于幾何作圖的思考

1. 課堂作圖發展符號意識

數學是研究物體的數量關系與空間形式的一門基礎學科，其中空間形式以“圖形”為代表，畫圖能力的高低體現學生符號意識的發展程度. 課堂作為作圖訓練的主陣地，學生可在教師的引導下不斷提升作圖的準確性、熟練度與美觀性，這是發展直覺思維與符號意識的重要渠道. 縱觀當前初中數學教材，作圖教學并非獨立的單元，而是貫穿整個數學學習的過程，這就需要教師利用課堂做好作圖指導，帶領學生在全學段養成作圖思考與分析問題的習慣.

如本節課的教學，就將觀察、嘗試、作圖等活動貫穿教學的始終，學生在“作角”這個主線的牽引下不斷完善認知結構，感知作圖對數學探索的價值與意義，有效提升了數學符號意識，此為發展核心素養的重要通道.

2. 文字作圖發展空間觀念

新課標將發展學生的空間觀念作為教學的重要目標之一，空間觀念主要表現在學生能否根據語言描述作出與之意思相符的圖形. 借助圖形展示語言描述或文字描述的內容，刻畫運動與變化發展情況是發展空間想象力的基礎. 教師可帶領學生通過對圖形所針對的問題、典型例題等進行梳理，并在操作與研究中加深學生的理解.

隨著作圖活動的開展，學生不僅從理論上理解了作圖的方法，還深刻體會了作圖對探索數學問題的輔助作用，獲得了良好的空間觀，這也為發展學生的創新意識夯實了基礎.

3. 尺規作圖發展推理能力

新課標對尺規作圖提出的要求為：會用尺規或基本圖形完成作圖，了解作圖的原理. 整體來說，尺規作圖的難點在于作圖工具的限制性，這要求學生要有良好的分析能力，能從結論出發進行追根溯源，以明確作圖的方法與順序，這也是發展數學邏輯思維的過程.