二元一次方程組課時(shí)設(shè)計(jì)2:解法

[摘 要] 文章以“二元一次方程組課時(shí)設(shè)計(jì)2：解法”為例，從內(nèi)容及其解析、教學(xué)目標(biāo)及其解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)過程設(shè)計(jì)幾個(gè)角度給出其“大立意設(shè)計(jì)、大概念統(tǒng)攝、大任務(wù)驅(qū)動(dòng)、大情境引領(lǐng)”下的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，以期為后續(xù)相關(guān)課例提供參考.

[關(guān)鍵詞] 二元一次方程組;大單元;大概念;解法

內(nèi)容及其解析

（一）內(nèi)容

“解二元一次方程組”是魯教版七年級(jí)下冊(cè)第七章的教學(xué)內(nèi)容，是章精學(xué)課，也是過渡課，起著承上啟下的作用，共2課時(shí)，位于教材的第6～12頁，主要內(nèi)容為解二元一次方程組.

本節(jié)課重在引導(dǎo)學(xué)生理解將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程的“消元”思想，在解決問題中體會(huì)化繁為簡、化未知為已知的化歸思想，并不斷練習(xí)強(qiáng)化代入消元法和加減消元法.

（二）內(nèi)容解析

教材從實(shí)際問題出發(fā)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流的活動(dòng)，學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法——代入消元法和加減消元法. 對(duì)于二元一次方程組來說，強(qiáng)調(diào)“消元”的思想和方法，應(yīng)是貫穿始終的一條主線. 通過“消元”，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，能實(shí)現(xiàn)求解的目的，并體現(xiàn)了化繁為簡的基本策略，能促進(jìn)學(xué)生理性思維的發(fā)展.

代入消元法和加減消元法是解二元一次方程組的基本方法. 代入消元法：要求從兩個(gè)方程中選擇一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將它轉(zhuǎn)換成含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，然后代入另一個(gè)方程，求出未知數(shù)的值，最后將這個(gè)未知數(shù)的值代入已變形的那個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值;加減消元法：它要求兩個(gè)方程中必須有某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等（或利用等式的基本性質(zhì)在方程的兩邊同時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)牟粸?的數(shù)或式，使兩個(gè)方程中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等），然后利用等式的基本性質(zhì)在方程兩邊同時(shí)相加或相減消元.

在上述分析的基礎(chǔ)上，為體現(xiàn)單元整體設(shè)計(jì)和學(xué)科育人的理念，我們結(jié)合時(shí)代背景，創(chuàng)設(shè)了“杭州亞運(yùn)會(huì)”這一大情境，在保證實(shí)現(xiàn)第一節(jié)課情境1目的的基礎(chǔ)上，重在引導(dǎo)學(xué)生回顧亞運(yùn)會(huì)精彩瞬間的同時(shí)，感受杭州亞運(yùn)會(huì)所承載的精神力量，體會(huì)中國日益強(qiáng)大的科技力量.

（三）教學(xué)重點(diǎn)

基于以上分析，可確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：

二元一次方程組的解法——代入消元法、加減消元法.

教學(xué)目標(biāo)及其解析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡稱“《課標(biāo)2022》”）對(duì)本節(jié)課的要求如下：掌握消元法，能解二元一次方程組.

（一）教學(xué)目標(biāo)

通過上述分析，可確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1. 會(huì)用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組.

2. 了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會(huì)“化未知為已知”的化歸思想.

（二）目標(biāo)解析

目標(biāo)1達(dá)成的標(biāo)志是：學(xué)生能夠在具體問題中，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞浇舛淮畏匠探M，并求解正確.

目標(biāo)2達(dá)成的標(biāo)志是：學(xué)生能通過相應(yīng)的探究活動(dòng)說出將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解，并能說出如何轉(zhuǎn)化.

教學(xué)問題診斷分析

（一）學(xué)生已有基礎(chǔ)分析

學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)、整式的運(yùn)算，一元一次方程等知識(shí)，了解了二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，具備了進(jìn)一步學(xué)習(xí)二元一次方程組解法的基本能力，會(huì)通過列一元一次方程解應(yīng)用題，能通過分析找出題中的等量關(guān)系列出二元一次方程組.

（二）學(xué)生基礎(chǔ)與目標(biāo)的差距

學(xué)生雖然在六年級(jí)已經(jīng)掌握了有理數(shù)、整式的運(yùn)算，一元一次方程的解法，對(duì)解方程有了初步的認(rèn)識(shí)，但是僅限于“一元”;對(duì)二元一次方程如何求解存在疑問. 具體分析如表1.

（三）教學(xué)難點(diǎn)

通過上述分析，可確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：

了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會(huì)“化未知為已知”的化歸思想.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)反思

展示上節(jié)課“認(rèn)識(shí)二元一次方程組”的情境1，通過“提出了什么數(shù)學(xué)問題？”“運(yùn)用我們所學(xué)的什么知識(shí)來解決的這個(gè)問題？”“如何解這個(gè)二元一次方程組？”三連問，引出我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——解二元一次方程組.

情境：為期16天的杭州亞運(yùn)會(huì)圓滿結(jié)束，我國共派出886名運(yùn)動(dòng)員征戰(zhàn)亞運(yùn). 已知男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員多12人，你能根據(jù)這組數(shù)據(jù)提出什么數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：男運(yùn)動(dòng)員和女運(yùn)動(dòng)員分別多少人？學(xué)生很容易回憶起用方程（一元一次方程、二元一次方程組）的知識(shí)來解決這個(gè)問題.教師追問如何解二元一次方程組，于是自然引出課題，展示本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖 通過“亞運(yùn)會(huì)”為主題的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的一元一次方程和二元一次方程組. 且面對(duì)實(shí)際問題的解決，為學(xué)生種下了疑問的種子，接著教師通過三連問不斷激發(fā)學(xué)生解二元一次方程組的欲望.

（二）自主探究，目標(biāo)反思

任務(wù)1 探究如何解二元一次方程組.

觀察思考：觀察兩個(gè)方程有什么聯(lián)系，并思考如何解二元一次方程組.

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：學(xué)生面對(duì)會(huì)解的一元一次方程和不會(huì)解的二元一次方程組，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方程特征，“逼”學(xué)生說出將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程;教師拋出問題后給予學(xué)生充足的時(shí)間思考“如何解二元一次方程組”，必要時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生在問與追問中發(fā)現(xiàn)解二元一次方程組的思路.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)問，讓學(xué)生自主探究解二元一次方程組的思路，并習(xí)得“化未知為已知的化歸思想”和“消元思想”.

任務(wù)2 探究用“代入消元法”解方程組.

反思：如何將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程？

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：基于兩個(gè)方程的共同特征，學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)可通過代入消元將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程（注意：學(xué)生可能會(huì)回答通過加減消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程）;教師在追問中完善知識(shí)與方法，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生說出具體的轉(zhuǎn)化過程.

設(shè)計(jì)意圖 通過任務(wù)2，引導(dǎo)學(xué)生自行探究并歸納代入消元法.

任務(wù)3 探究用“加減消元法”解方程組.

反思：除了代入消元法以外，你們還有其他消元的方法嗎？

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：給予學(xué)生思考的時(shí)間，必要時(shí)讓學(xué)生討論交流（若在任務(wù)2中學(xué)生已經(jīng)給出回答，則直接追問加減消元的具體轉(zhuǎn)化過程）;讓學(xué)生探究通過加減消元將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，并歸納出加減消元的一般步驟，教師進(jìn)行完善和補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖 通過任務(wù)3，引導(dǎo)學(xué)生自行探究并歸納加減消元法.

任務(wù)4 探究如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M.

反思：如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M？

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：學(xué)生容易看出，同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)應(yīng)選用加減消元法，而代入消元法，則需要在教師的提示性問題引導(dǎo)下，進(jìn)行小組討論，共同探究.

設(shè)計(jì)意圖 通過這幾道題的解法以及學(xué)生小組交流討論，讓學(xué)生進(jìn)一步對(duì)一般的二元一次方程組如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ懈羁痰睦斫猓⒏爬w納解題規(guī)律.

（三）例題講解，方法反思

4. 一場(chǎng)場(chǎng)精彩絕倫的比賽，離不開運(yùn)動(dòng)員的奮勇拼搏，同樣也離不開背后志愿者的傾情奉獻(xiàn). 將視角轉(zhuǎn)移到幕后，小云和小亞作為志愿者，負(fù)責(zé)運(yùn)動(dòng)員來回亞運(yùn)村的車次安排. 已知2輛A型汽車和3輛B型汽車最多可載乘客80人;3輛A型汽車和2輛B型汽車最多可載乘客95人.求A，B兩種型號(hào)的汽車各能載乘客多少人. （列出方程并求解）

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：第1題由教師板演過程，第2～4題由學(xué)生獨(dú)立完成，教師展示學(xué)生的解題過程并適時(shí)點(diǎn)撥.

設(shè)計(jì)意圖 通過第1題給學(xué)生板演代入消元法解方程組的一般步驟，為學(xué)生提供解二元一次方程組的樣例;第2題鞏固代入消元法解方程組，并讓學(xué)生感受代入法消元的優(yōu)勢(shì);在第1～2題的基礎(chǔ)上，通過第3題讓學(xué)生自主探究加減消元法解方程組的一般步驟;第4題以“亞運(yùn)會(huì)”主題的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生感受亞運(yùn)精神的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實(shí)問題的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生用自己喜歡的方法解方程組. 學(xué)生在選擇中能體會(huì)不同解法的難與易，這能為后面選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M做鋪墊.

（四）課堂總結(jié)，提升反思

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：教師以階梯形式（如圖1）給出問題，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確本節(jié)課需要掌握的知識(shí)、方法、思想和素養(yǎng)，以及后續(xù)需要研究的內(nèi)容等;引導(dǎo)學(xué)生在回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，初步構(gòu)建整章的學(xué)習(xí)體系（如圖2），體現(xiàn)《課標(biāo)2022》提出的單元整體教學(xué)理念.

設(shè)計(jì)意圖 在本課的最后，小結(jié)通過階梯式問題“我學(xué)會(huì)了……” “要怎么做……” “怎么學(xué)會(huì)的……”和 “獲得的經(jīng)驗(yàn)……”，反思與回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，這不僅為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，還為學(xué)生的課后預(yù)習(xí)指明了思路，指向“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，培育了學(xué)生的模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的責(zé)任擔(dān)當(dāng)意識(shí).

（五）布置作業(yè)，梳理反思

達(dá)標(biāo)檢測(cè)：

A. -3y=2 B. 4x+y=0

C. y=0 D. 7y=-8

3. 作為世界級(jí)賽事的亞運(yùn)會(huì)承擔(dān)著向外界展示我國科技力量的任務(wù)，而延續(xù)人工智能特色的食堂自冬奧會(huì)起就一直吸引著各國媒體的眼球. 承包食物加工的公司收購了某種蔬菜140 t，該公司每天可以粗加工16 t、精加工6 t，現(xiàn)計(jì)劃用15天完成加工任務(wù)，假設(shè)該公司安排x天粗加工、y天精加工，則該公司應(yīng)安排幾天粗加工、幾天精加工？（列方程組并求解）

布置作業(yè)：

1. 基礎(chǔ)作業(yè)：共10題，其中選擇題4題，填空題3題，解答題3題，每種題型均分層呈現(xiàn)試題（要求當(dāng)天完成，限于篇幅，此處略去）.

2. 實(shí)踐作業(yè)：

請(qǐng)你結(jié)合亞運(yùn)會(huì)，編一道與“二元一次方程組”有關(guān)的題目并嘗試解決.

預(yù)設(shè)及師生活動(dòng)：達(dá)標(biāo)檢測(cè)獨(dú)立完成，教師訂正答案，學(xué)生交換批改;同時(shí)在達(dá)標(biāo)檢測(cè)中設(shè)計(jì)“亞運(yùn)會(huì)”問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受我國科技力量的日益強(qiáng)大. 短作業(yè)（基礎(chǔ)作業(yè)）課后20分鐘內(nèi)完成;長作業(yè)（實(shí)踐作業(yè)）貫穿本章學(xué)習(xí)始終.

設(shè)計(jì)意圖 通過一組練習(xí)鞏固本節(jié)課學(xué)習(xí)的“代入消元法和加減消元法”，實(shí)現(xiàn)“堂堂清、日日清”. 作業(yè)是學(xué)生鞏固知識(shí)、形成能力、培養(yǎng)習(xí)慣的重要載體，也是教師了解學(xué)情、完善教學(xué)管理的重要手段，在“雙減”背景下，上述作業(yè)設(shè)計(jì)力求做到“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，體現(xiàn)了控制數(shù)量、提高質(zhì)量;分層作業(yè)，面向全體;注重基礎(chǔ)，培育素養(yǎng).