基于真實情境問題鏈的項目化復習實踐

[摘 要] 文章呈現了“幾何最值”中考二輪專題復習課的問題情境設計，并進行分析和評述. 研究者指出，專題復習的問題情境設計要注意以下三點：以學生的認知基礎為問題情境的起點;以數學的本質思考為問題情境的支點;以學習的主動探究為問題情境的拐點.

[關鍵詞] 幾何最值;真實情境;專題教學;問題鏈設計

問題起源

心理學家布魯納認為：“學習者在一定的問題情境中，經歷對學習材料的親身體驗和發展過程，才是學習者最有價值的東西.”對于進入后課改時代的今天，數學教學的重心不在于需不需要創設問題情境，而在于問題情境創設的合理性及運用的靈活度，教師能否善于改進或舍棄一些不合理的元素，運用一些被實踐證明的有效經驗，使情境創設更為實效[1]. 問題源于情境，而高于情境，那情境創設后，又如何提出問題？如何進行探究？這就需要我們教師進行更深入的探索和研究.

中考模擬試題 點A，B均在由面積為1的相同小正方形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系，如圖所示. 若P是x軸上使得PA-PB的值最大的點，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點，則OQ ·OP為多少？

閱卷發現，這道題的得分率很低. 本題的關鍵在于求出OQ和OP. 孩子們普遍反映對于OQ而言，都能根據“將軍飲馬問題”模型，利用對稱的知識得到點Q，再構造直角三角形，利用勾股定理，進而求出OQ的長度，但多數孩子不知道作對稱的原因，只知道根據條件，能運用這一模型. 而對于OP，孩子們都沒有思路，不知道怎樣去找點P， OP長度怎么求，無從下手.

解決方法

學生在幾何最值問題的理解和運用上都存在一定的困難，面對孩子們的困惑，如何降低難度，將問題具體化、形象化呢？筆者對如何學習幾何最值問題，有更深層次的思考： 要揭示本題的深層結構，讓學生真正理解題意，不僅要借助基本模型——幾何最值模型，更要讓學生明白模型的本質和原理，這樣才能拓展和運用模型. 因此，筆者決定上一節幾何最值問題的專題課，課堂采用“問題情境預設—問題情境解決—問題情境總結”的教學模式展開項目化復習，讓學生能根據情境善于發現問題，敢于提出問題，并在師生和生生互動交流中，不斷地研究和探索問題，在解決問題的過程中培養學生的能力，提升學生的思維.

基于真實情境問題鏈的項目化

復習建構案例

1. 預設問題情境階段：利用認知性追問鏈，直擊項目本質，啟迪學生認知

第一步，展示動畫 ——激活已有認知.

播放動畫：甲、乙村莊分別位于直線公路的兩側，一輛汽車在公路上由東向西行駛.

師：你能用語言描述一下汽車在行駛過程中，離甲、乙村莊距離的變化情況嗎？

（學生們齊刷刷地舉起了手，教師找了一個基礎相對薄弱的學生來回答）

生1：汽車離甲、乙村莊的距離先由遠到近，再由近到遠.

師：我們從實際問題中抽象出如圖2所示的幾何模型，其中點A，B分別表示村莊甲、乙. 汽車在運動過程中，你認為哪個位置比較特殊？你能畫出來嗎？

（生1上黑板，迅速地畫出E，F兩點，如圖2，并說E，F兩點分別到甲、乙兩個村莊的距離最近. ）

師：大家同意他的觀點嗎？

（學生們都表示認同）

師：你能描述一下剛才的作法嗎？能說說其中的道理嗎？

生1：把甲、乙兩個村莊分別看作一個點，過這個點向公路作垂線段，垂足就是我們要畫的點. 理由是直線外一點到直線上一點的連線中垂loi6GnpjpNNqwKo6quVpuA==線段最短.

（教師板書：幾何最值模型一：垂線段最短）

第二步，定向追問——啟發思維碰撞.

師：公路上除了E，F 兩點的位置比較特殊而外，你認為還有沒有特殊的位置呢？我們用幾何畫板來模擬一下汽車O的行駛過程，請同學們仔細觀察動畫演示.

生2：還有一個點，它到甲、乙兩個村莊的距離和最短.

（生2上黑板找出點P，如圖3）

師：你能說出其中的原因嗎？

生2：兩點之間線段最短. PA+PB的最小值為AB.

師：其他同學還有其他想法嗎？

生3：我來說一說. 其實這道題利用了三角形三邊的一個關系，即在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊. 重合時便取到了最小值. 其實剛才生2找到的點P就是重合時的點.

（教師板書：幾何最值模型二：兩點之間線段最短）

……

案例簡評 這里創設的問題情境沒有華麗的語言，沒有精心雕琢的情境，但教師適時提出問題“汽車在運動過程中，你認為哪個位置比較特殊？”. 有了問題，學生就有解決問題的愿望. 這一問題結合了原有的認知，能讓學生形成從生活中的遠近到數學中的大小之間的直觀聯系. 教師再追問“你能描述一下剛才的作法嗎？能說說其中的道理嗎？”. 表面上看這似乎不是純數學問題，但這恰恰涉及如何用數學的觀點看待和認識生活中的實際問題. 最后追問“公路上除了E，F 兩點的位置比較特殊而外，你認為還有沒有特殊的位置呢？”，讓學生開始新的學習. 所以這一系列問題鏈恰恰成為生活知識數學化或者數學建模的重要前提，能讓學生學會在這樣的問題情境中提煉數學元素.

2. 解決問題情境階段：利用方法性導問鏈，提煉項目內涵，助力方法剖析

第一步，自主提問 ——產生認知沖突.

師：通過剛才的動畫，我們將距離最近的生活問題，化歸為垂線段最短和兩點之間線段最短的數學問題. 通過聯想，你還能知道什么？能提出哪些類似的最短問題？

（這時舉手的學生明顯少了不少，教師留時間給孩子思考）

學生們經過思考，紛紛提出自己的問題. 教師經過篩選，出示下一個具有研究價值、又符合課堂教學目標的問題.

問題：如果甲、乙村莊位于公路的同側，分別用點A，B表示（如圖4），汽車在什么位置時，到甲、乙村莊距離和最短？

第二步，解決問題 ——拓展基本模型.

師：對于這一實際情境，你能轉化為一個怎樣的數學問題呢？

生4：這一問題可以轉化為這樣的數學問題——一條直線的同側有兩個定點，要在這條直線上找一個點，使得這個點到這兩個定點的距離和最短.

師：很好. 對于這個數學問題，你有解決的辦法嗎？

生4：這符合“將軍飲馬問題”的條件，所以可以作一個定點關于這條直線的對稱點，然后找到另一個定點與這個對稱點的連線與直線的交點，這個交點就是我們要找的點. 即過點B，作直線的對稱點B′，連接AB′，線段AB′與直線的交點P即為所求.

師：其他同學還有其他想法嗎？

生5：我來說一說. 其實這道題作B點的對稱點，就將求PA+PB的最小值問題轉化為了求PA+PB′的最小值問題.

師：很好，生4對照條件，不僅聯想到了將軍飲馬問題，還說出了具體的作法. 生5則說明了其中蘊含的數學思想.

……

案例簡評 教師通過“通過聯想，你還能知道什么？能提出哪些類似的最短問題？”來創設問題情境，揭示學生認知的矛盾，引起學生內心的沖突，從而喚起思維. 再通過“對于這一實際問題，你能轉化為一個怎樣的數學問題呢？”這一問題情境的創設，來揭示知識的內在聯系，給學生提供展現自我、探索新知的機會.在此基礎上，教師利用問題“對于這個數學問題，你有解決的辦法嗎？”使學生進入問題者的“角色”，真正“卷入”探究活動中.在這一過程中，問題鏈不僅僅只是“敲門磚”，更起到了方法層面的認知導向作用，能讓學生真正成為主動的探索者、數學知識的生成者，從而獲得有價值的數學模型，培養學生的創新精神和探究能力.

3. 總結問題情境階段：利用策略性設問鏈，拓展項目外延，實現思維超越

第一步，類比歸納——尋找解題突破.

師：我們剛才求了兩條線段和的最小值，那這兩條線段的差有沒有最值呢？我們是否可以將這一問題化歸為上面已解決的類似問題？又如何解決呢？

（部分學生還是顯得較為茫然）

師：請同學們針對這一問題的條件和要求，動腦想一想，動手畫一畫，然后作答.

（學生們立刻動手畫了起來，經過畫圖思考，有部分學生已有想法并舉起了手）

師：我建議小組內先交流一下，然后請一位同學，上臺來畫圖解釋、說明.

（全體學生早已按捺不住激動的心情，立刻在組內進行了激烈的交流）

生6：如圖5，連接AB并延長交直線于點P，則點P就是我們所要求的點.

師：大家認為對嗎？

（學生們大部分保持沉默，片刻后有少許議論）

師：你能解釋一下你的理由嗎？你是怎樣想的？

生6：我們剛才求兩條線段的和時，利用了三角形三邊的一個關系，即在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，重合時取到了最值.現在我們要解決兩線段差的問題，我就想到了三角形三邊的另一個關系，即在三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，也就是PA-PB≤AB.所以我先在直線上取一點P，根據三角形的三邊關系有 PA- PB≤AB，所以當PA 和PB重合時，取到最大值.

師：如果大家認為他說的有道理，請把掌聲送給他.

（教室中響起了一片掌聲）

師：如果兩個定點位于一條直線的異側，要在直線上找一個點，使得這個點到這兩個定點的距離差最大，這個問題還需要研究嗎？

生：不需要！只要利用對稱的知識，將異側的兩個點轉化為同側兩個點，問題就轉化為剛才的問題了.

第二步，總結提升 ——形成思維共識.

師：我們再來觀察一下上面四個問題及其四張圖（圖2～圖5）. 觀察它們的共同點和不同點，以及作法，你有什么發現？

（學生有的在獨自思考，有的在搖頭嘆息，有的在相互交流）

生3：（不等舉手，高興地說）我知道了，其實它們是一致的.

師：你來說說想法.

生3：前面兩個問題的共同點是求線段和的最小值，后面兩個問題都是求線段差的最大值，不同點是所給的條件不同，一個是2個定點在直線的同側，另一個是2個定點在直線的異側. 求線段和的最小值，我們只需要把同側轉化為異側;求線段差的最大值，我們只需要把異側轉化為同側，即利用對稱進行轉化，進而解決問題.

師：同學們說說看，有沒有道理？

（學生們很興奮，頻頻地點頭稱贊，并投以敬佩的目光）

教師在這一數學問題的基礎上加了直角坐標系和網格背景，并給出開始試題的條件（中考模擬試題），學生們很自然地得到了答案.

……

案例簡評 這里展現的情境很簡單，沒有多余的語言和背景，通過“我們是否可以將這一問題化歸為上面已解決的類似問題？又如何解決呢？”這樣的問題，使教學活動從形式延伸至思維，同時體現了為理解數學而教，為知識的遷移而教.而通過“針對這一問題的條件和要求，動腦想一想，動手畫一畫，然后作答”引導學生從直觀經驗出發，增加感性體驗，更是從“定性”到“定量”的一個轉換，為思維層面的分析起到了鋪墊作用.再通過“我們再來觀察一下上面四個問題及其四張圖. 觀察它們的共同點和不同點，以及作法，你有什么發現？”啟發學生主動去思索和發現，去探索和建構，形成新的認知和思維的提升.

基于真實情境問題鏈的項目化

復習建構思考

1. 項目化復習要以學生的認知基礎為真實情境問題鏈設計的起點

問題源于情境，“情境”是提出數學問題的背景，背景必須和學生已有數學認知結構和智能發展狀況，以及生活經驗和數學經驗相關[2]，因此，在數學問題情境的設計上，首先要體現適用性，應根據學生原有的知識水平、生活經驗和認知特點，設計具體、可感、實際、具有親和力的問題情境，來激起學生的求知欲和探索欲，引導學生主動參與和投入學習.其次，要體現層次性，可設計一連串環環相扣、由簡到繁、由淺入深、循序漸進的問題，使學生在具體情境中透徹理解相關知識點，從而揭示數學的本質和規律.第三，要體現有效性，要在學生原有知識和經驗的基礎上，有意識地讓學生陷入新的困境，引起認知沖突，喚起學生對新知識學習的欲望.如本節課就以一個運動的小車和兩個村莊的距離為問題情境，不僅基于學生的知識認知，而且適合學生的心理認知，然后以此為起點，不斷地變化問題的背景，設置層層深入的問題情境，讓學生的認知不斷碰撞、不斷生長.

2. 項目化復習要以數學的本質思考為真實情境問題鏈設計的支點

情境因數學思考而有意義，數學問題因情境而有生氣.真正的問題情境要體現“理寓其中”，也就是要蘊含有價值的理性內涵.因此，首先，問題情境的設計要盡可能從學生的生活實際中提煉出有啟發性的數學問題，設置蘊含豐富的數學信息的問題情境.其次，應該根據教學目標、學習內容去精選有利于目標達成的問題情境，把所學的數學知識具體化，進一步地放大核心知識的作用，并以此為中心拓展開來，發散開去，成為數學思考的動力源. 再次，問題情境的指向性要更加清晰明確，凸顯數學知識的本質屬性，要能夠從情境中有效地引出與數學聯系最直接、最重要的核心問題，從而激發學生深層次的思考.本節課的一個運動的小車和兩個村莊距離遠近的問題，本質就是線段和最小、差最大的數學問題，能讓學生學會從問題情境中剝離出非數學問題，培養學生的數學思考方式，提高學生的數學思維品質.

3. 項目化復習要以學習的主動探究為真實情境問題鏈設計的拐點

從問題情境的理解到知識的主動建構，往往需要學生通過探索和研究，從而逐漸領會和掌握抽象的數學知識.因此，可以先設置一些學生熟悉的、直觀的、可接受的探究情境，以探究為載體，給學生創設一個動手、觀察、聯想、抽象、概括、數學化的過程，從而將知識轉化為能力，把實踐內化為經驗.其次，要以學生為主體，讓學生主動討論、探索研究，暴露知識的產生過程，以產生強烈的探究欲望和創造動機，讓學生想學、樂學、主動學. 最后，情境探究要有延展性，能梳理研究方式，提煉數學思想，努力提升學生的反思能力，并重組自己新的數學活動經驗，從而培養學生的探索精神和創新能力[3].本節課教師利用問題情境讓學生從熟悉的小車運動情境出發，探究了距離和最短、距離差最長的問題，還給學生設置了同側和異側的探究坡度，使學生品嘗到思維成功的樂趣，也實現了問題情境效益的最大化.

參考文獻：

[1]陳鋒，薛鶯. 以問題引領，提升復習效能——對初三“圓的復習”課幾個片段的感悟[J] . 中學數學，2013（10）：17-19.

[2]陳鋒，薛鶯，童偉偉. 多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構[J]. 中學數學，2013（18）：76-78.

[3]陳鋒，薛鶯. 從課堂“微探究”談初中數學有效教學[J]. 中學數學教學參考，2013（11）：16-18.