基于深度學習的微專題教學實踐與思考

[摘 要] 基于深度學習的微專題教學是一種深入且高效的教學模式，對復習教學與優化學生的數學思維具有重要價值. 文章以“旋轉構造相似三角形”的復習教學為例，分別從旋轉全等形、旋轉相似形與旋轉圓形三類經典問題出發，強調從微專題的角度開發課堂，是形成個性化課例教學的基礎，也是踐行深度學習理念的基本途徑.

[關鍵詞] 微專題;深度學習;旋轉

新課改背景下的數學課堂與傳統課堂相比，多了很多新的教學手段與方法，課堂也注入了很多新的活力. 然而，仍有部分學生習慣性地被動學習，缺少將新舊知識相聯系的習慣，導致對問題的思考不深入，對知識的理解浮光掠影. 若想改善這一現象，最好的辦法就是踐行深度學習理念，讓學生真正掌握知識本質，對知識間的聯系產生明確認識. 微專題教學屬于一種高針對性、小切入點的專題教學模式，其對推進深度學習具有重要意義.

教學分析

在旋轉變換的基礎上探尋點的運動軌跡或線段的最值問題是初中階段數學教學的重點與難點之一，在中考考題中也常有出現. 此類問題因涉及旋轉變換，對學生空間思維要求較高，尤其是動態圖形的旋轉給學生帶來不小的挑戰. 細細揣摩這類問題，會發現此類題型并非無規律可循，它們之間存在一定的共性特點，即問題提供的圖形不會太復雜，只要梳理清楚點、線、形的從屬關系，發現問題背后的隱含條件，再借助旋轉變換構造圖形，便能解決.

教學過程

（一）旋轉全等形

在復習課中，將經典題源作為題根，不僅能幫助學生夯實知識基礎，還能以此為母題進行改編，發展學生思維的靈活性. 揭露幾何圖形中所隱含的“旋轉全等形”這一幾何模型，對解決幾何綜合性問題具有幫助.

問題1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BA=CA，D是BC邊上不與點B，C重合的一個動點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉90°，設點D的對應點為E，連接EC，那么BD與EC之間有怎樣的數量關系與位置關系？

于學生而言，本題難度不大. 在原有認知經驗基礎上，學生會自主證得△ADB≌△AEC，因此BD=EC，∠ACE=∠DBA=45°. 所以EC⊥BC. 因此BD與EC為垂直且相等的關系.

變式1 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BA=CA，點D在△ABC內，CD=1，BD=3，∠ADC=135°，線段AD的長是多少？

設計意圖 解決本題的關鍵在于借助旋轉構造全等三角形，通過轉換將DE與題中明確給出的兩條線段構成一個直角三角形，由此解得AD=2.

如果將△ABC內的點D遷移到三角形的外面，是否依然能快速獲得AD的長呢？基于這一想法，教師可順勢提出變式2.

變式2 如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠ABC=∠ADC=45°，CD=1，BD=3，則AD的長是多少？

設計意圖 從形式上看，將點D由圖形內轉移到圖形外，圖形形狀發生了較大改變，但從解題思路來看，它的解題方法與變式1高度相似，突出了解題過程“形變而理不變”的思想.

縱觀此教學過程，變式的應用促使學生獲得了舉一反三的能力，并從變化的問題中發現了解題通法. 基于“繞定點旋轉構造全等圖形”這一動態變化，發現恒定不變的量，由此形成“以靜制動”的解題技巧，提升理解與思辨能力.

（二）旋轉相似形

基于學科角度來觀察，數學中的“全等”與“相似”總是相伴相隨，那么繞定點旋轉構造圖形時，是否可從“相似”的角度來分析呢？為了探索這一問題，筆者帶領學生以特殊直角三角形的旋轉為切入點展開分析.

問題2 如圖4所示，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠EAD=90°，點D在BC邊上，且與點B和點C不重合，連接CE，∠ADE=∠ABC=60°，那么線段CE與BD之間有怎樣的數量關系和位置關系？

拓展1 如圖5所示，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠CAB=90°，D是BC邊上的一個動點，連接AD，將點A作為直角頂點作Rt△DEA，令∠EDA=60°，連接CE，那么線段CE最短是多少？（解題過程略）

設計意圖 題設條件明確給出兩條已知線段與待求線段BD之間的關系為“共用一個端點D”，根據這一條件與變式2進行類比，構造直角三角形之后利用勾股定理實施求解. 逐層遞進的問題讓學生切身體會到了“繞定點旋轉構造相似形”是解決這類問題的核心，此為發展學生建模能力的過程.

（三）旋轉圓形

探索旋轉類問題時，需將點的運動軌跡、直線運動、弧形運動問題進行辨析. 從某種意義上來說，弧形運動看似復雜，但解題思路并沒有什么新奇的地方，解題本質不變. 為了幫助學生理解這一點，筆者讓學生在不同圖形的變化中進一步體會如何用靜態的方法解決動態圖形問題.

問題3 如圖8所示，點O為AB的中點，AB=4，☉O的半徑r=1，D為☉O上的一個動點，連接BD，同時把線段BD圍繞點D逆時針旋轉90°，將旋轉后點B的對應點標注為點C，連接AC，那么線段AC的取值范圍是什么？

拓展1 如圖9所示，若P為正方形ABCD外一點，正方形ABCD的中心為O，AP=3，BP=4，則DP的最小值、CP的最大值分別是多少？OP的取值范圍呢？

半徑的圓. 所以3+4為線段CP的最大值. 以此類推，不難探索到線段DP的最小值. 至于OP的取值范圍，可從如下角度去思考：將△APB繞點B順時針旋轉45°，并縮小到原來的，得到△OP″B，得到動點O的運動軌跡為以點P″為圓心、為

拓展2 如圖10所示，已知正六邊形ABCDEF的中心為O，其外有一點P，AP=3，BP=4，求CP的最大值，DP的最小值，以及OP的取值范圍.

設計意圖 雖然拓展2中問題的載體發生了改變，但沒有改變其核心解題思路. 解決此類問題，基本遵循如下流程：分析圖形中動點、定點所在的圖形，探索待求線段之間所具備的位置關系，基于觀察與分析思考圍繞哪個定點旋轉可以構造出相似圖形，由此暴露新圖形與特定條件間所具備的隱含關系，找到新動點所處的定圓. 如此設計可進一步幫助學生理順解題思路，讓學生體悟“動中探定”的一般流程，為形成解題通法奠定基礎.

教學思考

（一）精選例題、揭露規律是微專題教學的基礎

核心素養導向下的數學教學需在“雙減”的基礎上，精心設計教學方案，讓學生在少而精的問題中發現解決問題的一般規律，獲得知識或思想方法的融會貫通，形成舉一反三的解題能力. 本節課，教師根據學情與教情，精心挑選了三類典型問題帶領學生展開探索與分析，學生的思維隨著問題的演變逐漸深入，不僅獲得了解決這些問題的基本方法，還對一系列轉化過程有了明確認識，獲得了從“動”中發現“定”與從“定”中發現“變”的規律，真正落實了深度學習，體現了思維的創造性與靈活性.

（二）以生為本、深度探索是微專題教學的關鍵

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，學生是學習的主體，是課堂的主人. 教師應時刻謹記這一點，才能落實“立德樹人”的理念. 微專題應用在復習教學中，最大的特點是“既微又專”，主要體現在核心知識明確、探索過程清晰、思維含量高、探索程度深等方面. 本節課的探索主題為“旋轉構造相似三角形”，那么一切教學活動的開展，均以這一知識點為核心. 整個探索過程，教師都將主動權交給學生，鼓勵學生以獨立思考、自主分析、合作交流等模式挖掘問題的本質，提煉思想方法，歸納解決問題的一般流程，取得了不錯的教學成效.

（三）方法提煉、發展素養是微專題教學的目標

新課標引領下的初中數學教學，要將學生的發展作為教學的首要目標. 學生的發展主要體現在數學思想方法的提煉、思維品質的提升、關鍵能力的形成與人格的建立等方面. 復習教學是基于學生已有認知經驗的鞏固、提煉與升華，因此更需要關注對“人”的教育. 本節課，學生在對幾個經典問題的探索中，不斷感知數形結合、轉化與化歸、類比等思想方法對解題的重要性;變式與拓展的應用，進一步拓寬了學生的視野，讓學生對“動”“定”轉化問題有了更為深刻的認識;解題中，學生通過對問題的分析與總結，逐步提升了數學概括、邏輯推理、運算等素養，這些都是發展核心素養的必備條件.

總之，基于“小專題，大視野”的視角進行微專題復習教學，不僅能將深度學習、以生為本等理念落到實處，還能推進學生思維的發展，達到“立德樹人”的目標. 因此基于深度學習的微專題復習教學是促進學生學力發展的重要舉措.