基于MATLAB的空間解析幾何教學案例研究

摘要：在空間解析幾何教學過程中，常常存在繪圖空間曲線和曲面的困難和缺乏直觀性的問題。以MATLAB為基礎，從計算功能、繪圖功能和動態可視化三個方面探討了空間解析幾何教學的案例。利用MATLAB的內置函數求解多個幾何問題的數值解，以及繪制空間曲面和曲線。此外，通過動態可視化方法直觀地演示了二次曲面的平行截痕法，有助于學生更好地理解和感知二次曲面的形狀和性質。本文旨在為教師和學生提供空間解析幾何教學和學習的參考。

關鍵詞：空間解析幾何 MATLAB 二次曲面 平行截痕法

Case Studies of Space Analytical Geometry Teaching Based on MATLAB

YANG Mengyun

Hunan First Normal University， Changsha， Hu’nan Province， 410205 China

Abstract： In the teaching process of Space Analytic Geometry， difficulties and lack of intuitiveness often arise in drawing spatial curves and surfaces. In this paper， based on MATLAB， it explores cases in Space Analytic Geometry teaching from three aspects： computational functions， drawing capabilities， and dynamic visualization; It uses MATLAB's built-in functions to solve numerical solutions for multiple geometric problems， as well as to draw spatial curves and surfaces. Additionally， MATLAB's Dynamic Visualization methods are used to visually demonstrate the method of Cut-off Mark of quadratic surfaces. This approach aids students in better understanding and perceiving the shapes and properties of quadratic surfaces. This paper aims to provide a reference for teachers and students in the teaching and learning of Space Analytic Geometry.

Key Words： Space Analytic Geometry; MATLAB; Quadratic Surfaces; Method of Cut-off Mark

空間解析幾何不僅是數學與應用數學專業中的一門基礎課程，而且還是理工科高等數學課程的重要組成部分。它在培養學生空間想象能力和抽象思維能力上扮演著至關重要的角色[1-2]。然而，教師在講授空間解析幾何時，繪制復雜的空間圖形往往是一項具有挑戰性的任務。傳統的黑板板書，不僅需要教師具備一定的繪畫功力，而且繪制出來的圖形往往缺乏直觀性，也無法靈活地改變觀察角度。通過引入MATLAB這一教學輔助工具可以使空間解析幾何的教學內容能夠更加直觀、生動，進而提高學習興趣和教學效果。

本文探討了MATLAB在空間解析幾何教學中的多元應用，著重突出其計算功能、繪圖功能和動態可視化方面的優勢。同時，還提供了一套可以免費獲取的MATLAB代碼，教師和學生可以根據實際的教學和學習需求對其進行調整和修改。本文中所涉及的MATLAB代碼可在以下鏈接處獲?。篽ttps：//github.com/YangPhD84/Geometry。

1計算功能

MATLAB是一種功能強大的科學計算軟件和編程語言[3]。它提供了許多內置函數，使得數學、科學和工程計算更加方便和高效。在空間解析幾何中，可以利用MATLAB現有的內置函數計算多種幾何問題的數值解，如向量的模、點積、叉積等基本運算。同樣，可以使用這些基本運算的組合來求解混合積、異面直線的距離、直線和平面的交點和夾角等具體問題。

案例1：已知二直線和，試說明兩直線為異面直線。

分析：由已知條件給定的兩直線標準方程，可知直線的方向向量和定點，直線的方向向量和定點。兩直線是否異面可通過計算混合積來判斷。接下來，可以在MATLAB命令窗口直接輸入或編寫一個M腳本文件。

v1=[3，-1，2];v2=[1，-2，2];p1=[1，7，-4];p2=[1，-2，0];

mixed_product=dot（cross（v1，v2），p2-p1）%計算混合積

if mixed_product～=0

disp（"這兩條直線異面"）;

else

disp（"這兩條直線共面"）;

end

其中，函數dot和cross分別表示內積和外積運算，通過混合積的定義可知dot（cross（v1，v2），p2-p1）表示和這三個向量的混合積。

案例2：設直線的參數方程為，平面的方程為，求直線和平面的交點。

分析：本案例可使用MATLAB中的符號運算進行求解。首先使用syms定義符號對象，即直線參數方程的變量t。將直線參數方程和平面方程用符號表示式呈現，然后使用函數solve計算平面和直線交點對應的t值，最后利用subs計算出最終的交點坐標。對應的MATLAB程序為

syms t%符號變量

x=1+2*t; y=2-3*t; z=4*t;

plane_sym=3*x-2*y-z+1;

t_sol=double（solve（plane_sym，t））%直線和平面交點對應的t

x_sol=double（subs（x，t，t_sol））;

y_sol=double（subs（y，t，t_sol））;

z_sol=double（subs（z，t，t_sol））;

fprintf（"交點的坐標：（%4.2f，%4.2f，%4.2f）.＼n"，x_sol，y_sol，z_sol）;

其中，subs函數表示將符號表達式中的某些符號變量替換為指定的新的變量。常用調用方式為：subs（S，OLD，NEW）表示將符號表達式S中的符號變量OLD替換為新的值NEW。

2繪圖功能

MATLAB獨特的繪圖功能和靈活的交互性，使它成為眾多學術研究者繪圖的首選工具。在繪制空間曲面方面，常見的方法是使用meshgrid函數生成坐標網格，再使用mesh或surf函數繪制平滑連續的曲面。在繪制空間曲線方面，plot3函數能夠實現精確的繪制。除了基本的繪圖功能，MATLAB具有良好的交互性?？梢酝ㄟ^鼠標或輸入命令來完成旋轉、縮放和平移操作，進而從不同的角度觀察曲面和曲線。

2.1繪制空間曲面

根據給定的曲面方程類型，可以采用不同的方法進行繪制[4-5]。如果曲面的方程是參數方程，可以使用meshgrid函數創建參數u、v的曲紋網格，并使用mesh或surf函數繪制圖形。

案例3：以單葉雙曲面的參數方程為例，使用mesh實現該曲面的MATLAB繪圖。

a=2;b=3;c=4;%具體化a，b，c的值

u=linspace（-pi/2+0.01，pi/2-0.01，100）;

v=linspace（0，2*pi，100）;%網格化參數u，v

[u，v]=meshgrid（u，v）;

x=a*sec（u）.*cos（v）;

y=b*sec（u）.*sin（v）;

z=c*tan（u）;%單葉雙曲面的參數方程

mesh（x，y，z）;

axis（[-10，10，-10，10，-10，10]）;

其中，linspace函數的作用是生成線性間距向量。由于參數，在MATLAB代碼中需要注意去掉區間的這兩個端點。繪制完成的圖形如圖1所示。

將曲面的參數方程配合MATLAB函數mesh或surf來繪制并展示曲面的經緯線網格，學生可以更清晰地捕捉到曲面的特征和結構細節。這對于空間解析幾何的學習來說是十分有用的。對于其他四種典型的二次曲面，包括橢球面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面和雙曲拋物面，只需替換相應的參數方程及其參數范圍即可，詳細的代碼可在本文提供的Github網址中查閱。如果曲面的方程是標準方程，可以使用meshgrid函數創建自變量x、y、z的網格，并使用isosurface函數繪制圖形。

案例4：以單葉雙曲面的標準方程為例，使用isosurface實現該曲面的MATLAB繪制。

a=2;b=3;c=4;%具體化a，b，c的值

[x，y，z]=meshgrid（-10：0.1：10，-10：0.1：10，-10：0.1：10）;

F=x.^2/a^2+y.^2/b^2-z.^2/c^2-1;%單葉雙曲面的標準方程

p=patch（isosurface（x，y，z，F，0））;

set（p，'FaceColor'，'green'，'EdgeColor'，'none'，'FaceAlpha'，0.3）;

camlight; grid on; view（[80，30]）;

使用isosurface函數繪制的單葉雙曲面，如圖2所示。isosurface函數真正實現了“所見即所得”的繪圖體驗。為了能從不同的角度呈現曲面，可以利用view函數來調整觀察角度。同時，也可結合使用camlight或lighting函數，來創建更真實和高質量的三維視覺效果。

2.2繪制空間曲線

MATLAB提供了plot3函數用于繪制空間曲線。plot3（x，y，z）繪制由x、y、z連接的一組坐標，其中x、y、z指定為相同長度的向量。

案例5：圓柱螺線的參數方程為，使用plot3實現該曲線的MATLAB繪制。

radius=1;%圓柱半徑

theta=linspace（0，5*pi，1000）;

x=radius*cos（theta）;

y=radius*sin（theta）;

z=theta/pi;

plot3（x，y，z）;%繪制圓柱螺線

3動態可視化

對于《五種典型的二次曲面》這一節內容，教師的講授流程一般是先用標準方程來討論二次曲面的對稱性和分布范圍，再利用平行截痕法來繪制截口圖形，從而得到二次曲面的全貌。如果教師利用黑板繪制或使用PPT靜態圖呈現全過程，那學生對曲面的直觀理解是十分有限。為了更好地提升學生對二次曲面的理解和展示平行截痕法，可以使用MATLAB動態圖展示二次曲面與平行于坐標面的平面的交線。

案例6：設雙葉雙曲面的標準方程為。利用MATLAB動態展示平行截痕法。

分析：使用平行于xoy坐標平面的動平面去截該雙葉雙曲面。平面上將會呈現一條交線，隨著平面的移動將產生一系列的交線，其中交線可以使用空間曲線的參數方程表示，并用plot3函數繪制。具體的動態演示MATLAB代碼如下。

hold on;

grid on;

axis（[-10，10，-10，10，-10，10]）;

a=1;b=2;c=2;%雙葉雙曲面方程：（x/a）^2+（y/b）^2-（z/c）^2=-1

plane=surf（[-10，10;-10，10]，[-10，-10;10，10]，[-10，-10;-10，-10]，'FaceColor'，'green'，'FaceAlpha'，0.3）;%設置截平面

u=linspace（0，2*pi）;

for k=-10：0.5：10

plane.ZData=[k，k;k，k];%更新平面高度

if （k/c）^2-1>=0

x=sqrt（（k/c）^2-1）*a*cos（u）;

y=sqrt（（k/c）^2-1）*b*sin（u）;

z=k*ones（size（x））;

d=plot3（x，y，z，'r'）;%更新交線

end

view（[30，30]）;

drawnow;

pause（0.05）;

end

將a、b、c賦為具體值，如a=1;b=2;c=2。動平面在z軸上移動的范圍為[-10，10]。運行代碼后，動平面與雙葉雙曲面將產生一系列的空間曲線。圖4給出了部分動態截圖。平行截痕法的另外兩種情況是分別使用平行于yoz和zox坐標平面的動平面去截該雙葉雙曲面。實現過程與上述情況類似，具體MATLAB代碼可查閱本文提供的Github網址。

4結語

本文通過從計算功能、繪圖功能和動態可視化3個方面，詳細呈現了MATLAB在空間解析幾何中的多個具體教學案例。通過引入MATLAB編程和可視化工具，提供了一種新穎有效的教學方法，有助于學生理解空間解析幾何概念。希望這些案例能夠為教師提供更好的教學手段，提升學生的學習效果。

參考文獻

[1] 唐雪芝.基于APOS理論的《高等數學》概念信息化教學模式設計與實踐研究[D].昆明：云南大學，2020.

[2] 張紀平，沈曉斌，洪佳瑜，等.Matlab在繪制解析幾何二次曲面圖像的應用[J].科技風，2021（31）：25-27.

[3] YANG M Y， LI Y H，WANG J X.Feature and Nuclear Norm Minimization for Matrix Completion[J].IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering， 2022， 34（5）：2190-2199.

[4]馬玉雯，潘朝毅.利用matlab將解析幾何空間曲面可視化[J].內江科技，2020，41（10）：36-38.

[5]張美戀.應用Matlab軟件繪制二次直紋曲面[J].寧德師范學院學報（自然科學版），2020，32（1）：86-90，99.