數形結合思想在小學“數與運算”中的應用

《義務教育數學課程標準（2022版）年》（以下簡稱“新課標”）明確提出了“三會”，即：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界。總目標在小學階段主要表現為11個核心素養，而“幾何直觀”就是其中之一。在“數與代數”領域，幾何直觀的內涵表現為：建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型。很明顯，數形結合屬于“三會”中數學眼光的范疇，目的是借助數形結合，直觀理解所學的數學知識及其背景。這就要求教師在教學中要滲透數形結合思想，讓學生利用數形結合方法分析問題，把握問題的本質，明晰思維的路徑。

本文主要研究的是在小學“數與運算”主題中，數形結合思想（建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型）具體應用及在教學中的滲透策略。

一、重要意義

數形結合思想是一種重要的數學思想方法，是指將數與形通過相對應與轉化來解決數學問題。數形結合可以使復雜問題變簡單，抽象問題變具體。除了“圖形與幾何”領域，數形結合思想在“數與代數”中也有非常廣泛的應用。教學中滲透數形結合思想，有助于學生直觀理解所學數學知識，把握數學知識的本質，明確分析、解決問題的路徑。

二、主要表現

從數學學習初始，我們就時時刻刻都在與數形結合相遇，因為它涵蓋了“數與運算”中數的認識和數的運算兩大板塊。下面來看看具體表現。

（一）數的認識

數學是一門抽象的學科，數是對數量的抽象。要理解數這個大家庭中不同數域的實際意義，對抽象思維還處于萌芽、發展階段的小學生來說，具有一定的難度。因此，教材將抽象難懂的數概念，無論是整數、小數、分數，都按照在實際情境中認識數、體會數產生的必要性，遵循“實物—圖像—符號”表征數字內涵的思維發展歷程，借助數一數、擺一擺、分一分、畫一畫等實踐操作活動，幫助學生理解計數單位、數位、位值制及位數，從而建立起抽象的數和現實中數量之間的關系。這一過程中，既初步形成了數概念學習的模型，積累了學習經驗，又初步幫助學生建立了數感和符號意識。

1.整數

對自然數的認識，經歷著“逐個點數（shǔ）”（認識較小的數）到“以群計數（shǔ）”（認識較大的數）的過程。為了表示點數結果，創造了表示數（shù）的圖形、符號、數字，實現了由數量到數的抽象。數的認識，歸根結底是計數單位的認識。教材中對計數單位“一、十、百”的認識，除了有小棒等具象化的實物，還有“一、十、百”的小正方體計數單位模型，“千”的認識則直接呈現的是小正方體的計數模型。經歷直觀形象的幾何計數單位模型與數的對應，學生輕而易舉地建立起對自然數的認識，對計數單位的理解，為后面小數、分數學習提供了模型和經驗，同時為數的比較、運算打下了堅實基礎。

對負數的認識，教材同樣創設了生活情境，借助溫度計這個載體，直觀表達出零上溫度、零度與零下溫度，讓學生經歷負數的產生過程。借助溫度計的直觀形象，學生很容易理解零上、零下溫度的實際意義，進而為后面生活中的負數意義的理解做好鋪墊。“正負數”一課則通過海拔高度示意圖及生活實例等典型的“形”讓學生對負數意義的理解更深入。

歸根結底，整數概念的本質就是數（shǔ）出來的，數（shǔ）的是計數單位的個數。

2.小數

3.分數

分數與小數相同，是從分配物體的需要出發，都是在不夠分到“1”的情況下出現的。教材中運用了不同模型幫助學生理解分數的意義。三年級教材中分蘋果、分餅是用面積模型的“部分—整體”表示分數的第一層含義；五年級教材中用紙條度量數學書的長和寬，是從長度模型表示分數的度量意義，即任何分數都可以看成是以分數單位為計數單位進行量數（shǔ）的結果。度量意義實際上更能體現分數作為數本身的意義，通過面積、長度等直觀模型，豐富學生對分數意義的認識，同時在涂一涂、折一折等實踐操作活動中，逐步加深對分數意義的理解。同樣，在探索分數基本性質的過程中，改變過去利用商不變規律的做法，從幾何直觀的角度，采用數形結合的方法，注重觀察直觀圖和畫圖等活動，鼓勵學生從直觀角度去探索發現，便于學生更好地理解和掌握知識。分數單元內容，就是抽象的數與直觀的形結合的典范。試想，離開形，我們還能通過什么載體如此淺顯易懂地理解分數的意義呢？

4.數軸

對于數的認識，數軸發揮著重要的作用。作為認識數的工具，可以讓抽象的數有形可依，讓不同的數域在學生頭腦中形成清晰的幾何解釋。借助數軸認識數，學生可以直觀地體會數的順序和大小關系，很容易發現數字系統的內部結構，對數的概念的建立有很大幫助作用。同時，數軸也是學習數運算的“形”的載體：“順著數”相當于加法（乘法），“倒著數”相當于減法（乘法）。

（二）數的運算

1.整數四則運算

小學階段，加減乘除四則運算意義的理解都是借助于直觀的“形”幫助學生建構起來的。鑒于低段學生以形象思維為主，無論是一年級加減法意義的理解，還是二年級乘除法意義的建構，教材都是借助直觀圖、計數模型通過“合起來、分出去”幫助學生直觀理解運算的意義，采用圈一圈、畫一畫等操作活動，探索算法，明確算理，體現新課標“建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型”的理念。

2.小數四則運算

教材中對于小數四則運算算理的探索，基本上是創設購物情境，首先結合人民幣意義來探究算法，其次是結合小數的意義（面積模型）來探究算理。即：將一個正方形平均分成10份、100份，通過含有不同計數單位的個數加減，得到運算結果；小數乘除法則是經歷將面積模型圖先等分、再等分，得到新的計數單位及計數單位的個數。學生在模型圖上經歷分一分、涂一涂的探索過程，將抽象的算理轉化為具象的幾何圖形，化難為易，化隱為顯。

3.分數四則運算

分數加減法的意義和算法，教材除了安排豐富的折一折、涂一涂等實踐操作活動外，還借助面積直觀圖讓學生在自主探索的過程中，很輕易地將分數與相對應的形聯系起來，理解起來比較容易。

分數乘除法的意義和算法的理解，相對要抽象很多。教材借助直觀模型或面積模型的“形”來描述、分析問題，同時結合操作活動，讓學生經歷操作、觀察、歸納等活動，并借助圖形的思維和方法來解釋分數運算，幫助學生理解并掌握其意義和算法，降低了難度。

三、滲透策略

（一）重視教材中含有數形結合思想的內容

縱觀小學階段“數與運算”主題中數的認識、數的運算兩方面學習內容，教材在編排中，結合學生學段認知規律和身心發展特點，遵循“實物—圖像—符號表征”的過程，將“數”的學習置于“形”的直觀中，促進學生理解“數”、運用“數”，以形促思，以形化數。因此，教學中教師要重視利用教材內容，有意識地滲透數形結合思想，引導學生結合圖形（直觀圖、模型圖等）讀懂信息、整理信息，進而提出問題、分析問題、解決問題。也就是說，讓學生通過“形”找出相對應的“數”、結合圖形分析“數”，使“數”更易于理解和記憶，從而引導學生感悟數形結合思想，掌握數形結合方法，明晰數學知識的本質。

例如，“萬以內數的認識”重點是對計數單位“百、千、萬”及十進制的認識，要重視利用方塊計數模型引導學生進行直觀感知，建立數（shù）就是數（shǔ）計數單位個數的認識。小數與分數借助“形”顯得尤為重要，基于其表達不滿“1”、不足1個計量單位的特點，重視利用長度、面積模型將其等分成不同份數并取其中若干份理解其意義。乘法模型建構時，注重畫直觀圖表達或在點子圖上圈出“a×b”；同樣，除法模型建構時，注重通過圈一圈直觀圖理解除法“平均分”及“包含除”兩種不同的意義。

（二）教學時讓學生在探索中體驗數形結合思想

教學中，要結合具體教學內容，抓住數學知識本質，重視學生自主探索，通過畫一畫、折一折、說一說等活動，有意識地引導學生選擇合適的“形”與數結合起來，借助具象的圖形來認識來理解數學知識，明晰數學本質，并在探索過程中體驗數形結合思想，感受數形結合思想對數學知識形成及解決問題的重要意義。

值得注意的是，在教學時要遵循學生年齡及認知特點，滲透數形結合思想要從具象思維向抽象思維過渡。低段學生認知以形象思維為主，教學中要注重創設情境，引導學生運用他們熟悉的直觀的“形”感知“數形結合”，從而逐步歸納提升到理性認知，為抽象思維做準備。中段學生的抽象思維有了一定發展，教學中可以利用半形象半抽象的方式，將抽象問題轉化為具象的“形”，讓學生逐步體驗 “ 數形結合”。高段學生邏輯思維已發展到了一定程度，教學中可以采用抽象文字表述問題，借助圖形語言、符號語言分析理解問題，先“數”后“形”，感悟“形”的解釋、驗證，做到利用數形結合思想分析問題，把握問題的本質，明細思維的路徑。

例如，在“認識并感受‘千’”的教學中，要注重借助方塊模型認識計數單位意義及十進制。10“個”小方塊組成1“條”，表示1個“十”；10“條”組成1“片”，表示1個“百”；10“片”組成1“塊”表示1個“千”。同樣，“小數的意義”教學中，可以將正方形看作1“個”等分成10“條”，每“條”是0.1；1“條”等分成10“塊”，每“塊”是0.01。計數模型“個”“條”“片”“塊”的運用，既可以讓學生體會計數單位的意義及數位間的十進關系，還滲透了數形結合思想，發展了學生的數感。

又如，在“分數的基本性質”教學中，更能體現分數性質的做法是采用數形結合方法去探索。即同一圖形，先4等分取3份涂色，接著8等分、16等分，填寫涂色部分對應的分數；接著再用畫一畫、涂一涂的方式舉出這樣的例子，用圖形直觀地解釋分數的基本性質，簡單易理解。

綜上所述，數形結合思想是小學數學學科的一種重要思想，對學生數學學習發揮著重要作用。因此，教師要重視含有數形結合思想的內容，教學中要滲透數形結合思想，引導學生采用數形結合方法把握數學知識的本質，明確解決數學問題的路徑。